1、第二章 圓錐曲線與方程自我校對(duì)對(duì)稱性離心率頂點(diǎn)漸近線離心率_圓錐曲線定義及應(yīng)用圓錐曲線的定義是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”，對(duì)于圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重要的解題策略研究有關(guān)點(diǎn)間的距離的最值問(wèn)題時(shí)，常用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點(diǎn)的距離或利用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為其到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，再利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決有關(guān)的最值問(wèn)題(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程5|3x4y12|，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A橢圓B雙曲線C拋物線 D以上都不對(duì)(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過(guò)F1的

2、直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_(kāi)【精彩點(diǎn)撥】(1)利用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件符合拋物線定義(2)利用橢圓定義來(lái)解【規(guī)范解答】(1)把軌跡方程5|3x4y12|寫(xiě)成.動(dòng)點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離與它到直線3x4y120的距離相等點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線3x4y120為準(zhǔn)線的拋物線(2)設(shè)橢圓方程為1(ab0)，因?yàn)锳B過(guò)F1且A，B在橢圓上，如圖所示，則ABF2的周長(zhǎng)為|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4.又離心率e，c2，b2a2c28，橢圓C的方程為1.【答案】(1)C(2)1再練一題1點(diǎn)P是拋物線y28x上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦

3、點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,3)，求|PM|PF|的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【解】拋物線y28x的準(zhǔn)線方程是x2，那么點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線x2的距離，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直于準(zhǔn)線x2，垂足為D，那么|PM|PF|PM|PD|.如圖所示，根據(jù)平面幾何知識(shí)，當(dāng)M，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|PF|的值最小，且最小值為|MD|2(2)4，所以|PM|PF|的最小值是4.此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，所以其橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是.圓錐曲線的方程與性質(zhì)橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，主要指圖形的范圍、對(duì)稱性，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、中心坐標(biāo)、離心率、準(zhǔn)線、漸近線以及幾何元素a，b，c，e之間的關(guān)系等如圖21所

4、示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()圖21A. B C D【精彩點(diǎn)撥】由橢圓可求出|AF1|AF2|，由矩形求出|AF1|2|AF2|2，再求出|AF2|AF1|即可求出雙曲線方程中的a，進(jìn)而求得雙曲線的離心率【規(guī)范解答】由橢圓可知|AF1|AF2|4，|F1F2|2.因?yàn)樗倪呅蜛F1BF2為矩形，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，所以2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|2

5、2|AF1|AF2|1248，所以|AF2|AF1|2，因此對(duì)于雙曲線有a，c，所以C2的離心率e.【答案】D再練一題2已知橢圓1(ab0)的半焦距是c，A，B分別是長(zhǎng)軸、短軸的一個(gè)端點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若ABO的面積是c2，則這一橢圓的離心率是()A. B C D【解析】abc2，即a2(a2c2)12c4，所以(a23c2)(a24c2)0，所以a24c2，a2c，故e.【答案】A直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要有：(1)有關(guān)直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；(2)有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系；(3)有關(guān)垂直問(wèn)題，應(yīng)注意運(yùn)用斜率關(guān)系及根與系數(shù)

6、的關(guān)系，盡量設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算已知橢圓1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)圖22(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：yxm與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足，求直線l的方程【精彩點(diǎn)撥】(1)利用定義解題(2)利用勾股定理和弦長(zhǎng)公式來(lái)解【規(guī)范解答】(1)由題設(shè)知解得a2，b，c1，橢圓的方程為1.(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2y21，圓心到直線l的距離d，由d1得|m|1時(shí)，設(shè)切線l的方程為yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y

7、2)，則x1x2，x1x2.又由l與圓x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于當(dāng)m1時(shí)，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因?yàn)閨AB|2，當(dāng)且僅當(dāng)m時(shí)，|AB|2，所以|AB|的最大值為2.1已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3)B(1，)C(0,3) D(0，)【解析】若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且n0，b0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2，)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.1 B1C.1 D1【解析】由雙曲線的漸近線yx過(guò)點(diǎn)(2，)，可得2.由雙曲線的

