1、Ch2 離散型隨機(jī)變量,隨機(jī)變量的概念 一維離散型隨機(jī)變量的分布律 二維離散型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律,第一節(jié) 隨機(jī)變量的概念,引例： 做試驗(yàn)拋一枚勻質(zhì)硬幣，其樣本空間 H,T 可規(guī)定隨機(jī)變量 XX(),定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是，若對(duì)每個(gè)，有定義在上的一個(gè)實(shí)數(shù)X()與之對(duì)應(yīng)，稱這樣一個(gè)定義在上的單值實(shí)函數(shù)XX( )為隨機(jī)變量（Random Variable），簡記為 r.v. X。 隨機(jī)變量一般用英文大寫字母X、Y、Z等表示 ，也可用希臘字母、等表示。,隨機(jī)變量的分類：,第二節(jié) 一維離散型隨機(jī)變量的分布律,一、離散r.v.及分布律的概念,定義 全部可能取值為有限個(gè)或可列無限個(gè)

2、的隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。,即全部可能取值至多為可列無限個(gè)的隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。,若X為離散型隨機(jī)變量，,其取值為x1, x2, , xn, ，,X取每個(gè)可能值的概率為,也可表示為,X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，,“概率分布表”形式,或,(1) pk 0, k1, 2, ;,分布律的性質(zhì),例 1,從110這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令： X：取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值試求 X 的分布律,例 2,設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為,二、幾個(gè)常見的離散型分布,1. 退化分布(單點(diǎn)分布),XPXa1，其中a為常數(shù)。,即,例如：拋一枚全是正面的硬幣,2. (01)分布(兩點(diǎn)分布),或

3、 XPXkpk(1p)1k, (0 p 1) k0，1,X 0 1,P 1-p p,例如：拋正常的硬幣,3. 幾何分布( G(p) ),以X表示A首次發(fā)生所需的試驗(yàn)次數(shù)，則其分布率為：,XPXk (1p)k1 p, (0 p 1) k1, 2, ,稱X服從參數(shù)為p的幾何分布。,圖形如下所示：,4. 二項(xiàng)分布 ( B(n, p) ),以X記n重貝努里試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則其分布率為：,稱X服從參數(shù)為(n，p)的二項(xiàng)分布，記為XB(n，p),圖形如下所示：,例3,一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測至少能答對(duì)4道題的概率是多少？,5. 泊松(Pois

4、son)分布 ( P() ),若隨機(jī)變量X的所有取值為一切非負(fù)整數(shù)，且其分布律為：,其中 0為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為的泊松(Poisson)分布，記為XP()。,圖形如下所示：,若X(t)表示在時(shí)間區(qū)間0，t 中某服務(wù)臺(tái)到達(dá)的顧客數(shù)。若X(t) 滿足：,（1）在不重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)相互獨(dú)立（無后效性）；,（2）在時(shí)間區(qū)間a，a+t內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)只與時(shí)間長度有關(guān)，而與區(qū)間起點(diǎn)a無關(guān)（平穩(wěn)性）；,（3）當(dāng)t充分小時(shí)，在區(qū)間（a，a+t）內(nèi)到達(dá)兩個(gè)或兩個(gè)以上的顧客是不可能的（普通性）；,（4）在有限區(qū)間中只到達(dá)有限個(gè)顧客且不可能始終沒有顧客到達(dá)（非平凡性）。,定理 在上述條件下，在長度為t的

5、時(shí)間區(qū)間上到達(dá)的顧客數(shù)X(t)服從參數(shù)為t的Poisson分布，其中0是一個(gè)常數(shù)。,Note:此分布常用在某一事件間隔內(nèi)收到的呼叫次 數(shù)，放射性放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)， 容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間 隔內(nèi)來到某服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)的人數(shù)，等等,6. 負(fù)二項(xiàng)分布（ NB(r,p) ）,以X記可列重貝努里試驗(yàn)中A恰好發(fā)生r次所需的試驗(yàn)次數(shù)，則其分布率為：,稱X服從參數(shù)為(r，p)的負(fù)二項(xiàng)分布，記為XNB(r，p),負(fù)二項(xiàng)分布又叫帕斯卡(Pascal)分布,圖形如下所示：,7. 超幾何分布（ h(N,M,n) ）,設(shè)N個(gè)元素分為兩類，其中M個(gè)屬于第一類，NM個(gè)屬于第二類?，F(xiàn)從中

6、按不重復(fù)抽樣取n個(gè)，以X記這n個(gè)中屬于第一類元素的個(gè)數(shù)。則X的分布律為：,稱X服從參數(shù)為(N，M，n)的超幾何分布。,三、常見分布律之間的關(guān)系,1. (01)分布和二項(xiàng)分布的關(guān)系,(01)分布是二項(xiàng)分布B(n, p)中n1時(shí)的特例。,2. 幾何分布和負(fù)二項(xiàng)分布的關(guān)系,幾何分布是負(fù)二項(xiàng)分布NB(r, p)中r1時(shí)的特例。,3. 超幾何分布和二項(xiàng)分布的關(guān)系,定理 設(shè)在超幾何分布中，n是一個(gè)取定的正整數(shù)， 而 ，則,k0, 1, 2, , n,即 當(dāng)N充分大時(shí)，超幾何分布趨向于二項(xiàng)分布。,事實(shí)上：超幾何分布用來描述不放回抽樣的情況；,當(dāng)N充分大時(shí)，兩種抽樣方式的差別很小。,而二項(xiàng)分布則用來描述放回抽

