1、2014高中數(shù)學(xué) 第二章數(shù)列第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列教學(xué)案 新人教A版必修5【知識梳理】（一）知識框架（二）基礎(chǔ)知識與基本技能1、數(shù)列的概念與簡單表示法：（1）數(shù)列的概念：按一定次序排列的一列數(shù)數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別：次序。數(shù)列的分類：按項數(shù)分類（有窮數(shù)列、無窮數(shù)列），按項之間的大小分類（遞增、遞減、常數(shù)、擺動數(shù)列）：遞增數(shù)列an1an；遞減數(shù)列an1an；常數(shù)數(shù)列an1an；擺動數(shù)列相鄰兩項間的大小關(guān)系變化不定；有界數(shù)列|an|M（M為常數(shù)）。運用函數(shù)觀點理解數(shù)列概念數(shù)列的表示方法：與函數(shù)的表示方法相同解析法（通項公式或遞推公式），列表法，圖像法（在坐標(biāo)系中的一群孤立的點），區(qū)別是數(shù)列的定義域是自

2、然數(shù)集N（或它的有限子集1，2，3，n）。（2）數(shù)列的項、項數(shù)、通項公式通項公式，注意an與an的區(qū)別，通項公式反應(yīng)了次序?qū)τ跀?shù)列的重要性。通項公式的兩種重要變形ana1（a2a1）（a3a2）（anan1）（演變?yōu)榱秧椣嘞蠛头ǎ?；ana1（迭乘法）。注意：并不是所有的數(shù)列都有通項公式，有很多數(shù)列往往只有遞推公式而沒有通項公式，有些數(shù)列既有遞推公式又有通項公式；有些數(shù)列的通項公式并不是唯一的。通項公式反應(yīng)了數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：在函數(shù)意義下，數(shù)列是定義域為自然數(shù)集N（或它的有限子集1，2，3，n）的函數(shù)f（n），當(dāng)n從1開始依次取自然數(shù)時所對應(yīng)的一列函數(shù)值。通項公式的簡單運用（3）遞推公式遞推公式

3、與通項公式的區(qū)別與聯(lián)系遞推公式的運用（4）數(shù)列的前n項和：，當(dāng)n2時，anSnSn1。在數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系：an。（5）常用的求數(shù)列通項公式的方法觀察法：觀察項數(shù)與項之間的等量關(guān)系、前后項之間的等量關(guān)系已知前若干項時，可以通過觀察與猜想、歸納求得數(shù)列的通項公式。這是最基本的方法。運用此法時，要做到：有次序，有序號，有函數(shù)觀念，正確找出項與序號之間的變化規(guī)律。熟記一些常見數(shù)列，如(-1)n、n、n2、2n-1、2n、2n、等。公式法：運用等差數(shù)列的通項公式直接求解。階差法：將數(shù)列an的后一項減去前一項作階差bnan1an，得到新的數(shù)列bn，若階差數(shù)列可以求和，則數(shù)列an可以求通項公式：

4、ana1。利用前n項和Sn法：。注意：在什么時候an合并書寫，什么時候需分開書寫利用遞推公式法2、等差數(shù)列(A.P.)：（1）等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第二項起，第一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做公差。即成等差數(shù)列（其中，a1和d是等差數(shù)列中的基本量）。判定一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，不能僅通過驗證前幾項得知，應(yīng)該根據(jù)等差數(shù)列的定義證明anan1常數(shù)，也可以利用其等價定義an1an12an。（2）通項公式：（其中Ad，Ba1d），變形為：公差公式d（n1），項數(shù)公式n1；注意：通項公式an是一個一次函數(shù)。第二通項公式：，變形為：公差公式d（nm），項數(shù)公式

