1、信號(hào)與線性系統(tǒng),第 9 講 教材位置: 第5章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 5.1-5.3 內(nèi)容概要: 引言、拉普拉斯變換、拉普拉斯變換收斂區(qū),2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,2,開(kāi)講前言前講回顧,信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的頻域分析 信號(hào)變換-建立系統(tǒng)函數(shù)-頻域響應(yīng)-時(shí)域響應(yīng) 系統(tǒng)函數(shù)建立:相量法、沖激響應(yīng)變換法 理想低通濾波器階躍響應(yīng) 響應(yīng)建立時(shí)間與通頻帶成反比 因果系統(tǒng)的條件 系統(tǒng)函數(shù)不能在有限頻帶為0 衰減速度限制在指數(shù)衰減內(nèi) 線性不失真系統(tǒng) 幅頻特性：常數(shù) 相頻特性：過(guò)原點(diǎn)直線,關(guān)于作業(yè),3.8 簡(jiǎn)單的處理，后續(xù)相鄰1/4周期為0 4.3 信號(hào)分解為基函數(shù)的組合（變換） 各諧波分量的大

2、小-三角級(jí)數(shù)的系數(shù)，直流分量不要丟失 系統(tǒng)函數(shù)對(duì)各諧波的作用（物理概念）：90相移，余弦變正弦 傅里葉變換積分性質(zhì)的應(yīng)用注意事項(xiàng) 時(shí)域微分將會(huì)丟失直流分量 對(duì)微分后函數(shù)的傅里葉變換采用積分性質(zhì)求原函數(shù)傅里葉變換，需要考慮直流分量的傅里葉變換項(xiàng) 教材P142舉例 3.15 信號(hào)傅里葉變換不存在的分析理解 狄利赫萊條件的充分（非必要）性的理解,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,3,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,4,開(kāi)講前言本講導(dǎo)入,由傅里葉變換引出的話題 傅里葉變換是物理意義明確的信號(hào)分解方法； 傅里葉變換拓展了信號(hào)分析的范圍； 傅里葉變換對(duì)信號(hào)的數(shù)學(xué)要求嚴(yán)格，應(yīng)用的適應(yīng)性受到

3、限制； 傅里葉變換的數(shù)學(xué)計(jì)算比較麻煩，積分運(yùn)算為主，非代數(shù)運(yùn)算； 傅里葉變換只能用于確定零狀態(tài)響應(yīng)； 希望把傅里葉變換進(jìn)行擴(kuò)充、變通 降低對(duì)變換信號(hào)的數(shù)學(xué)要求； 簡(jiǎn)化計(jì)算，最好只要代數(shù)解法就能勝任； 這就是學(xué)習(xí)拉普拉斯變換的目的。,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,5,5.1引言,1、拉普拉斯變換與傅里葉變換差別 頻域 j 變換到 復(fù)頻域 sj 基本變換單元由虛冪指數(shù)函數(shù)ejt 或cost，變換到復(fù)冪指數(shù)函數(shù)est 或et cost， 由于基本變換單元是一個(gè)非等幅的正弦信號(hào)，對(duì)不同的信號(hào)形式（指數(shù)冪次情況不同），采用不同的指數(shù)實(shí)部作為基本變換單元，就能達(dá)到變換收斂的目的。 實(shí)部的取值范

4、圍就是變換的收斂區(qū)所在。,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,6,5.1引言,2、拉普拉斯變換的特點(diǎn) 收斂區(qū)域需要專門提出來(lái)考慮； 基本信號(hào)的變換計(jì)算簡(jiǎn)單，常用信號(hào)的變換可以方便推導(dǎo)，反變換可以只通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到，沒(méi)有微積分運(yùn)算； 初始條件自動(dòng)計(jì)入，不用單獨(dú)考慮零輸入響應(yīng)，全解一次求得； 利用拉普拉斯變換進(jìn)行系統(tǒng)函數(shù)的分析，都有數(shù)學(xué)手段將它們轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行。,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,7,5.2拉普拉斯變換,1、傅里葉變換到拉普拉斯變換的思路 傅里葉變換不存在的原因，是函數(shù)不可積 信號(hào)的衰減不夠，導(dǎo)致時(shí)域內(nèi)積分不收斂。 簡(jiǎn)單直觀的想法將信號(hào)在時(shí)域強(qiáng)制衰減 乘一個(gè)

