1、向量的應(yīng)用三維目標(biāo)1知識(shí)與技能會(huì)用向量方法處理簡(jiǎn)單的物理和幾何問(wèn)題2過(guò)程與方法通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，研究向量法和坐標(biāo)法處理物理和幾何問(wèn)題的思想3情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)培養(yǎng)分析事物間相互聯(lián)系的能力，提高學(xué)科間相互滲透的學(xué)習(xí)方法(2)通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象思考，培養(yǎng)分析問(wèn)題和應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)與能力(3)培養(yǎng)熱愛(ài)生活、熱愛(ài)自然的高尚情懷重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：用向量方法解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題等一些實(shí)際問(wèn)題難點(diǎn)：用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法教學(xué)建議 關(guān)于向量方法在平面幾何及物理中的教學(xué)教學(xué)時(shí)，建議教師在引導(dǎo)學(xué)生回顧向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及向量加減法的幾何意義、向量共線定理、平面向量基本定理等知識(shí)的

2、前提下，通過(guò)實(shí)例充分展示向量的工具性，突出其在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，在鞏固知識(shí)的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和開(kāi)拓能力教學(xué)流程課標(biāo)解讀1.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題及其他的一些實(shí)際問(wèn)題2.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題(重點(diǎn)、難點(diǎn))用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”向量在物理中的應(yīng)用圖251如圖251，在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為，繩子所受到的拉力為F1，求：(1)|F1|，|F2|隨角的變化而變化的情況；(2)當(dāng)|F1|2|G|時(shí)，角的取值范圍【思路探究】由力的平衡原理知，重力G是繩子的拉力和水平拉力的合力，且GF2，F(xiàn)1與G的夾

3、角為，解三角形求得力的大小與的關(guān)系，再回答相關(guān)問(wèn)題【自主解答】(1)由力的平衡原理知，GF1F20，作向量F1，F(xiàn)2，G，則，四邊形OACB為平行四邊形，如圖由已知AOC，BOC，|，|tan .即|F1|，|F2|G|tan ，0，)由此可知，當(dāng)從0逐漸增大趨向于時(shí)，|F1|，|F2|都逐漸增大(2)當(dāng)|F1|2|G|時(shí)，有2|G|，cos ，又0，)0，1解力向量題時(shí)，依據(jù)題意對(duì)物體進(jìn)行受力分析，通過(guò)向量加法的平行四邊形法則對(duì)力進(jìn)行分解和合成2解題時(shí)要明確各個(gè)向量之間的關(guān)系及它們各自在題目中的地位，借助于圖形，將物理量之間的關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)模型圖252如圖252，作用于同一點(diǎn)O的三個(gè)力F1，

4、F2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，已知|F1|1，|F2|2，F(xiàn)1與F2的夾角為，求F3的大小【解】F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，F(xiàn)1F2F30，即F3(F1F2)，|F3|F1F2|.向量在平面幾何中的應(yīng)用圖253如圖253所示，四邊形ABCD是正方形，P是對(duì)角線DB上的一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PAEF.【思路探究】以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，DP，求出向量與的坐標(biāo)，分別求出它們的長(zhǎng)度判斷即可【自主解答】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，DP(0)，則A(0,1)，P(，)，E(1，)，F(xiàn)(，0)

5、(，1)，(1，)，|，|，|，PAEF.用向量證明平面幾何問(wèn)題的方法，常見(jiàn)有兩種思路：(1)向量的線性運(yùn)算法(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為2和4，求兩直角邊上的中線所夾的銳角的余弦值【解】如圖，在RtABC中，C90，D，E分別是BC，AC邊的中點(diǎn)BC2，AC4.則CD1，CE2.|，|2.()()42001210.設(shè)與的夾角為，則cos .故直線AD和BE所夾的銳角的余弦值為.法二如圖所示建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C為原點(diǎn)，兩直角邊為坐標(biāo)軸其中點(diǎn)A(0,4)，B(2,0)，D(1,0)，E(0,2)則(1，4)，(2，2)12(4)(2)10.|，|2.設(shè)與的夾角為，則co