5、nm。（3）等差數(shù)列的前n項之和Sn：（其中A，B）第一求和公式體現(xiàn)了等差數(shù)列的中項對稱性質(zhì)，類似于梯形的面積公式。第二求和公式還可以將a1改為an。倒序相加求和技巧。注意：第二求和公式說明等差數(shù)列的前n項之和Sn是一個二次函數(shù)，可以利用公式以及二次函數(shù)的最值性判斷并求解前n項和的最值若d0，則數(shù)列an為遞增數(shù)列，Sn有最小值通過解不等式組可得在第k項時Sn取得最小值；若d0，則數(shù)列an為遞減數(shù)列，Sn有最大值通過解不等式組可得在第k項時Sn取得最大值；若d0，則數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列，Snna1。在等差數(shù)列an中，a1，an，Sn，n，d五個基本元素，通過通項公式與求和公式可以“知三求二”。顯然

6、數(shù)列是等差數(shù)列，且的公差是an的公差的。（4）等差中項：數(shù)a與b的等差中項為（這是充要條件）。三數(shù)成等差數(shù)列，常設(shè)為ad，a，ad，也可以設(shè)為a，ad，a2d。四數(shù)成等差數(shù)列，常設(shè)為ad，a，ad，a2d（d為公差），也可以設(shè)為a3d，ad，ad，a3d（d為公差之半）。在等差數(shù)列an中，amk，am，amk仍成等差數(shù)列；在等差數(shù)列an中，任意連續(xù)3項am1，am，am1仍成等差數(shù)列。（5）等差數(shù)列的性質(zhì)等差中項與中項對稱下標(biāo)和相等性：距離首末兩項等距離的項的和相等，且等于首末兩項之和，即a1an1a2an2a3an3，特別地，若項數(shù)為奇數(shù)，還有a1ana2an2a3an32a中。如圖所示：一

7、般地，若，則。特別地，若，則。等差數(shù)列的選項原理下標(biāo)等差性：等差數(shù)列中，每隔相同的項抽取出來的項，按照原來的順序排列而成的數(shù)列是等差數(shù)列。如奇數(shù)項成等差數(shù)列，公差為2d；偶數(shù)項，成等差數(shù)列，公差為2d；數(shù)列成等差數(shù)列，公差為pd。等長等距離性：等差數(shù)列中抽取的等長連續(xù)片斷之和構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列。如，則有。又如，若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等差數(shù)列。如下圖所示：。等差數(shù)列奇、偶項之間的關(guān)系a2na2n-1=d若數(shù)列有奇數(shù)2n1項，則S奇（n1）an1，S偶nan1，所以S2n1S奇S偶（2n1）an1，S奇S偶an1，。若數(shù)列有偶數(shù)2n項，則S奇nan，S偶nan1，所以，

8、。等差數(shù)列腳標(biāo)與項之間的特殊結(jié)論在等差數(shù)列an中，若anm，amn，則anm0（nm）。在等差數(shù)列an中，若Snm，Smn，則Snm（nm）（nm）。在等差數(shù)列an中，若SnSm，則Snm0（nm）。等差數(shù)列的相關(guān)性與組合性若數(shù)列an與bn都是等差數(shù)列，則它們的前n項和Sn與Tn存在以下關(guān)系；an的前n項和Sn與bm的前m項和Tm存在以下關(guān)系（利用中項對稱可得證明）。若數(shù)列an與bn都是等差數(shù)列，則數(shù)列kanpan是等差數(shù)列，其公差dkd1pd2（d1是an的公差，d2是bn的公差）。（6）等差數(shù)列的判定方法定義法：成等差數(shù)列。中項公式法：an1an12an成等差數(shù)列。通項公式法：anpnq成

9、等差數(shù)列。通項公式為一次函數(shù)前n項和公式法：SnAn2Bn成等差數(shù)列。前n項和為缺常數(shù)項的二次函數(shù)。構(gòu)造數(shù)列法：數(shù)列成等差數(shù)列成等差數(shù)列。的公差是an的公差的。（7）求等差數(shù)列通項公式的方法anpnq（8）求等差數(shù)列的前n項的方法3、等比數(shù)列（G.P.）：（1）等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做公比。即成等比數(shù)列（其中，a1和q是等比數(shù)列中的基本量）。（2）通項公式：，公比公式（n1）；變形：（該式可以改寫為ancqn，c），；注意：通項公式an是指數(shù)函數(shù)形式。第二通項公式：，變形為公比公式。（3）前n項和公式：在等

