1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)習題解答 （浙大第四版） 第一章第一章 概率的基本概念概率的基本概念 習題解析習題解析 第第 11、22題 題 隨機試驗隨機試驗、樣本空間、樣本空間、隨機事件、隨機事件 第第 11、22題題 隨機試驗隨機試驗、樣本空間樣本空間、隨機事件隨機事件 - 1寫出下列隨機試驗的樣本空間： （1）記錄一個小班一次數(shù)學考試的平均分數(shù) （設(shè)以百分制記分）。 （2）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10 件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。 （3）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的記上 “正品”，不合格的記上 “次品”，如連續(xù) 查出2 個次品就停止檢查，或檢查4 個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。 （4 ）在

2、單位圓內(nèi)任意取一點，記錄它的坐標。 解解 （1）高該小班有n 個人，每個人數(shù)學考試的分數(shù)的可能取值為 0，1，2，100，n 解解 0 1 100n 個人分數(shù)這和的可能取值為0，1，2，100n，平均分數(shù)的可能取值為 , ,., , 則 n n n 樣本空間為 k S= k = 0,1,2,100n n （2）樣本空間S=10，11，S 中含有可數(shù)無限多個樣本點。 （3）設(shè)1 表示正品，0 有示次品，則樣本空間為 S= （0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1， 0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，

3、1，0，1），（1，1， 1，0），（1，1，1，1） 例如 （1，1，0，0）表示第一次與第二次檢查到正品，而第三次與第四次檢查到次品。 （4 ）設(shè)任取一點的坐標為 （x，y），則樣本空間為 2 2 S (x, y) x + y 1 - 2設(shè)A，B，C 為三個事件，用A，B，C 的運算關(guān)系表示下列事件。 （1）A 發(fā)生，B 與C 不發(fā)生； （2）A 與B 都發(fā)生，而C 不發(fā)生； （3）A，B，C 中至少有一個發(fā)生； （4 ）A，B，C 都發(fā)生； （5）A，B，C 都不發(fā)生； （6）A，B，C 中不多于一個發(fā)生； （7）A，B，C 中不多于兩個發(fā)生； （8）A，B，C 中至少有兩個發(fā)生。 解解

4、 此題關(guān)鍵詞：“與，”“而”，“都”表示事件的 “交”；“至少”表示事件的 “并”；“不多 解解 于”表示 “交”和“并”的聯(lián)合運算。 （1）ABC 。（2）AB C 或ABC。 （3）A B C。 （4 ）ABC。 （5）ABC 。 （6 ）A ， B ， C 中 不 多 于 一 個 發(fā) 生 為 僅 有 一 個 發(fā) 生 或 都 不 發(fā) 生 ， 即 A BC ABC ABC ABC ，A，B，C 中不多于一個發(fā)生，也表明A,B,C 中至少有兩 個發(fā)生，即AB BC AC ABC 。 （7）A，B，C 中不多于兩個發(fā)生，為僅有兩個發(fā)生或僅有一個發(fā)生，或都不發(fā)生，即表示 為 ABC ABC ABC

5、 ABC ABC ABC ABC 而 ABC 表示三個事件都發(fā)生，其對立事件為不多于兩個事件發(fā)生，因此又可以表示為 ABC = A B C 。 （8）A，B，C 中至少有兩個發(fā)生為A，B，C 中僅有兩個發(fā)生或都發(fā)生，即為 ABC ABC ABC ABC 也可以表示為AB BC AC。 第第3.3.（11）、）、6、6、88、99、1010題 題 概率的定義概率的定義、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì)、古典概型、古典概型 第第33. （11）、）、66、88、99、1010題題 概率的定義概率的定義、概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)、古典概型古典概型 - 1 1 3（1）設(shè) A，B，C 是三件，且P(A) = P(B

6、) = P(C ) = ,P(AB) = P(BC ) = 0,P(AC ) = , 4 8 求A，B，C 至少有一個生的概率。 解解 利用概率的加法公式 解解 3 1 5 P(A B C ) = P(A) + P(A) + P(C ) P(AB) P(BC ) P(AC ) + P(ABC ) = = 4 8 8 其中由P(AB) = P(BC ) = 0, 而ABC AB 得P(ABC ) = 0 。 - 6在房間里有 10 個人，分別佩戴從 1 號到 10 號的紀念章，任選3 人記錄其紀念章的號碼。 求 （1）最小號碼為5的概率； （2）最大號碼為5的概率。 解 解 利用組合法計數(shù)基本事

