1、23.4平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示提出問題已知下列幾組向量：(1)a(0,2)，b(0,4)；(2)a(2,3)，b(4,6)；(3)a(1,4)，b(2，8)；(4)a，b.問題1：上面幾組向量中，a與b有什么關(guān)系？提示：(1)(2)中b2a；(3)中b2a；(4)中ba.問題2：以上幾組向量中，a，b共線嗎？提示：共線導(dǎo)入新知平面向量共線的坐標(biāo)表示前提條件a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0結(jié)論當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a，b(b0)共線化解疑難向量共線的坐標(biāo)表示的推導(dǎo)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)0，則abab(R)上式若用坐標(biāo)表示，可寫為ab(x

2、1，y1)(x2，y2)，即abx1y2x2y10.向量共線的判定例1(1)已知向量a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，則的值等于()A.B.C1 D2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)，判斷與是否共線如果共線，它們的方向是相同還是相反？解(1)A(2)(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4，6)，(2)(6)340，共線又2，方向相反綜上，與共線且方向相反類題通法向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理，由ab(b0)推出ab.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2x2y10直接求解活學(xué)活用1已知向量a(1，m)，b(m,2)，

3、若ab，則實(shí)數(shù)m等于()AB.C或 D0答案：C2已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，(kab)(a3b)？這兩個(gè)向量的方向是相同還是相反？答案：當(dāng)k時(shí)，(kab)(a3b)，并且它們的方向相反.三點(diǎn)共線問題例2(1)若點(diǎn)A(1，3)，B，C(x,1)共線，則x_.(2)設(shè)向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，求當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線解(1)9(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則，共線，則存在實(shí)數(shù)，使得.(4k，7)，(10k，k12)(4k，7)(10k，k12)，即解得k2或k11.當(dāng)k2或11時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線類題通法三點(diǎn)共線的實(shí)質(zhì)與證明步驟(1)實(shí)質(zhì)：三點(diǎn)共

4、線問題的實(shí)質(zhì)是向量共線問題兩個(gè)向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個(gè)向量共線與兩個(gè)向量平行是一致的(2)證明步驟：利用向量平行證明三點(diǎn)共線需分兩步完成：證明向量平行；證明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)活學(xué)活用已知點(diǎn)A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)(1)求實(shí)數(shù)x的值，使向量與共線；(2)當(dāng)向量與共線時(shí)，點(diǎn)A，B，C，D是否在一條直線上？答案：(1)x2(2)當(dāng)x2時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上向量共線在幾何中的應(yīng)用例3如圖，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)解由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)連接OC，則(2,6)由與共線得

5、(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)類題通法向量共線在幾何中的應(yīng)用及注意事項(xiàng)向量共線在幾何中的應(yīng)用，可分為兩個(gè)方面：(1)已知兩向量共線，求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)；(2)證明或判斷三點(diǎn)共線、直線平行解題時(shí)要注意聯(lián)系平面幾何的相關(guān)知識，由兩向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)確定三點(diǎn)共線，由兩向量無公共點(diǎn)確定直線平行活學(xué)活用已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求證：四邊形ABCD是等腰梯形證明：由已知得，(4,3)(1,0)(3,3)，(0,2)(2,4)(2，2)3(2)3(2)0，與共線(1,2)，(2,4)(4,3)(2,1)，(1)12(

6、2)0，與不共線四邊形ABCD是梯形(2,1)，(1,2)，|，即BCAD.故四邊形ABCD是等腰梯形典例已知P1(2，1)，P2(1,3)，P在直線P1P2上，且|.則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_解析(1)當(dāng)與同向時(shí)，則有，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，(x2，y1)，(1x,3y)(x2，y1)(1x,3y)，即故P點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)當(dāng)與反向時(shí)，則有，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，(x2，y1)(1x,3y)，即故P點(diǎn)坐標(biāo)為(8，9)綜上可得，P點(diǎn)坐標(biāo)為或(8，9)答案或(8，9)易錯(cuò)防范1本題易由|只得出的結(jié)論，從而得出P點(diǎn)坐標(biāo)為的錯(cuò)誤答案2解決兩向量共線問題時(shí)，要注意兩非零向量a與b共線有同向共線和反向共線兩種情

7、況，不要發(fā)生遺漏成功破障平面上有A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且，連接DC延長至E，使|，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_答案：隨堂即時(shí)演練1下列各組的兩個(gè)向量，共線的是()Aa1(2,3)，b1(4,6)Ba2(1，2)，b2(7,14)Ca3(2,3)，b3(3,2)Da4(3,2)，b4(6，4)答案：D2已知A(2，1)，B(3,1)，則與平行且方向相反的向量a是()A(2,1)B(6，3)C(1,2) D(4，8)答案：D3已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則_.答案：4已知A(1,4)，B(x，2)，若C(3,3)在直線AB上，

8、則x_.答案：235已知A(1,0)，B(3，1)，C(1,2)，并且，求證：.證明：設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，依題意有(2,2)，(2,3)，(4，1)，(x11，y1)，故E.，(x23，y21)，故F.又4(1)0，.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1若a(6,6)，b(5,7)，c(2,4)，則下列命題成立的是()Aac與b共線Bbc與a共線Ca與bc共線 Dab與c共線答案：C2已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向答案：D3已知向量a(2,3)，b(1,2)，若man

9、b與a2b共線，則等于()A B.C2 D2答案：A4已知a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，且2ab3c0，則c等于()A. B.C. D.答案：C5已知a(2,1cos )，b，且ab，則銳角等于()A45 B30C60 D30或60答案：A二、填空題6已知(6,1)，(x，y)，(2，3)，若，則x2y的值為_答案：07已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，則m_.答案：18在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則_.答案：(6,21)三、解答題9平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，回答下列問題：(1)求3ab2c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k.解：(1)3ab2c3(3,2)(1,2)2(4,1)(9,6)(1,2)(8,2)(918,622)(0,6)(2)ambnc，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)m4n3且2mn2，解得m，n.(3)(akc)(2ba)，又akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0.k.10已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？解：(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4