10、比數(shù)列的求和問題中，當(dāng)不能確定“q1”時，應(yīng)該分“q1與q1”兩類討論當(dāng)q1時，Sn可以進(jìn)行變形Sn（其中k為常數(shù)，且q0，q1）。錯位相減求和技巧適用于公比q1的等比數(shù)列和差比數(shù)列的求和。任意連續(xù)m項的和（即從ak到akm1的和）TmSkm1Sk1或Tm。最值性質(zhì)若a10，q1或a10，0q1，則數(shù)列an為遞增數(shù)列，a1是最小項；若a10，0q1或a10，q1，則數(shù)列an為遞減數(shù)列，a1是最大項；若q1，則數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列；若q0，則數(shù)列an為擺動數(shù)列，正負(fù)項相間排列。在等比數(shù)列an中，a1，an，Sn，n，q五個基本元素，通過通項公式與求和公式可以“知三求二”。（4）等比中項數(shù)a、b的等

11、比中項及其條件：a與b的等比中項（這是充要條件）。三數(shù)成等比數(shù)列，常用acb2，也可以設(shè)為aq1，a，aq，或設(shè)為a，aq，aq2。四數(shù)成等比數(shù)列，常設(shè)為aq1，a，aq，aq2（q為公比），也可以設(shè)為aq3，aq1，aq，aq3（q為公比的算術(shù)平方根，該設(shè)法必須是數(shù)列的各項同號）。（5）性質(zhì)：等比中項與中項對稱下標(biāo)和相等性：a1an1a2an2a3an3，特別地，若項數(shù)為奇數(shù)，還有a1ana2an2a3an3a中2。如圖所示：一般地，若，則，特別地，若，則。等比數(shù)列的選項原理下標(biāo)等差性質(zhì)：在等比數(shù)列中，每隔相同的項抽取出來的項，按照原來的順序排列而成的數(shù)列是等比數(shù)列。如奇數(shù)項成等比數(shù)列，公比

12、為q2；偶數(shù)項，成等比數(shù)列，公比為q2；數(shù)列成等比數(shù)列，公比為qp。等長等距離性：在等比數(shù)列中抽取等長連續(xù)片斷之和構(gòu)成的非零數(shù)列（0且q1）仍然是等比數(shù)列。如設(shè)，則。又如，若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：。等比數(shù)列奇、偶項之間的關(guān)系等比數(shù)列中，若q1，數(shù)列有奇數(shù)2n1項，則S奇，S偶，。若數(shù)列有偶數(shù)2n項，則S奇，S偶，。等比數(shù)列腳標(biāo)與項之間的特殊結(jié)論在等比數(shù)列an中，若anm，amn，則anm1a1（nm）。在等比數(shù)列an中，若Snm，Smn，則（nm，q1）。在等比數(shù)列an中，若SnSm，則q1（nm）。等比數(shù)列的相關(guān)性與組合性若數(shù)列an是非負(fù)的等比數(shù)列，則

13、與loguan是等差數(shù)列，其公差為dloguq；若數(shù)列an是等比數(shù)列，則與tan也是等比數(shù)列，其公比仍為q；若數(shù)列an是等比數(shù)列，則與|an|是等比數(shù)列，其公比為|q|；若數(shù)列an是等比數(shù)列，則與anr是等比數(shù)列，其公比為qr。組合性：若數(shù)列an與bn都是等比數(shù)列，則數(shù)列tkanbn與都是等比數(shù)列，其公比分別為tq1q2與（其中，q1是an的公比，q2是bn的公比）。（6）等比數(shù)列的判定方法定義法：成等比數(shù)列。等比中項法：an1an1an2（an1an1an0）成等比數(shù)列。通項公式法：ancqn 成等差數(shù)列。前n項和公式法：Sn（其中k為常數(shù)，且q0，q1）成等比數(shù)列。若數(shù)列an是等差數(shù)列，則