7、樣的情況；,4. 二項(xiàng)分布和泊松分布的關(guān)系,定理 設(shè)隨機(jī)變量XnB(n, pn), (n0, 1, 2, ), 且 ，為常數(shù)，則,k 0, 1, 2, ,該定理也稱為泊松定理。,泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是泊松分布，即,其中np.,一般的，當(dāng)n 10 ， p 0.1時(shí)就可用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布。,例 某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。,解,設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，,則XB(400, 0.02)，,故,PX2,1 PX0P X1,10.98400(400)(0.02)(0.9

8、8399),0.997165,另解(用泊松分布),由于 =np,(400)(0.02)8,故近似,有,PX 21 PX0P X1,1(18)e8,0.996981,為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備 300 臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01. 在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可有一人來處理. 問至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于 0.01 ？,解：設(shè)需配備 N 人，記同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)為 X ，則 X b(300，0.01），近似X P(3)， 需要確定最小的 N 的取值，使得：,例,查表可知，滿足上式的最小的

9、N 是 8 , 因此至少需配備 8 個(gè)工人。,5. 負(fù)二項(xiàng)分布和二項(xiàng)分布的關(guān)系,定理 設(shè) r.v. X B(n, p)，YNB(r, p)，則有,第三節(jié) 二維離散型隨機(jī)變量,引例,一. 二維離散隨機(jī)變量聯(lián)合分布律,若二維隨機(jī)變量(X, Y )只能取至多可列個(gè)值(xi , yj ), (i , j1, 2, )，則稱(X, Y )為二維離散型隨機(jī)變量。,若二維離散型隨機(jī)變量(X, Y ) 取 (xi , yj )的概率為pij ,即 PXxi , Y yj pij ，(i , j1, 2, ),則稱 pij 為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y )的分布律，或隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律。,可記為 (X

10、, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i , j1, 2, ),二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律也可列表表示如下：,聯(lián)合分布律的性質(zhì),( 1 ) pij 0 , i, j1, 2, ；,例,二、邊緣分布律,若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2, ),則稱 PXxi pi . ，i1, 2, ,為(X, Y )關(guān)于X的邊緣分布律；,同理 PY yj p.j ，j1, 2, ,稱為(X, Y )關(guān)于Y的邊緣分布律。,邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)：,二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律也可列表表示如下：,pi .,p.j,p1 .

11、,p2 .,pi .,.,.,p.1,p.2,p.j,.,.,1,例 設(shè)(X，Y )的聯(lián)合分布律為：,試求X和Y的邊緣分布律。,1/3,1/3,1/3,1/2,1/6,1/3,1,pi .,p.j,解,三、 條件分布律,設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2, ),X和Y的邊緣分布律分別為 PXxipi . ，i1, 2, 和 PY yj p.j ，j1, 2, ,若對(duì)固定的 j, p. j 0,則稱,i= 1, 2, ,為Y yj 的條件下，X的條件分布律。,記為 pi | j,同理，若對(duì)固定的 i , pi . 0, 則稱,Pj

12、 | i,j= 1, 2, ,為X xi的條件下，Y的條件分布律。,條件分布律也滿足分布律的性質(zhì)。,例 一射手進(jìn)行射擊，命中目標(biāo)的概率為p (0 p 1)，射擊進(jìn)行到命中目標(biāo)兩次為止，現(xiàn)用X 表示首次命中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，用Y 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)。試求X 和Y 的聯(lián)合分布律及條件分布律。,解,由題意知（X，Y）的分布律為,PX=m , Y=n ,p 2 (1p) n 2,n=2, 3, ，,m=1, 2, , n1；,X服從參數(shù)為p的幾何分布，,其分布律為,PX=m p (1p) m 1， m=1, 2, ,Y服從參數(shù)為 (2, p)的負(fù)二項(xiàng)分布，,其分布律為,PY=n(n1)p2(1

13、p)n2， n=2, 3, ,(X和Y的邊緣分布律也可由聯(lián)合分布律求得),于是當(dāng)n=2, 3, 時(shí),Pm |nPX=m|Y=n ,m1, 2, ,n1,當(dāng)m=1, 2, 時(shí),Pn | mPY=n|X=m ,nm+1, m+2, ,四、離散型隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2, ),若對(duì)任意的 i、j，有,pij pi . p. j，,即 PXxi , Y yj PXxi PY yj ,則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立。,例,上述獨(dú)立的概念不難推廣到n維離散型隨機(jī)變量的情形。,設(shè)X1，X2， , Xn 為一個(gè)n維離散型隨機(jī)變量，,若對(duì)任意的 x1，x2， , xn 有:,PX1= x1 , X2= x2 , , Xn = xn = PX1= x1PX2= x2 PXn = xn ,則稱隨機(jī)變量X1，X2， , Xn相互獨(dú)立。,第四節(jié) 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律,1. 一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律,定理 設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，若 yg(x)是一元單值實(shí)函數(shù)，則Yg(X )也是一個(gè)隨機(jī)變量。,若 XPXxk pk , k1, 2,