7、件數(shù)。從 10 人中任取 3 人組合數(shù)為C3 ，即樣本空間 解解 10 S= C3 = 120個基本事件 。 10 （1）令事件A=最小號碼為 5。最小號碼為5，意味著其余號碼是從6，7，8，9，10 的5 個號碼中取出的，有C2 種取法，故A= C2 = 10個基本事件 ，所求概率為 5 5 5! C2 2!3! 10 1 P(A) = 5 = = = C3 10! 120 12 10 3!7! （2）令事件B=最大號碼為 5，最大號碼為5，其余兩個號碼是從 1，2，3，4 的4 個號碼 2 2 中取出的，有C 種取法，即B= C 個基本事件 ，則 4 4 4! C2 2!2! 6 1 P(

8、B) = 4 = = = C3 10! 120 20 10 3!7! - 8在1 500 個產(chǎn)品中有400 個次品，1 100 個正品。從中任取200 個。求 （1）恰有90 個次品的概率； （2）至少有2 個次品的概率。 解解 （1）利用組合法計數(shù)基本事件數(shù)。令事件A=恰有 90 個次品，則 解解 C90 C110 P(A) = 400 1100 C200 1500 （2）利用概率的性質(zhì)。令事件B=至少有2 個次品，A = 恰有i 個次品，則 B = A A A ,AiAi = (i j) 2 3 200 所求概率為 200 P(B) = P(A A , A ）= P(A ) 2 3 200

9、 i i=2 顯然，這種解法太麻煩，用對立事件求解就很簡單。令事件B =恰有 0 個次品或恰有 1 個次品，即B = A A ，而 0 1 C200 C1 C199 P(B) = P(A A ) = P(A ) + P(A ) = 1100 + 400 1100 0 1 0 1 200 200 C C 1500 1500 故 C200 C1 C199 P B P B 1100 400 1100 ( ) = 1 ( ) = 1 200 200 C C 1500 1500 - 9從5 雙不同的鞋子中任取4 只，問這4 只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？解解 令事件A=4 只鞋子中至少有兩

10、只鞋子配成一雙。用3 種方法求P （A ）。 解解 A 的對立事件A =4 只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙，從5 又鞋中任取4 只，即 從 10 只鞋中任取 4 只，所有可能組合數(shù)為C4 ，樣本空間 S= C4 個基本事件，現(xiàn)考慮有 10 10 4 4 利于A 的基本事件數(shù)。從 5 雙鞋中任取 4 雙，再從每雙中任取一只，有C 2 種取法，即 5 4 4 A = C 2 個基本事件，則 5 4 4 4 C 2 5 2 13 P A P A 5 ( ) = 1 ( ) = 1 4 = 1 = C 210 21 10 4 只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列數(shù)為A4 ，即樣本空間S= A

11、4 10 10 個基本事件。現(xiàn)考慮有利于A 的基本事件，從 10 只鞋中任取一只，與它配成雙的一只不 取，從其余 8 只鞋中任取一只，與它配成雙的一只不取，依此類推，則A =10864 個基本事件。于是 10 8 6 4 10 8 6 4 8 13 P(A) = 1 P(A) = 1 4 = 1 = 1 = A 10 9 8 7 21 21 10 利用組合法計數(shù)基本事件數(shù)。考慮有利于事件A 的基本事件數(shù)，任取的4 只鞋配成 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 一雙的取法有C C C 2 種，能配成兩雙的取法有C C 種，于是A= （C C C 2 + C C ） 5 2 4 5 2

12、 5 2 4 5 2 個基本事件，則 1 2 2 2 2 2 C C C 2 + C C 130 13 P(A) = 5 2 4 5 2 = = C4 210 21 10 此題的第 1 種方法和第2 種方法是利用概率性質(zhì)： P(A)+ P(A)=1 首先求P(A) ，然后求P(A) 。第 3 種方法是直接求P(A) 。讀者還可以用更多方法求 P(A) 。 - 10在11 張卡片上分別寫上Probability 這 11 個字母，從中任意連抽7 張，求其排列結(jié)果為 ability 的概率。 解解 令事件 A=排列結(jié)果為 ability，利用排列法計數(shù)基本事件數(shù)。不放回的從中一次抽 1 解解 張的