14、是等比數(shù)列。（7）求等比數(shù)列通項公式的方法（q1）（8）求等比數(shù)列的前n項的方法4、求數(shù)列an的最大、最小項的方法：an1an ：如an 2n229n3。 （an0）：如an anf（n）：研究函數(shù)f（n）的單調(diào)性，如an【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】 (1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負(fù)符號變化，可用(1)n

15、或(1)n1來調(diào)整【典例剖析】（一）通項公式與數(shù)列中的項：【基礎(chǔ)例題】1、根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：(1)1，7，13，19，； (2)0.8,0.88,0.888，；(3)，； (4)，1，；(5)0,1,0,1，. (6)3,33,333,3 333，.【分析】先觀察各項的特點，然后歸納出其通項公式，要注意項與項數(shù)之間的關(guān)系，項與前后項之間的關(guān)系解：（1）an(1)n(6n5) （2）an（3）an(1)n （4）an（5）an或an或an（6）an(10n1)2、已知數(shù)列。(1)求第10項； (2)是該數(shù)列的項嗎?(3)求證:數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi)； (4

16、) 在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項?解：設(shè)（1）（2）解得，所以不是該數(shù)列的項（3），即（4）令，所以n=2時上式成立.即在區(qū)間內(nèi)。3、已知數(shù)列an滿足則a2011等于 . 略解：，a2011=2。4、數(shù)列 an 的通項公式為anlog2(n23)-2,則 log23 是這個數(shù)列的第_項.略解：，5、數(shù)列 an 的通項公式為數(shù)列 an 的最大項為第x項，最小項為第y項，則x+y等于 。解：令，則0t1，當(dāng)時，an取得最小值，此時n=2，當(dāng)時，an取得最大值1，此時n=1，所以x+y=3。6、數(shù)列滿足,則數(shù)列中第_項最大. 解: 考察函數(shù) 可知函數(shù)在上是增函數(shù), 在上是減函數(shù), 7、已知，試求的最大項。

17、解：當(dāng)n8時，an+1an；當(dāng)n=8時，a9=a8；當(dāng)n8時，an+1an；數(shù)列an存在最大項，最大項為a8=a9=。8、解：由題意，又當(dāng)時，9、在數(shù)列an中，若，試求通項公式。解：得當(dāng)n=1時，a1=6也適合上式，所以。10、在數(shù)列an中，若，試求通項公式。解：當(dāng)n=1時，a1=1也適合上式，所以an=n。11、已知數(shù)列an的前n項積為，則 。解：當(dāng)n2時，12、已知數(shù)列an滿足，則 。解：13、已知數(shù)列an滿足a1=2, 則a1a2a3a2009的值為_.解：（二）已知數(shù)列的遞推公式求通項公式：【基礎(chǔ)例題】【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累

18、乘、構(gòu)造法求解當(dāng)出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時，用累乘法求解根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式(1)a11，an13an2； (2)a11，anan1 (n2)；(3)已知數(shù)列an滿足an1an3n2，且a12，求an.（4）已知且求an. 【分析】1)可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解(2)可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解解：(1)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.(2)anan1 (n2)，an1an2，a

19、2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1.(3)an1an3n2，anan13n1 (n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 (n2)當(dāng)n1時，a1(311)2符合公式，ann2.（4）倒數(shù)法?！咀兪骄毩?xí)】根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式(1)在數(shù)列an中，an13a，a13；(2)在數(shù)列an中，a11，an1；(3)在數(shù)列an中，a12，an14an3n1；(4)在數(shù)列an中，a18，a22，且滿足an24an13an0.解：(1)由已知an0，在遞推關(guān)系式兩邊取對數(shù)有l(wèi)g an12lg anlg 3，令bnlg an，則bn12bnlg 3，bn1lg 32(bnl