6、s .故直線AD和BE所夾的銳角的余弦值為.向量在解析幾何中的應(yīng)用已知點(diǎn)P(3,0)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線AQ上，滿足0，當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程【思路探究】一般要先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)即M(x，y)，再結(jié)合已知條件用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與已知點(diǎn)坐標(biāo)表示，找出坐標(biāo)間的關(guān)系，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【自主解答】設(shè)點(diǎn)M(x，y)為軌跡上的任意一點(diǎn)，設(shè)A(0，b)，Q(a,0)(a0)，則(x，yb)，(ax，y)，(x，yb)(ax，y)a，b，則A(0，)，Q(，0)，(3，)，(x，y)0，(3，)(x，y)0.3xy20，所求軌跡方程為y24x(x0)利用向量法解決解析幾

7、何問(wèn)題，如有關(guān)平行、共線、垂直、夾角、距離等問(wèn)題均可用向量表示或用向量解決，要先將線段看成向量，再利用向量法則進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算使問(wèn)題得以解決已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y2x6，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若2，求點(diǎn)P的軌跡方程【解】設(shè)P(x，y)，R(x0，y0)，則(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)，(x，y)(1,0)(x1，y)由2，得又點(diǎn)R在直線l：y2x6上，y02x06，由得x032x，代入得62(32x)2y，整理得y2x，即為點(diǎn)P的軌跡方程.應(yīng)用問(wèn)題的題意理解不清致誤在水流速度為4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的實(shí)際航行速度垂直于對(duì)岸行駛，求這艘船的航行速度的大小與方

8、向【錯(cuò)解】如圖所示，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對(duì)岸行駛的速度，以，為鄰邊作ABDC，則就是船的航行速度由|12，得|12，又|4，|8(km/h)tanDAB，DAB60，船的航行速度的大小為8 km/h，方向與水流方向的夾角為60.【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中錯(cuò)在沒(méi)有正確理解題意，導(dǎo)致船的航行方向求解錯(cuò)誤【防范措施】準(zhǔn)確理解題意，抽象出物理問(wèn)題中的向量，建立為以向量為主體的數(shù)學(xué)模型，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在【正解】如圖所示，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對(duì)岸行駛的速度，以為一邊，為一對(duì)角線作ABCD，則就是船的航行速度|4，|12，|8，tanACB.CADACB30，BAD120，船的航行速度的大小

9、為8 km/h，方向與水流方向的夾角為120. 1平面向量在幾何表示下的應(yīng)用通常先選取一組基底，基底中的向量最好已知模及兩者之間的夾角，然后將問(wèn)題中出現(xiàn)的向量用基底表示，再利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律以及一些重要性質(zhì)運(yùn)算，最后把運(yùn)算結(jié)果還原為幾何關(guān)系2平面向量在坐標(biāo)表示下的應(yīng)用利用平面向量的坐標(biāo)表示，可以將平面幾何中長(zhǎng)度、垂直、平行等問(wèn)題很容易地轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算的問(wèn)題，運(yùn)用此種方法必須建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，有時(shí)是最不容易做到的3用向量理論討論物理中相關(guān)問(wèn)題的步驟(1)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)

10、解；(4)問(wèn)題的答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象.1若向量1(2,2)，2(2,3)分別表示兩個(gè)力F1，F(xiàn)2，則|F1F2|_.【解析】F1F2(2,2)(2,3)(0,5)，|F1F2|5.【答案】52在ABC中，A(1,2)，B(3,1)，C(2，3)，則AC邊上的高所在直線方程為_(kāi)【解析】(3，5)，設(shè)P(x，y)是所求直線上任意一點(diǎn)，(x3，y1)，所以AC邊上的高所在的直線方程為(x3，y1)0，即3x5y40.【答案】3x5y403在四邊形ABCD中，若0，0，則四邊形的形狀為_(kāi)【解析】，|，且，故四邊形ABCD為矩形【答案】矩形圖2544如圖254所示，在