8、焦點(diǎn)(，0)在拋物線y24x的準(zhǔn)線x上，可得.由解得a2，b，所以雙曲線的方程為1.【答案】D5已知橢圓E：1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.(1)當(dāng)t4，|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，求k的取值范圍【解】設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y10.(1)當(dāng)t4時(shí)，E的方程為1，A(2,0)由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2.(2)由題意t3，k0，A(，0)將直線AM的方程yk(x)代入

9、1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由題設(shè)，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)當(dāng)k時(shí)上式不成立，因此t.t3等價(jià)于0，即0.由此得或解得k2.因此k的取值范圍是(，2)章末綜合測(cè)評(píng)(二)圓錐曲線與方程(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1雙曲線3x2y29的焦距為()A.B2C2D4【解析】方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1，a23，b29.c2a2b212，c2，2c4.【答案】D2對(duì)拋物線y4x2，下

10、列描述正確的是()A開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為(0,1)B開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為C開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為(1,0)D開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為【解析】拋物線可化為x2y，故開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為.【答案】B3拋物線y24x的焦點(diǎn)到雙曲線x21的漸近線的距離是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A. B C1 D【解析】拋物線y24x的焦點(diǎn)為(1,0)，到雙曲線x21的漸近線xy0的距離為，故選B.【答案】B4已知拋物線C1：y2x2的圖象與拋物線C2的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，則拋物線C2的準(zhǔn)線方程是()Ax BxCx Dx【解析】拋物線C1：y2x2關(guān)于直線yx對(duì)稱的C2的表達(dá)式為x2(y)2，即y2x，其準(zhǔn)線方程為x.【答案】C5已知點(diǎn)F，A分別為

11、雙曲線C：1(a0，b0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B(0，b)滿足0，則雙曲線的離心率為()A. BC. D【解析】0，F(xiàn)BAB，b2ac，又b2c2a2，c2a2ac0，兩邊同除以a2，得e21e0，e.【答案】D6已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx【解析】由e，得，ca，ba.而1(a0，b0)的漸近線方程為yx，所求漸近線方程為yx.【答案】C7.如圖1，已知F是橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PFx軸，OPAB(O為原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()圖1A. B C D【解析】因?yàn)镻Fx軸，所以P.又OPAB，所以，即bc.

12、于是b2c2，即a22c2，所以e.【答案】A8若點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為()A32，) B32，)C. D【解析】因?yàn)殡p曲線左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(2,0)，所以c2.所以c2a2b2a21，即4a21，解得a.設(shè)P(x，y)，則x(x2)y2，因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線y21上，所以x22x121.又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以x.所以當(dāng)x時(shí)，最小，且為32，即的取值范圍是32，)【答案】B9已知定點(diǎn)A，B滿足AB4，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB3，則PA的最小值是()A. B C D5【解析】已知定點(diǎn)A，B滿足AB4，動(dòng)點(diǎn)P滿足P

13、APB3，則點(diǎn)P的軌跡是以A，B為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且a，c2.所以PA的最小值是點(diǎn)A到右頂點(diǎn)的距離，即為ac2，選C.【答案】C10若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率為，則n()A. B C D【解析】依題意知，a，b，c2a2b22n，又e，n.【答案】B11已知直線yk(x2)與雙曲線1，有如下信息：聯(lián)立方程組消去y后得到方程Ax2BxC0，分類討論：(1)當(dāng)A0時(shí)，該方程恒有一解；(2)當(dāng)A0時(shí)，B24AC0恒成立在滿足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是()A(1, B，)C(1,2 D2，)【解析】依題意可知直線恒過(guò)定點(diǎn)(2,0)，根據(jù)(1)和(2)可知直線與雙曲線恒有