20、g 3)，bnlg 3是等比數(shù)列，bnlg 32n12lg 32nlg 3，bn2nlg 3lg 3(2n1)lg 3lg an，(2)將an1取倒數(shù)得：2，2，又1，是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列12(n1)，an.【變式練習(xí)】（接上頁）(3)由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，又a111，所以數(shù)列ann是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列，ann(a11)4n1，an4n1n.(4)將an24an13an0變形為an2an13(an1an)，數(shù)列an1an是以a2a16為首項，3為公比的等比數(shù)列，則an1an63n1，利用累加法可得an113n.（三）由an與Sn的關(guān)系求通項

21、公式an：【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】(1)已知an的前n項和Sn，求an時應(yīng)注意以下三點：應(yīng)重視分類討論的應(yīng)用，分n1和n2兩種情況討論；特別注意anSnSn1中需n2.由SnSn1an推得的an，當(dāng)n1時，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”由SnSn1an推得的an，當(dāng)n1時，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an(2)利用Sn與an的關(guān)系求通項是一個重要內(nèi)容，應(yīng)注意Sn與an間關(guān)系的靈活運用【基礎(chǔ)例題】1、已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和滿足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN*.求an的通項公式【分析】當(dāng)n1時，由a1S1，求a1；當(dāng)n

22、2時，由anSnSn1消去Sn，得an1與an的關(guān)系轉(zhuǎn)化成由遞推關(guān)系求通項解：由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S11，因此a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因為an0，故an1an不成立，舍去因此an1an30.即an1an3，從而an是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故an的通項為an3n1.【技巧】已知遞推關(guān)系求通項，一般有三種常見思路：(1)算出前幾項，再歸納、猜想；(2)“an1panq”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an1p(an)，由待定系數(shù)法求出，再化為等比數(shù)列；(3)逐差累加或累乘法2、設(shè)數(shù)列

23、an的前n項和為Sn，a11，an2 (n1) (nN*)(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并分別寫出an和Sn關(guān)于n的表達(dá)式；(2)是否存在自然數(shù)n，使得S1(n1)22013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由解：(1)由an2(n1)，得Snnan2n(n1) (nN*)當(dāng)n2時，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，數(shù)列an是以a11為首項，4為公差的等差數(shù)列于是，an4n3，Sn2n2n (nN*)(2)由Snnan2n(n1)，得2n1 (nN*)，S1(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1.令2n12 013，得n1 007，即存在

24、滿足條件的自然數(shù)n1 007.3、已知an是首項為19，公差為2的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和(1)求通項公式an及Sn；(2)設(shè)bnan是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的通項公式及其前n項和Tn.【分析】(1)直接套用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式計算；(2)直接套用等比數(shù)列的通項公式求出bnan的通項公式，再求數(shù)列bn的通項公式及前n項和解：(1)因為an是首項為19，公差為2的等差數(shù)列，所以an192(n1)2n21，即an2n21； 3分Sn19n(2)n220n，即Snn220n.6分(2)因為bnan是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以bnan3n1，即bn3n1an

25、3n12n21，9分Tnb1b2bn(30a1)(3a2)(3n1an)(3033n1)(a1a2an)n220nn220n. 14分4、已知數(shù)列中，當(dāng)時，其前項和滿足，求數(shù)列的通項公式。解：【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】(1)本題給出的數(shù)列通項公式可以看做是一個定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調(diào)性，得到實數(shù)k的取值范圍，使問題得到解決(2)在利用二次函數(shù)的觀點解決該題時，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選取(3)易錯分析：本題易錯答案為k2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù)（四）用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問題：【基礎(chǔ)例題】(14分)已知

26、數(shù)列an(1)若ann25n4。數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值(2)若ann2kn4且對于nN*，都有an1an成立求實數(shù)k的取值范圍【分析】(1)求使an0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù)從二次函數(shù)的對稱軸研究單調(diào)性解：(1)由n25n40，解得1nan知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又通項公式ann2kn4是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN*，3.14分（五）等差數(shù)列的基本量的計算：【基礎(chǔ)例題】【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項

