1、1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例一、課前準備1課時目標（1）了解函數(shù)極值和最值的基本應用.（2）會用導數(shù)解決某些實際問題.二、基礎預探 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：(1) 分析實際問題中各量之間的關系，建立實際問題的 ，寫出實際問題中變量之間的 ，根據(jù)實際意義確定定義域.(2) 求函數(shù)的導數(shù)f (x)，解方程f (x)0,求定義域內(nèi)的根，確定 .(3) 比較函數(shù)在 和極值點處的函數(shù)值，獲得所求的最大（?。┲?(4) 還原到原 中作答.三、學習引領1. 常見的優(yōu)化問題主要有幾何方面的應用，物理方面的應用，經(jīng)濟方面的問題等.例如，使經(jīng)營利潤最大、生產(chǎn)效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最

2、省等等，需要尋求相應的最佳方案或最佳策略，這些都是最優(yōu)化問題.導數(shù)是解決這類問題的基本方法之一.2.解決優(yōu)化問題的方法 首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系.再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具 解決優(yōu)化問題的基本程序是：讀題 建模 求解 反饋（文字語言） （數(shù)學語言） （導數(shù)應用） （檢驗作答）3. 需要注意的幾個問題(1) 目標函數(shù)的定義域往往受實際問題的具體意義約束,所以在建立目標函數(shù)時,需要注意定義域的確定,并注意定義域對函

3、數(shù)最值的影響.(2) 如果實際問題中的目標函數(shù)在定義域上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較,但要注意說明極值點的唯一性.四、典例導析題型一 幾何圖形中的優(yōu)化問題例1請你設計一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=cm（1）某廣告商要求包裝盒側面積S（cm）最大，試問應取何值？（2）某廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長

4、的比值.思路導析:明確平面圖形中切割的規(guī)則,即弄清平面圖形中的位置關系和數(shù)量關系,確定包裝盒中位置關系和數(shù)量關系以及與平面圖形的聯(lián)系.問題（1）中,用底面邊長把包裝盒側面積表示出來,觀察其特點,用一元二次函數(shù)最值解決問題.問題(2)中,建立目標函數(shù),依據(jù)目標函數(shù)的特征,通過求導,研究函數(shù)性質(zhì),求相應最值.解：設該盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），由已知得（1）由題意包裝盒側面積所以當時，S取得最大值.（2）由題意知,.由得（舍）或.由于當時，,所以當時，V取得極大值，而且為唯一極大值,故也是最大值,此時該盒的高與底面邊長的比值為規(guī)律總結：幾何圖形中的優(yōu)化問題,包括平面幾何和空間幾何體的

5、問題,主要是對面積和體積最大或最小的優(yōu)化設計.構造函數(shù)關系式,需要依據(jù)平面幾何知識或空間幾何特征,借助相應的公式進行. 上述題中,兩個目標函數(shù)皆未給出,因此建立兩個函數(shù)關系式是關鍵之一.建立函數(shù)關系式需要充分利用正四棱柱的幾何特征,從而選定側面積和體積的計算公式,.利用空間圖形與平面圖形數(shù)量關系的聯(lián)系,進行具體計算. 因為實際問題往往會有更為具體的定義域,所以在求函數(shù)最值時,要充分注意函數(shù)定義域的影響.正確求導,并研究函數(shù)的性質(zhì),是解決該最值問題關鍵之二.變式訓練1今有一塊邊長的正三角形的厚紙，從這塊厚紙的三個角，按右圖那樣切下三個全等的四邊形后，做成一個無蓋的盒子，要使這個盒子容積最大，值應

6、為多少？題型二 費用最省問題 例3某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度,長度單位：米）,其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為.設該容器的建造費用為千元.（）寫出關于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費用最小時的. 思路導析:該幾何體由一個圓柱和兩個半球組成,而且只涉及表面積問題,所以將圓柱的側面積和兩個半球的表面積,分別用半徑表示,再表示建造費用,建立函數(shù)關系式.解:（）因為容器的體積為立方米，所以,解得,所以圓柱的側面積為=,

7、兩端兩個半球的表面積之和為,所以+,定義域為(0,).（）因為+=,所以令得:; 令得:,所以米時, 該容器的建造費用最小.規(guī)律總結:由于所得函數(shù)解析式為非基本初等函數(shù),所以要求其最小值,需要利用函數(shù)的導數(shù),先求函數(shù)的極值,再判斷函數(shù)的最值.因為實際問題往往會有更為具體的定義域,所以在求函數(shù)最值時,要充分注意函數(shù)定義域的影響.變式訓練2 設工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應選在何處,才能使原料供應站C運貨到工

8、廠A所需運費最省?題型三 利潤最大問題例3某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關系式，其中，a為常數(shù),已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克.（I）求a的值;（II）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.思路導析:問題（I）,由題設中的具體情形,代入函數(shù)解析式,解方程,求a的值.問題（II）,用x表示該商場每日銷售該商品所獲得的利潤,得函數(shù)關系式,對所得函數(shù)關系式求導,討論極值和最值的情況,最后確定利潤最大的時刻.解: （I）因為當時,代入得,.（II）由（I）知,該商

9、品每日的銷售量為,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為,.所以,.于是,當變化時,的變化情況如下表:（3,4）4(4,6)0單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可知,是函數(shù)在上的極大值點,而且為唯一極大值點,即是最大值點,所以當時,函數(shù)取得最大值,最大值為42.答:當銷售價格為4元/千克時, 商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.規(guī)律總結: 在上述問題中,首先需要建立利潤的數(shù)學模型,即寫出利潤關于銷售價格的函數(shù)關系式.由于所求得的函數(shù)解析式為非基本初等函數(shù),所以為了求其最大值,需要利用函數(shù)的導數(shù),先求函數(shù)的極值,再判斷函數(shù)的最值情形.因為實際問題往往會有更為具體的定義域,所以在求函數(shù)最值時,要充分注

10、意函數(shù)定義域的影響.變式訓練3 甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關系，.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格）.（1）將乙方的年利潤w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；（2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y=0.002t2（元），在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格s是多少？五、隨堂練習1. 要做一個圓錐形的漏斗,其母線長為20cm

11、,要使其體積為最大,則高為( )cm.A. B. C. D.2. 以長為10的線段為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為 ( ) .A.10 B.15 C.25 D.503. 若一球的半徑為,作內(nèi)接于球的圓柱，則其側面積最大為 ( ) . A. B. C. D.4. 要建造一個長方體形狀的倉庫，其內(nèi)部的高為3m，長和寬的和為20m，則倉庫容積的最大值為 .5. 統(tǒng)計結果表明,某種新型號的節(jié)能汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升),關于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為：，已知甲乙兩地相距千米.當汽車以 (千米/小時)速度行駛時,從甲地到乙地耗油最少?6. 一艘輪船在航行中的燃料費和

12、它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最?。苛?、課后作業(yè)1. 設底為等邊三角形的直棱柱的體積為,那么其表面積最小時,底面邊長為( ) A. B. C. D.2. 制作一個圓柱形鍋爐,容積為兩個底面的材料每單位面積的價格為元，側面的材料每單位面積價格為元,當造價最低時,鍋爐底面半徑與鍋爐高的比是（ ）A. B. C. D. 3. 做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是,且用料最省則圓柱的底面半徑為 .4. 去年初,某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品若該商品零售價定為元，則銷售量(件)與零售價 (元)有如下關系那么該商品零售價為 元時,毛利潤最大?(毛利潤=銷售收入一進貨支出