5、冪指數(shù)形式的衰減因子，再做傅里葉變換； 反變換過(guò)程中需要消除這個(gè)衰減因子的影響； 據(jù)此進(jìn)行傅里葉變換的改造拉普拉斯變換,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,8,5.2拉普拉斯變換,2、拉普拉斯變換推導(dǎo) 原函數(shù)f(t)不可積 改造后可積 收斂因子e-t 可積條件 改造后傅里葉變換,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,9,5.2拉普拉斯變換,變換可以表示為 + j 的函數(shù) F( + j ) 的傅氏反變換 f(t)的表達(dá)式為： 拉普拉斯變換定義 令 s = + j 并稱之為復(fù)頻率 有 ds = jd, 當(dāng) = 時(shí), s = j ,f (t) e - t =F -1 F( + j ),得到

6、雙邊拉普拉斯變換或廣義傅氏變換,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,10,5.2拉普拉斯變換,3、拉普拉斯變換標(biāo)記 設(shè)：f (t) - 原函數(shù) ， Fd(s)-雙邊拉普拉斯變換， 標(biāo)記為 Fd(s) = Ld f(t) f(t) = Ld-1Fd(s),2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,11,5.2拉普拉斯變換,4、單邊拉普拉斯變換 若 t 0 時(shí)，有f (t) = 0 或只考慮信號(hào) t 0 部分， 變換關(guān)系式變?yōu)?稱為單邊拉普拉斯變換 單邊僅僅關(guān)于時(shí)域 標(biāo)記為,F (s) = L f(t) f(t) = L -1F(s),2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,12,5.2拉

7、普拉斯變換,5、傅里葉變換和拉普拉斯變換的基本差別 f(t)為時(shí)域?qū)嵑瘮?shù),兩者在頻域的函數(shù)性質(zhì)不同 傅里葉變換：F(j) 為頻域函數(shù)，為實(shí)數(shù) 拉普拉斯變換：F(s) 為復(fù)頻域函數(shù)（復(fù)變函數(shù)），s 為復(fù)數(shù) 通常稱 s 為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)看成復(fù)頻譜。 傅里葉變換可以看成拉普拉斯變換的特例（s = + j，當(dāng)0） 兩者的反變換積分途徑不同 統(tǒng)一到復(fù)頻域考慮，在復(fù)數(shù)S平面下 傅里葉反變換沿虛軸積分，可作為一維積分處理 拉普拉斯變換沿平行虛軸的直線（s= ）積分，是一個(gè)廣義積分 據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，這樣的廣義積分可由留數(shù)定理簡(jiǎn)單計(jì)算， 這是拉普拉斯變換比傅里葉變換簡(jiǎn)單。適合工程應(yīng)用的原因。,2020/9/1

8、7,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,13,5.2拉普拉斯變換,6、復(fù)頻率和復(fù)平面 當(dāng)s= + j確定,e s t 亦確定，復(fù)數(shù)S稱為復(fù)頻率 復(fù)數(shù)的實(shí)部 ：反映 e s t = e t e j t 幅度變化的速率； 復(fù)數(shù)的虛部： 反映e j t作周期變化的頻率。 頻率是一維的概念，復(fù)頻率是在復(fù)數(shù)平面的二維概念，實(shí)部和虛部 在復(fù)頻率平面，虛部縱軸表現(xiàn)頻率分布，實(shí)部橫軸表現(xiàn)衰減分布 縱軸上的點(diǎn)無(wú)實(shí)部，無(wú)衰減的等幅正弦振蕩，是傅里葉變換； 橫軸上的點(diǎn)無(wú)虛部，只是簡(jiǎn)單的指數(shù)衰減過(guò)程，無(wú)正弦振蕩。 不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)是有實(shí)部和虛部，對(duì)稱橫軸的點(diǎn)構(gòu)成一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，他們有相同的振蕩頻率和衰減情況； 離開(kāi)虛軸（縱軸）的距離