27、和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法1、設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范圍【分析】(1)由S5S6150與S55可構(gòu)建關(guān)于a1，d的方程組(2)由S5S6150可化為關(guān)于a1的一元二次方程，因為an存在，所以關(guān)于a1的一元二次方程有解解：(1)由題意知S63，a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a1

28、7.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因為關(guān)于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范圍為d2或d2.2、(2011福建)已知等差數(shù)列an中，a11，a33.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列an的前k項和Sk35，求k的值解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.從而an1(n1)(2)32

29、n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項；利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；將等差數(shù)列的前n項和SnAn2Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值（六）等差數(shù)列的前n項和及綜合運用：【基礎(chǔ)例題】1、(1)在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列an的通項公式是an4n25，求數(shù)

30、列|an|的前n項和【分析】(1)由a120及S10S15可求得d，進(jìn)而求得通項，由通項得到此數(shù)列前多少項為正，或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)列從第幾項開始變號解：方法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130，即當(dāng)n12時，an0，n14時，an0，當(dāng)n12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S13S121220130.方法二同方法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，當(dāng)n12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.方法三同方法一得d.又由S10S15得a11a12a13a14a

31、150.5a130，即a130.當(dāng)n12或13時，Sn有最大值且最大值為S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以數(shù)列an是以21為首項，以4為公差的遞增的等差數(shù)列令由得n6；由得n5，所以n6.即數(shù)列|an|的前6項是以21為首項，公差為4的等差數(shù)列，從第7項起以后各項構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，而|a7|a747243.設(shè)|an|的前n項和為Tn，則Tn2、設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a10，S2 0090.(1)求Sn的最小值及此時n的值；(2)求n的取值集合，使anSn.解：方法一(1)設(shè)公差為d，則由S2 00902 00

32、9a1d0a11 004d0，da1，a1ana1，Sn(a1an)a1(2 009nn2)a10，nN*，當(dāng)n1 004或1 005時，Sn取最小值a1.(2)ana1，Snan(2 009nn2)a1.a10，n22 011n2 0100，即(n1)(n2 010)0，解得：1n2 010.故所求n的取值集合為n|1n2 010，nN*方法二(1)設(shè)公差為d，則Snna1dn2n，a1是常數(shù)，Sn是n的二次函數(shù)(d0時)S2 0090，S00，頂點的橫坐標(biāo)為1 004.又由a10，又nN*.故當(dāng)n1 004或1 005時，Sn取最小值S1 004a1.(2)ana1(n1)ddn(a1d)

33、，d0，d和a1d均為常數(shù)，an是n的一次函數(shù)又由S2 0090a2 010S2 009a2 010，即S2 010a2 010. 故方程Snan有兩個實數(shù)解n1和n2 010.由圖可知，anSn的解集為n|1n2 010，nN*3、在等差數(shù)列an中，a1=25，S9=S17問這個數(shù)列前多少項和最大？并求出這個最大值. 解1：當(dāng)n=13時, Sn的最大值為169.解2：解3：an是遞減數(shù)列, 當(dāng)n=13時, Sn的最大值為169.解4：Sn的圖像時開口向下的拋物線上一群離散的點，最高點的縱坐標(biāo)為4、在等差數(shù)列an中，求|an|的前n項和Tn。解：由得令，當(dāng)時，當(dāng)n5時，【變式練習(xí)】1、一個等差

34、數(shù)列的前12項之和為354,前12項中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為32:27,求公差.解1: 設(shè)首項為a1，公差為d , 則解得d=5。解2. 由得2、在項數(shù)為2n的等差數(shù)列中,各奇數(shù)項的和為75,各偶數(shù)項為90,末項與首項的差為27, 則項數(shù)2n的值為多少？ 解：3、已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為 3 4、等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，則前110項之和為 110 .5、已知等差數(shù)列an的前 m項和為30,前 2m項和為100,則 它的前 3m項的和為_210_.（七）累加法與迭乘法：【基礎(chǔ)例題】1、已知數(shù)列an中，則an=_. 略解

