1、2.2 對數(shù)函數(shù)知識導(dǎo)學(xué) 一般地,對于一個數(shù)a(a0且a1),如果a的b次冪等于N,即ab=N,那么就稱b是以a為底的N的對數(shù),記作logaN=b,其中,a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù). 在實際應(yīng)用中,一定要注意指數(shù)式與對數(shù)式的等價性,即logaN=bab=N. 對數(shù)的運算性質(zhì)就是把真數(shù)的乘、除、乘方降級為對數(shù)的加、減、乘運算. 一般地,我們稱logaN=為對數(shù)的換底公式.換底公式是對數(shù)中一個非常重要的公式,這是因為它是對一個對數(shù)進行變形運算的主要依據(jù)之一,是對數(shù)的運算性質(zhì).對數(shù)運算性質(zhì)應(yīng)用的前提是式子中對數(shù)的底相同.若底不同則需要利用換底公式化為底相同的.我們在應(yīng)用換底公式時,一方面要證明它和

2、它的幾個推論;另一方面要結(jié)合構(gòu)成式子的各對數(shù)的特點選擇一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為對數(shù)的底,不要盲目地?fù)Q底,以簡化我們的解題過程. 有了對數(shù)的概念后,要求log0.840.5的值,我們需要引入兩個常用的對數(shù):常用對數(shù)和自然對數(shù).常用對數(shù)是指以10為底的對數(shù);自然對數(shù)是指以e(e=2.718 28,是一個無理數(shù))為底的對數(shù). 有了常用對數(shù)和自然對數(shù),再利用對數(shù)的運算性質(zhì),我們就可以求log0.840.5的值了. 對數(shù)恒等式:=N的證明也很簡單,只要緊扣對數(shù)式的定義即可證明. ab=N,b=logaN. ab=N, 即=N. 如=5, =6等.要熟記對數(shù)恒等式的形式,會使用這一公式化簡對數(shù)式. 作對數(shù)函數(shù)的圖

3、象一般有兩種方法:一是描點法,即通過列表、描點、連線的方法作出對數(shù)函數(shù)的圖象;二是通過觀察它和指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系,并利用它們之間的關(guān)系作圖. 比較大小是對數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的常見題型.當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,可利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較;當(dāng)?shù)讛?shù)和指數(shù)不同時,要借助于中間量進行比較.比較兩個對數(shù)式的大小,底相同時,可利用對數(shù)性質(zhì)進行比較.不同類的函數(shù)值的大小常借助中間量0、1等進行比較. 對數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a0且a1)互為反函數(shù),這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱. 因此,我們只要畫出和y=ax的圖象關(guān)于直線y=x對稱的曲線,就可以得到y(tǒng)=logax的圖象,然后根據(jù)圖象特

4、征得出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).疑難導(dǎo)析 通過將對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象進行對比,可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)a1或0a0,且a1;對數(shù)函數(shù)的定義域為(0,+),結(jié)合圖象看,對數(shù)函數(shù)在y軸左側(cè)沒有圖象,即負(fù)數(shù)與0沒有對數(shù),也就是真數(shù)必須大于0.這些知識可以用來求含有對數(shù)函數(shù)的定義域. 性質(zhì)靠圖象體現(xiàn),圖象靠性質(zhì)總結(jié).數(shù)形結(jié)合不僅是我們研究函數(shù)的一個重要工具,同時也是我們在解題時的常用方法.借助圖形的形象直觀,可以迅速準(zhǔn)確地得到相關(guān)問題的答案,尤其是選擇題,能結(jié)合圖象來思考,會事半功倍.問題導(dǎo)思 對數(shù)換底公式口訣: 換底公式真神奇,換成新底可任意, 原底加底變分母,真數(shù)加底變分子. 對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)的助記口訣: 積的對

5、數(shù)變加法,商的對數(shù)變?yōu)闇p, 冪的乘方取對數(shù),要把指數(shù)提到前. 對數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a1)的性質(zhì)的助記口訣: 對數(shù)增減有思路,函數(shù)圖象看底數(shù), 底數(shù)只能大于0,等于1來也不行, 底數(shù)若是大于1,圖象從下往上增; 底數(shù)0到1之間,圖象從上往下減. 無論函數(shù)增和減,圖象都過(1,0)點. 比較兩個對數(shù)型的數(shù)的大小是一種常見的題型,好好把握. 兩個同底數(shù)的對數(shù)比較大小的一般步驟: 確定所要考查的對數(shù)函數(shù); 根據(jù)對數(shù)底數(shù)判斷對數(shù)函數(shù)增減性; 比較真數(shù)大小,然后利用對數(shù)函數(shù)的增減性判斷兩對數(shù)值的大小. 對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于對數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1.而已知條件并未指明,因此需要對底數(shù)a進行討

6、論,體現(xiàn)了分類討論的思想,要求學(xué)生逐步掌握.典題導(dǎo)考綠色通道利用數(shù)形結(jié)合的方法可以快速地比較兩個對數(shù)的大小,有時也可以畫出函數(shù)的略圖.由此可見,學(xué)會一種思考方法比解決一道題目更重要.典題變式 比較下列各組數(shù)中兩個值的大小:(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7;(3)loga5.1,loga5.9(a0,a1).答案:(1)log23.4log0.32.7;(3)當(dāng)a1時,loga5.1loga5.9;當(dāng)0aloga5.9.綠色通道 本題的求解中,分解化簡和方程思想的運用在處理很多問題中具有一般性.典題變式1.已知3a=2,用a表示log34-log

7、36.答案:a-1.2.已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.答案: (a+b+1).綠色通道 研究函數(shù)的性質(zhì)一定得先考慮定義域,在研究函數(shù)單調(diào)性時,注意奇偶性對函數(shù)單調(diào)性的影響,即偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性;奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性.典題變式1.已知函數(shù)f(x)=lg(x2-3x+2)的定義域為F,函數(shù)g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定義域為G,那么( )A.GF B.G=F C.FG D.FG= 答案:A2.求函數(shù)y=(-x2+4x+5)的定義域和值域.答案:函數(shù)的定義域為x|-1x0且a1).(1)求函數(shù)的定義域;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)求使f(x)0的x的取值范圍.解答:(1)定義域為(-1,1).(2)當(dāng)a1時,f(x)為(-1,1)上的增函數(shù);當(dāng)0a1時,f(x)0的解為(0,1);當(dāng)0a0的解為(-1,0).綠色通道 畫函數(shù)圖象是研究函數(shù)變化規(guī)律的重要手段,畫函數(shù)圖象通常有兩種方法:列表法和變換法.變換法有如下幾種: 平移變換:y=f(x+a),將y=f(x)的圖象向左(a0)或向右(a0)或向下(a0),將y=f(x)