9、，決定幅度衰減的快慢 離開(kāi)實(shí)軸（橫軸）的距離，決定振蕩頻率的高低,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,14,5.2拉普拉斯變換,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,15,5.3拉普拉斯變換的收斂區(qū),1、討論變換收斂區(qū)的意義 函數(shù)f(t) 可否進(jìn)行拉普拉斯變換，需要根據(jù)變換單元的實(shí)部確定，即s= + j中的； f(t)不同，需要不同的滿足絕對(duì)可積條件，這些取值范圍稱為收斂區(qū)； 拉普拉斯變換只在收斂區(qū)成立； 拉普拉斯反變換積分路徑根據(jù)收斂區(qū)域確定； 收斂區(qū)討論是每一個(gè)變換信號(hào)都面對(duì)的問(wèn)題,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,16,5.2拉普拉斯變換的收斂區(qū),2、單邊拉普拉斯變換收

10、斂區(qū)討論絕對(duì)可積條件 充分條件：f(t)是指數(shù)階函數(shù)且分段連續(xù)。 指數(shù)階函數(shù)要求： 存在一個(gè)常數(shù)0，使得f(t)e-t在0，對(duì)所有大于定值T的時(shí)間t有界，且 t ，其值 0， 表達(dá)式為： 分段連續(xù)要求： 表示函數(shù)f(t)除了有限個(gè)間斷點(diǎn)外，都是連續(xù)的，并且在間斷點(diǎn)，函數(shù)通過(guò)正、負(fù)兩個(gè)方向趨近間斷點(diǎn)，函數(shù)有有限的極限值 非必要條件 沖激函數(shù)在間斷點(diǎn)沒(méi)有有限的極限值，只有有限的積分值，它的傅里葉變換存在，拉普拉斯變換也存在。,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,17,5.2拉普拉斯變換的收斂區(qū),3、收斂區(qū)圖示 通過(guò)0并且平行縱軸的直線為收斂邊界，稱收斂軸 0為收斂坐標(biāo) S平面上，收斂軸右側(cè)為

11、收斂區(qū),2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,18,5.2拉普拉斯變換的收斂區(qū),4、幾個(gè)典型函數(shù)的收斂區(qū)分析,單脈沖信號(hào) 收斂區(qū)為整個(gè)s平面 凡有始有終，能量有限的信號(hào)，其收斂坐標(biāo)位于- 。 有界非周期信號(hào)的拉普拉斯變換一定存在。 單位階躍信號(hào) 收斂區(qū)為 右半s平面 指數(shù)信號(hào) 收斂區(qū)為 a,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,19,5.2拉普拉斯變換的收斂區(qū),5、信號(hào)收斂區(qū)分析的實(shí)際意義 工程中的問(wèn)題，信號(hào)都是有始的，且大多是指數(shù)形式的，所以總可以找到收斂區(qū)，單邊的拉普拉斯變換能很好滿足大多數(shù)工程中的問(wèn)題求解； 只有隨 時(shí)間變化增長(zhǎng)的速度快于指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度的函數(shù)，沒(méi)有拉普拉斯變換

12、，這樣的問(wèn)題在工程應(yīng)用中基本不存在； 因此，對(duì)于單邊的拉普拉斯變換，工程中一般不專門研究收斂區(qū)的問(wèn)題。,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,20,5.2拉普拉斯變換的收斂區(qū),6、雙邊拉普拉斯變換收斂區(qū)討論 分解為f(t)=f1(t)+f2(t) 討論 雙邊拉普拉斯變換的收斂區(qū)有兩個(gè)邊界： 一個(gè)取決于函數(shù)f1(t)，是收斂區(qū)左邊界，以+ 表示； 一個(gè)取決于函數(shù)f2(t)，是收斂區(qū)右邊界，以 表示； - + ，兩項(xiàng)積分有公共收斂區(qū)，雙邊拉普拉斯變換存在； 反之 ，無(wú)公共收斂區(qū)，雙邊拉普拉斯變換不存在。,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,21,5.2拉普拉斯變換的收斂區(qū),例：已知 求f (t) 的雙邊拉普拉斯變換收斂區(qū)。 解 左邊界+= 0。 右邊界 需要1 +, 積分收斂 公共收斂區(qū)為 0 1。,只求收斂域，故將S簡(jiǎn)寫(xiě)成 即可,2020/9/17,信號(hào)與線性系統(tǒng)第9講,22,本講小結(jié),傅里