35、：【技巧】迭乘法適用于以分式給出遞推式的，在累積后可以消去中間項：2、已知數(shù)列an中, a1=1, ，則an=_. 略解：【技巧】累加法適用于差后等差或差后等比的數(shù)列，在累加后可以消去中間項：3、在數(shù)列中，則 .略解：（八）整體思想在等差數(shù)列解題中的運用：【基礎(chǔ)例題】設(shè)等差數(shù)列an的前n項和Snm，前m項和Smn (mn)，求它的前mn項的和Smn.【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】(1)本題的兩種解法都突出了整體思想，其中方法一把a(bǔ)1d看成了一個整體，方法二把A(mn)B看成了一個整體，解起來都很方便(2)整體思想是一種重要的解題方法和技巧這就要求學(xué)生要掌握公式，理解其結(jié)構(gòu)特征(3)本題的易

36、錯點是，不能正確運用整體思想的運算方法，不能建立數(shù)量間的關(guān)系，導(dǎo)致錯誤【分析】(1)Smna1(mn)d(mn)，這樣只要求出a1d即可(2)由Sn，Sm可以構(gòu)造出a1d，并求出解：方法一設(shè)an的公差為d，則由Snm，Smn，得得(mn)a1dnm，mn，a1d1.Smn(mn)a1d(mn)(mn)方法二設(shè)SnAn2Bn (nN*)，則得A(m2n2)B(mn)nm.mn，A(mn)B1，A(mn)2B(mn)(mn)，Smn(mn)（九）等差數(shù)列的判定與證明：【基礎(chǔ)例題】【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】證明或判斷一個數(shù)列為等差數(shù)列，通常有兩種方法：(1)定義法：an1and；(2)等差中

37、項法：2an1anan2.1、已知數(shù)列an中，a1，an2 (n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn (nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大項和最小項，并說明理由【分析】(1)可利用定義證明bnbn1 (n2)為常數(shù)來證明數(shù)列bn是等差數(shù)列(2)通過bn是等差數(shù)列，求得an的通項，然后從函數(shù)的觀點解決數(shù)列的最大項和最小項的問題(1)證明：an2 (n2，nN*)，bn.n2時，bnbn11.又b1.數(shù)列bn是以為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)解：由(1)知，bnn，則an11，設(shè)函數(shù)f(x)1，易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù)當(dāng)n3時，an取得最小值1；當(dāng)n4時，an取得最

38、大值3.2、已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn (n2)，a12.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式(1)證明：方法一，由Sn，得2，2，是以即為首項，以2為公差的等差數(shù)列方法二，當(dāng)n2時，2，是以即為首項，以2為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知(n1)22n，Sn，當(dāng)n2時，anSnSn1；當(dāng)n1時，a12不適合an，故an【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】(1)對于等比數(shù)列的有關(guān)計算問題，可類比等差數(shù)列問題進(jìn)行，在解方程組的過程中要注意“相除”消元的方法，同時要注意整體代入(換元)思想方法的應(yīng)用(2)在涉及等比數(shù)列前n項和公式時要注意對公比q是否等于1進(jìn)行判斷和討論3、已知

39、成等差數(shù)列, 則x =_.（答案）（十）等比數(shù)列的基本量的運算：【基礎(chǔ)例題】1、(1)在等比數(shù)列an中，已知a6a424，a3a564，求an的前8項和S8；(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q (q0)，它的前n項和為40，前2n項和為3 280，且前n項中數(shù)值最大的項為27，求數(shù)列的第2n項【分析】(1)利用已知條件，建立a1和q滿足的兩個方程，解之可得an，從而可求出S8.(2)利用前n項和公式列出方程組求出a1和q，使問題得到解決需注意的是Sn應(yīng)分q1和q1兩種情況來考慮解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由通項公式ana1qn1及已知條件得：由得a1q38.將a1q38代入式，得q22，無解，故