13、連抽 7 張，要排成單詞，因此用排列法。樣本空間= A7 個基本事件。排列結(jié)果 11 1 為ability，實際收入字母b 的卡片有兩張，寫字母i 的卡片有兩張，取b 有C 種取法， 2 1 1 1 取i 有C 種取法，其余字母都只有 1 種取法，故A = C C 個基本事件，于是 2 2 2 1 1 C C 4 P(A) = 2 2 = = 0 A7 11 10 9 8 7 6 5 11 這是個小概率事件。 第第 114.4.（22）、）、1515、1919、1818題 題 條件概率條件概率、概率的加法公式和乘法公式、概率的加法公式和乘法公式 第第 114.4. （22）、）、1155、19

14、19、1818題題 條件概率條件概率、概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式 - 1 1 1 14（2）已知P(A) = ，P(B A) = ,P(A B) = , 求P(A B) 。 4 3 2 解解 利用概率加法公式和概率乘法公式。 解解 P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) 解此題的關(guān)鍵是求P(B)和P(AB) 。由概率乘法公式，得 1 1 1 P(AB) = P(A)P(B A) = = 4 3 12 又P(AB) = P(B)P(A B) ，解得 1 P(AB) 12 1 P(B) = = = P(A B) 1 6 2 于是所求概率為 1 1 1 1 P(A

15、 B) = + = 4 6 12 3 此題的關(guān)鍵是利用 P(A)P(B A) = P(B)P(A B) ，求出 P(AB) 和 P(B) ，再求 P(A B) 就迎刃而解了。 - 15擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數(shù)和為7，求其中有一顆為 1 點的概率 （用兩種方法）。 解解 令事件A=兩顆骰子點數(shù)之和為7，B=有一顆為 1 點。此題是求條件概率P(B A) 。 解解 兩種方法如下： 考慮整個樣本空間。隨機試驗：擲兩顆骰子，每顆骰子可能出現(xiàn)的點數(shù)都是6 個， 即樣本空間S=62 個基本事件。事件AB=兩顆骰子點數(shù)之間和為7，且有一顆為 1 點， 兩顆骰子點數(shù)之和為7 的可能結(jié)果為6 個，即 A=

16、（1，6），（2，5），（3，4 ），（6，1），（5，2），（4，3） 而AB= （1，6），（6，1）。由條件概率公式，得 2 ( ) 2 1 P AB 36 ( ) = = = = P B A P(A) 6 6 3 36 已知事件A 發(fā)生后，將A 作為樣本空間，其中有兩個結(jié)果 （1，6）和（6，1）只有 一顆骰子出現(xiàn) 1 點，則在縮減的樣本空間中求事件B 發(fā)生的條件概率為 2 1 P(B A) = = 6 3 - 18某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)，因而他隨意地撥號。求他撥號不超過三次而接通所 需電話的概率。若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？ 解 利用概率性質(zhì)解 (有限可加性)

17、和概率乘法公式。 解解 令事件Ai = 第i 次撥通電話，“到第i 次撥通電話”這個事件為A A A A （i=1， 1 2 i1 i 2，3）。事件B=不超過三次而撥通電話，則 B= A A A A A A 1 1 2 1 2 3 該事件表示第一次撥通電話，或者第一次未撥通，第二撥通電話 （到第二次撥通電話），或 者第一、二次未撥通，第三次撥通電話 （到第三次撥通電話）。右端是互不相容事件的并事 件，所以用有限可加性計算，得 P(B) = P(A A A A A A ) 1 1 2 1 2 3 P A P A A P A A A = ( 1) + ( 1 2 ) + ( 1 2 3 ) =

18、P(A ) + P(A )P(A A ) + P(A )P(A A )P(A A A ) 1 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 9 1 9 8 1 3 = + + = 10 10 9 10 9 8 10 1 撥號是從 0，1，2，9的 10個數(shù)字中任取一個，有 10種取法，第一次撥通的概率是 ； 10 9 第一次未撥通的概率為 ，第二次撥號時，是從其余9 個數(shù)字中任取一個，所以撥通的概 10 1 9 1 1 1 率為 ，到第二次撥通的概率為 = ，依此類推，到第n 次撥通電話的概率都是 ， 9 10 9 10 10 與順序無關(guān)。 已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)時，令事件C=撥號不超過三次而接通電