14、交點(diǎn)，故需要定點(diǎn)(2,0)在雙曲線的左頂點(diǎn)上或左頂點(diǎn)的左邊，即2，即00)上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與x軸平行，若同時(shí)與直線l、直線PF、x軸相切且位于直線PF左側(cè)的圓與x軸切于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q()A位于原點(diǎn)的左側(cè) B與原點(diǎn)重合C位于原點(diǎn)的右側(cè) D以上均有可能【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸、直線l分別交于點(diǎn)D，C，圓與直線l、直線PF分別切于點(diǎn)A，B.如圖，由拋物線的定義知PCPF，由切線性質(zhì)知PAPB，于是ACBF.又ACDO，BFFQ，所以DOFQ，而DOFO，所以O(shè)，Q重合，故選B.【答案】B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分將答案填在題中的橫線上)13雙曲線1的

15、兩條漸近線的方程為_(kāi)【解析】由雙曲線方程可知a4，b3，所以兩條漸近線方程為yx.【答案】yx14已知F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)若F2AF2B12，則AB_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】由題意，知(AF1AF2)(BF1BF2)ABAF2BF22a2a，又由a5，可得AB(BF2AF2)20，即AB8.【答案】815.如圖2所示，已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線C上，且在x軸的上方，過(guò)點(diǎn)A作ABl于B，AKAF，則AFK的面積為_(kāi)圖2【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線l為x2，K(2,0)，設(shè)A(x0，y0)(y0

16、0)，過(guò)點(diǎn)A作ABl于B，B(2，y0)，AFABx0(2)x02，BK2AK2AB2，x02，y04，即A(2,4)，AFK的面積為KFy0448.【答案】816設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若FQ2，則直線l的斜率等于_【解析】設(shè)直線l的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由聯(lián)立得k2x22(k22)xk20，x1x2，1，即Q.又FQ2，F(xiàn)(1,0)，224，解得k1.【答案】1三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿分10分)已知橢圓C：1(ab0

17、)的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.求橢圓C的方程【解】設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，得a且e，a，c，從而b2a2c21，因此所求橢圓的方程為y21.18(本小題滿分12分)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓1(0b10)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)(1)求PF1PF2的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面積為，求b的值【解】(1)PF1PF22100(當(dāng)且僅當(dāng)PF1PF2時(shí)取等號(hào))，PF1PF2的最大值為100.(2)SF1PF2PF1PF2sin 60，PF1PF2，由題意知：3PF1PF24004c2.由得c6，b8.19(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心

18、在x軸上，半徑為4的圓C位于y軸右側(cè)，且與y軸相切(1)求圓C的方程；(2)若橢圓1的離心率為，且左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2.試探究在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PF1F2為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由【解】(1)依題意，設(shè)圓的方程為(xa)2y216(a0)圓與y軸相切，a4，圓的方程為(x4)2y216.(2)橢圓1的離心率為，e，解得b29.c4，F(xiàn)1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，F(xiàn)2(4,0)恰為圓心C，()過(guò)F2作x軸的垂線，交圓于點(diǎn)P1，P2，則P1F2F1P2F2F190，符合題意；()過(guò)F1可作圓的兩條切線，分別與圓相切于點(diǎn)P3，P4，連接CP3，CP4，則F1

19、P3F2F1P4F290，符合題意綜上，圓C上存在4個(gè)點(diǎn)P，使得PF1F2為直角三角形20(本小題滿分12分)(2016江南十校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)P(4，)(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：0；(3)求F1MF2的面積【解】(1)e，可設(shè)雙曲線方程為x2y2.過(guò)點(diǎn)P(4，)，1610，即6.雙曲線方程為x2y26.(2)法一由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.點(diǎn)(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，M點(diǎn)在雙曲線上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底邊|F1F2|4，F(xiàn)1MF2的高h(yuǎn)|m|，SF1MF26.21(本小題滿分12分)(2013北京高考)已知A，B，C是橢圓W：y21上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并