40、舍去將a1q38代入式，得q24，q2.當(dāng)q2時，a11，S8255；當(dāng)q2時，a11，S885.(2)若q1，則na140,2na13 280，矛盾q1，得：1qn82，qn81，將代入得q12a1.又q0，q1，a10，an為遞增數(shù)列ana1qn127，由、得q3，a11，n4. a2na81372 187.2、設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S41，S817，求an的通項公式解：方法一在等比數(shù)列an中，由S41，S817，則q1，因此得q4117，則q416，q2，或q2，由q2代入得a1，由q2代入得a1，所以數(shù)列an的通項公式為an2n1或an(2)n1.方法二q416，則q2，

41、或q2.又S41，當(dāng)q2時，由a1(1qq2q3)1得a1，因此ana1qn1；當(dāng)q2時，由a1(1qq2q3)1得a1.因此ana1qn1.【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】注意判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的方法，另外(2)問中要注意驗證n1時是否符合n2時的通項公式，能合并的必須合并（十一）等比數(shù)列的定義以及判定：【基礎(chǔ)例題】1、已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列bn的通項公式【分析】(1)由anSnn及an1Sn1n1轉(zhuǎn)化成an與an1的遞推關(guān)系，再構(gòu)造數(shù)列an1(2)由cn求an再

42、求bn.解：(1)證明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比數(shù)列首項c1a11，a1a11，a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以為首項，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n. 當(dāng)n2時，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.2、設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式(1)證明由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)

43、4an14an，an22an12(an12an)，即bn12bn.數(shù)列bn是首項為3，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知等比數(shù)列bn中b13，公比q2，an12an32n1，于是，【基礎(chǔ)知識總結(jié)】【方法與技巧總結(jié)】在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件， 巧用性質(zhì)，減少計算，提高解題速度如：對于等比數(shù)列an，若mnpq (m、n、p、qN*)，則amanapaq；若mn2p(m，n，pN*)，則amana.數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，(n1)n，an(3n1)2n2.（十二）等比數(shù)列的性質(zhì)及運用：【基礎(chǔ)例題】1、在等比數(shù)列an中，(1)若已知a24，a5，求an；(2)若已知a3

44、a4a58，求a2a3a4a5a6的值解(1)設(shè)公比為q，則q3，即q3，q，ana5qn5n4.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42，a2a3a4a5a6a2532.2、(1)在等比數(shù)列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比為整數(shù)，求a10；(2)已知等比數(shù)列an中，有a3a114a7，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b7a7，求b5b9的值；(3)在等比數(shù)列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.解(1)a4a7a3a8512，解之得或.當(dāng)時，q532，q2.a11，a10a1q91(2)9512.當(dāng)時，q5，q.又q為整數(shù)，q舍

45、去綜上所述：a10512.(2)a3a11a4a7，a70，a74，b74，bn為等差數(shù)列，b5b92b78.(3)方法一a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.方法二由性質(zhì)可知，依次4項的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為p，設(shè)T1a1a2a3a41，T4a13a14a15a168，T4T1p31p38，p2.T11a41a42a43a44T1p102101 024

46、.3、設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列,它的前n項之和為80,前2n項之和為6560,且前n項中數(shù)值最大的項為54,求此數(shù)列的項數(shù)解：,得 1+ qn = 82, 即 qn = 81. 代入,得 所以數(shù)列an為遞增數(shù)列,解 , 得所以數(shù)列an的項數(shù)為 8.4、數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1，且an+12Sn1（nN*）。（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）等差數(shù)列bn的各項均為正數(shù)，其前n項和為Tn，且T1=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比數(shù)列，求Tn。解：（1），得即又a1=1，a2=2a1+1=3，即an是首項為1公比為3的等比數(shù)列。（十三）等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運用：【基礎(chǔ)例題

47、】1、已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列bn的第2項、第3項、第4項(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.【分析】(1)可用基本量法求解；(2)可考慮作差an1an.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2 (d0). an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，數(shù)列bn的公比為3，bn33n23n1.(2)由an1得當(dāng)n2時，an.兩式相減得：n2時，an1an2. cn2bn23n1 (n2)又當(dāng)n1時，a2，.c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.【