1、,第一章隨機(jī)事件及其概率,第5講伯努利概型,一試驗(yàn)的獨(dú)立性,利用事件的獨(dú)立性可以定義兩個(gè)或多個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性. 定義設(shè)有兩個(gè)試驗(yàn)E1和E2，假如試驗(yàn)E1的任一結(jié)果(事件)與試驗(yàn)E2的任一結(jié)果(事件)都相互獨(dú)立，則稱試驗(yàn)E1和E2相互獨(dú)立(independent). 類似地可以定義n個(gè)試驗(yàn)E1 , E2 , En的相互獨(dú)立 性：如果試驗(yàn)E1的任一結(jié)果，試驗(yàn)E2的任一結(jié)果，試驗(yàn)En的任一結(jié)果都是相互獨(dú)立的n個(gè)事件， 則稱試驗(yàn)E1 , E2 , En相互獨(dú)立.,二伯努利試驗(yàn)(Bernoulli trials),在許多問(wèn)題中，我們對(duì)試驗(yàn)感興趣的是某一類結(jié)果(事件A)是否出現(xiàn)例如 產(chǎn)品抽樣檢查中關(guān)注的是抽

2、到廢品還是正品； 拋擲硬幣時(shí)關(guān)注的是出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面； 電視節(jié)目收視率的調(diào)查中調(diào)查對(duì)象是否觀看了節(jié)目. 在這類問(wèn)題中，一次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果: A或者 , 這類試驗(yàn)稱為伯努利試驗(yàn). 在伯努利試驗(yàn)中，記 P ( A) p,P ( ) q 1 p. 其中： p 0,q 0,p q 1.,將某伯努利試驗(yàn)E 重復(fù)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)，稱為n 重伯努利試驗(yàn). n 重伯努利試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可以記作 (1 ,2 ,n ) 其中i 或者為A,或者為 , 這樣的 共有2n個(gè). 這 2n 個(gè)樣本點(diǎn)組成了樣本空間.,n重伯努利試驗(yàn),( A, A, A), ( A, A, A),( A, A, A), ( A, A, A)

3、,( A, A, A), ( A, A, A).,設(shè)樣本點(diǎn) (1 ,2 ,n )中有k個(gè)A，n k個(gè) .,由獨(dú)立性知 P ( ) pk qn k . 每個(gè)樣本點(diǎn)的概率可由上式得到，因而任何事 件的概率都可計(jì)算出來(lái). 例如：三重伯努利試驗(yàn)共有8個(gè)樣本點(diǎn):,p1q2 p2 q1,p1q2 p2 q1,p1q2 p3 q0,( A, A, A), ( A, A, A), 概率分別為 p0 q3 p2 q1,定理 設(shè)在伯努利試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為 p(0 p 1)，則在n重努利試驗(yàn)中,事件A 恰好發(fā)生 k次概率為 P (k ) C k pk qn k，k 0,1, 2, n nn 其中:q 1 p.

4、,n,其中任何一個(gè)樣本點(diǎn)的概率都是pk qn k . 因而事件A 發(fā)生k次的概率為 P (k ) C k pk qn k，k 0,1, 2, n nn,證明：顯然事件A 發(fā)生k次共包含C k 個(gè)樣本點(diǎn).,(Binomial probabilities),能證明這個(gè)公式嗎?,二項(xiàng)式公式(binomial formula),=0 = 2 ,=0 1 =1,例 袋中有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2個(gè)白球的概率.,解 每取一個(gè)球看作是做了一次試驗(yàn),記取得白球?yàn)槭录?A ，,有放回地取4個(gè)球看作做了 4 重Bernoulli 試驗(yàn), 記第 i 次取得白球?yàn)槭录?Ai,感

5、興趣的問(wèn)題為:4次試驗(yàn)中A 發(fā)生2次的概率,1010,10,10,k, k 6, k 6,P ( A) ,C 0.8k 0.210 k 0.97.,P(k )=,例 對(duì)某種藥物的療效進(jìn)行考察，設(shè)這種藥物 對(duì)某種疾病的有效率為p 0.8，現(xiàn)有10名患此種疾 病的患者同時(shí)服用該藥，求至少有6名患者服藥有 效的概率. 解 :這是貝努利概型，n 10，p 0.8，記 A 至少有6名患者服藥有效,例 甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，已知每 一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4.比賽可采用三局兩勝制或五局三勝制，問(wèn)在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？,2, 0.62 C 1 0.6 0.4 0.6

6、0.648,解 : （1）若采用三局兩勝制，則下列兩種情況 下甲獲勝 A1 2 : 0 甲勝前兩局， A2 2 : 1 前兩局各勝一局，第三局甲勝. 則P1 (甲勝) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P( A2 ) P2 (2) P2 (1) 0.6,（2）若采用五局三勝制，則下列三種情況下甲 獲勝,B1 3 : 0 甲勝前三局， B2 3 : 1 前三局甲勝二局，第四局甲勝. B3 3 : 2 前四局甲乙各勝兩局,第五局甲勝 則P2 (甲勝) P ( B1 B2 B3 ) P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) P3 (3) P3 (2) 0.6 P4 (2) 0.6,34, 0.63 C 2 0.62 0