11、平行四邊形ABCD中，已知AD1，AB2，對(duì)角線BD2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)【解】設(shè)a，b，則ab，ab.|ab|，|252ab4.可得2ab1.|2|ab|2a22abb2|a|22ab|b|2142ab，|26，|，即AC.一、填空題1點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度v(4，3)，設(shè)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(速度單位：m/s，長(zhǎng)度單位：m)_【解析】5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,10)5(4，3)(10，5)【答案】(10，5)2已知三個(gè)力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同時(shí)作用于某一物體上的一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個(gè)力f4，則f4等于_【解析】

12、由題意可知f4(f1f2f3)(2，1)(3,2)(4，3)(1，2)(1,2)【答案】(1,2)3在RtABC中，C90，AC4，則等于_【解析】C90，0，()216.【答案】164(2013無(wú)錫高一檢測(cè))若四邊形ABCD滿足0，()0，則該四邊形的形狀一定是_【解析】0，AB綊CD，四邊形ABCD是平行四邊形()0，0，四邊形ABCD是菱形【答案】菱形5(2013重慶高考)在OA為邊，OB為對(duì)角線的矩形中，(3,1)，(2，k)，則實(shí)數(shù)k_.【解析】如圖所示，由于(3,1)，(2，k)，所以(1，k1)在矩形中，由得0，所以(3,1)(1，k1)0，即311(k1)0，解得k4.【答案】

13、46若，則O是ABC的_心【解析】()0，0，.同理，故點(diǎn)O為ABC的垂心【答案】垂7已知直線axbyc0與圓x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，且AB，則_.【解析】|1，|1，|，AOB120，11cos 120.【答案】8已知船在靜水中的速度大小為5 m/s，且船在靜水中的速度大小大于水流速度大小，河寬為20 m，船垂直到達(dá)對(duì)岸用的時(shí)間為5 s，則水流速度大小為_(kāi)m/s.【解析】設(shè)船在靜水中的速度為v1，水流速度為v2，船的實(shí)際速度為v3，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系|v1|5 m/s，|v3|4 m/s，則v3(0,4)，v1(3,4)，v2v3v1(0,4)(3,4)(3,0)|v2|3 m

14、/s，即水流的速度大小為3 m/s.【答案】3二、解答題9已知，四邊形ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對(duì)角線，求證ACBD.【證明】，()()|2|20，即ACBD.10一條小船以10 km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向航行，小船實(shí)際行駛的方向與水流方向成60角，求水流速度大小與船的實(shí)際速度大小【解】如圖所示，表示小船垂直于對(duì)岸行駛的速度，表示水流速度，表示船的實(shí)際速度則由題意知NOP60，|10，又四邊形OMPN是矩形，|sin 6010.|.|cos 60.水流速度為 km/h，船的實(shí)際速度為 km/h.11已知圓C：(x3)2(y3)24及點(diǎn)A(1,1)，M是圓C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段

15、MA的延長(zhǎng)線上，且MA2AN，求點(diǎn)N的軌跡方程【解】設(shè)M(x0，y0)，N(x，y)，則(1x0,1y0)，(x1，y1)，由2，得又點(diǎn)M在圓C上，即(x03)2(y03)24，(2x33)2(2y33)24，即x2y21，點(diǎn)N的軌跡方程為x2y21.在OAB的邊OA、OB上分別有一點(diǎn)P、Q，已知OPPA12，OQQB32，連結(jié)AQ、BP，設(shè)它們交于點(diǎn)R，若a，b.(1)用a與b表示；(2)若|a|1，|b|2，a與b的夾角為60，過(guò)點(diǎn)R作RHAB交AB于點(diǎn)H，用a與b表示.【思路探究】本題主要考查向量的線性運(yùn)算、共線向量和向量的垂直，充分利用三點(diǎn)共線的隱含條件是解決本題的關(guān)鍵【自主解答】(1)a，b，由A、R、Q三點(diǎn)共線，可設(shè)m，故amam()(1m)amb.同理，由B、R、P三點(diǎn)共線，可設(shè)n，故bn()a(1n)b，由于a與b不共線，則解得ab.(2)由A、H、B共線，可設(shè)，則a(1)b，()a()b.又，0，即()a()b(ba)0.又ab|a