19、話。撥號是從1， 1 3，5，7，9 的五個數(shù)字中任取一個，有 5 種取法，第一次撥通的概率為 ，到第二次撥通 5 4 1 1 4 3 1 1 的概率為 = ，到第三次撥通的概率為 = ，與上述分析方法和用的概率公 5 4 5 5 4 3 5 式相同，所以 1 4 1 4 3 1 3 P(C ) = + + = 5 5 4 5 4 3 5 第第21、21、2222、3535、3838題 題 全概率公式全概率公式、貝葉斯公式、貝葉斯公式、事件的獨立性、事件的獨立性 第第2121、2222、3535、3838題題 全概率公式全概率公式、貝葉斯公式貝葉斯公式、事件的獨立性事件的獨立性 - 21已知男

20、人中有50 0 是色盲患者，女人中有0.25 0 0 是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人 群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？ 解解 令事件A=隨機地選一人是女性，對立事件A =隨機地選一人是男性。因為人群中 解解 1 男女人數(shù)相等，所以P(A) = P(A) = ，且 A，A 是樣本空間的一個劃分。事件 C=隨機 2 地挑選一人恰好是色盲。已知 0.25 5 P(C A) = ,P(C A) = 100 100 由全概率公式，得 P(C ) = P(A)P(C A) + P(A)P(C A) 1 0.25 1 5 = + = 0.02625 2 100 2 100 由

21、貝葉斯公式，得 1 5 P(AC ) P(A)P(C A) 2 100 ( ) 0.9524 P A C = = = = P(C ) P(C ) 0.02625 - 22一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次 及格的概率也為 P；若第一次不及格則第二次及格的概率為p 2 。（1）若至少有一次及格則 他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及 格的概率。 解 令事件解 Ai=一學生第 i 次考試及格（i=1，2），已知 解解 P P(A ) = P,P(A ) = 1 P,P(A A )P(A A ) = 1 1 2

22、1 2 1 2 （1）由概率加法公式，得 P(A A ) = P(A ) + P(A ) P(A A ) 1 2 1 2 1 2 = P(A ) + P(A ) P(A )P(A A ) 1 2 1 2 1 利用對立事件求概率 P(A A ) = 1 P(A A ) = 1 P(A A ) 1 2 1 2 1 2 = 1 P (A )P (A A ) 1 2 1 = 1 P (A )1 P (A A ) 1 1 2 P 3 1 2 = 1 (1 P )(1 ) = P P 2 2 2 顯然用后者求解簡單。 （2）利用條件概率公式。 P(A A ) P(A )P(A A ) P(A A ) =

23、1 2 = 1 2 1 2 1 P(A ) P(A ) 2 2 P2 2P = = P2 + P(1 P) P + 1 2 - 35如果一危險情況C 發(fā)生時，一電路閉合并發(fā)出警報，我們可以借用兩個或多個開關(guān)并聯(lián) 以改善可靠性，在 C發(fā)生時這些開關(guān)每一個都應(yīng)閉合，且若至少一個開關(guān)閉合了，警報就發(fā) 出。如果兩個這樣的開關(guān)聯(lián)聯(lián)接，它們每個具有0.96 的可靠性 （即在情況C 發(fā)生時閉合的 概率），問這時系統(tǒng)的可靠性 （即電路閉合的概率），是多少？如果需要有一個可靠性至少為 0.9999 的系統(tǒng),則至少需要用多少只開關(guān)并聯(lián)?設(shè)各開關(guān)閉合與否是相互獨立的。 解 利用事件的獨立性解 。 解解 令事件A =

24、第 i 只開關(guān)閉合。已知P(A ) = P(A ) = 0.96 。令事件B=電路閉合。 i 1 2 兩只開關(guān)并聯(lián)聯(lián)接，則B = A A ，即至少有一只開關(guān)閉合，電路就閉合。而A 與A 相互 1 2 1 2 獨立，所以電路閉合的概率為 P(B) = P(A A ) = P(A ) + P(A ) P(A A ) 1 2 1 2 1 2 = P(A ) + P(A ) P(A )P(A ) 1 2 1 2 = 0.96 + 0.96 (0.96)2 = 0.9984 這種解題思路是讀者容易想到的.另一種解法是利用對立事件,計算此較簡單. = = P(B) P(A A ) 1 P(A A ) 1 2 1 2 = 1