1、 無(wú)窮級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分收斂的判別法數(shù)學(xué)學(xué)院 09 級(jí) （三）班 張柏忱 09041100434摘要：本文給出了不具有奇點(diǎn)的無(wú)窮積分收斂的判別法和具有列奇點(diǎn)的無(wú)窮積分收斂的條件，以及無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性的判別法，并進(jìn)一步討論無(wú)窮級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分的關(guān)系。關(guān)鍵詞：無(wú)窮級(jí)數(shù) 無(wú)窮積分 斂散性 奇點(diǎn) 有界1.不具有奇點(diǎn)的無(wú)窮積分的收斂判別法 無(wú)窮積分是定積分在積分區(qū)間或被積函數(shù)上的推廣，其中有積分區(qū)間有界但被積函數(shù)具有奇點(diǎn)（或?qū)ΨQ點(diǎn)）的瑕積分和被積函數(shù)沒(méi)有奇點(diǎn)但積分區(qū)間無(wú)界的無(wú)窮積分。對(duì)于沒(méi)有奇點(diǎn)非負(fù)函數(shù)的無(wú)窮積分的收斂性，有一些便于應(yīng)用的判別法。 定理 1 （有界判別法）若f是 a , +）,上的非負(fù)函數(shù)，則積

2、分收斂充要條件是任意A a , +）,有界。 證明 ：由于飛f(x) 0 (a)，故積分是上限A增函數(shù)，因而，還有一種廣義積分，它不但被積分函數(shù)具有有限或無(wú)限的個(gè)奇點(diǎn)而且它的積分區(qū)間無(wú)限，是一種具有奇點(diǎn)的無(wú)窮積分，它的斂散性與個(gè)別奇點(diǎn)有關(guān)，也與無(wú)窮區(qū)間上這些無(wú)窮積分有關(guān)，因此，判斷收斂性較困難，本文針對(duì)一類具有可列奇點(diǎn)的無(wú)窮積分進(jìn)行探討，給出了判別它收斂的一個(gè)簡(jiǎn)便方法。 定義 設(shè)A為無(wú)窮集合，auA(u=1,2,)若存在常數(shù)d0，使| ai-aj|d(i=1,2,ij),則稱ai是A上的疏散序列，若au還是單調(diào)的，則稱au在A 上是單調(diào)函數(shù)。 顯然，對(duì)于單調(diào)疏散序列an，有an=+或an=-，

3、因此, a , +）上的單調(diào)疏散序列必須是嚴(yán)格增加的。（-,b上的單調(diào)疏散序列必是嚴(yán)格減少的。 引理 1 若函數(shù)f(x)在 a , +）上單調(diào)非負(fù)，且無(wú)窮積分收斂，則對(duì)于 a ,+）上的任一單調(diào)疏散序列（-, b 級(jí)數(shù)都收斂。 證明 ：因?yàn)閍n在 a ,+）上單調(diào)疏散，所以，an嚴(yán)格增加，且存在d0,使又an+1-d(u=1,2)，又f(x)單調(diào)，所以 由于，積分收斂，因此令，得 因?yàn)閒(a)0,所以級(jí)數(shù)收斂。引理 2 若在區(qū)間&上，函數(shù)f(x)單調(diào)有界，以a,b為奇點(diǎn)，瑕積分&收斂，則存在m,使 （其中，m=inf, M=sup）證明：由于函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)有界，瑕積分發(fā)散。故由AB

4、C判別法知，積分收斂。因?yàn)樵赼,b上，不變號(hào)。不妨設(shè)g(x)所以對(duì)任意得 Mg(x) 令a得 因此，存在，使 定理 1 若函數(shù)f(x)與g(x)在(a,)上滿足下列條件：（1）f(x)單調(diào)非負(fù)，積分收斂。（2）f(x)有可列個(gè)奇點(diǎn)它們?cè)?)上單調(diào)疏散。對(duì)任意的自然數(shù)n，收斂且關(guān)于n一致有界，則積分收斂。證明：已知瑕積分收斂且關(guān)于n一致有界，因此存在M0，使對(duì)于任意的自然數(shù)u，有。又因?yàn)閒(x)單調(diào)非負(fù)，由引理2 存在，使 已知單調(diào)疏散，&收斂，有引理1 ，級(jí)數(shù)收斂，有M判別法知，級(jí)數(shù)收斂，但 因此積分收斂。注：上述定理的結(jié)論也適合于其它條件下的具有有限多個(gè)奇點(diǎn)的無(wú)窮積分，以及和式中的任何一個(gè)積

5、分發(fā)散都導(dǎo)致這個(gè)區(qū)間上的積分發(fā)散。例 1 判斷積分的斂散性。解：容易驗(yàn)證函數(shù)f(x)=1/在1,上是單調(diào)非負(fù)的，積分收斂。g(x)=的奇點(diǎn)單調(diào)疏散，對(duì)任意的自然數(shù)，積分收斂，因此，積分收斂。 2.無(wú)窮積分收斂性的一個(gè)新的判別法通過(guò)建立無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)之間的關(guān)系，給出了無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)簡(jiǎn)便的判別法。其結(jié)果為：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間上非負(fù)，單調(diào)減少，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分的斂散性相同，當(dāng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的函數(shù)f(x)為復(fù)合函數(shù)時(shí)，上述的判別法將無(wú)法應(yīng)用。本文利用無(wú)窮積分的斂散性，給出了無(wú)窮級(jí)數(shù)的函數(shù)具有復(fù)合函數(shù)情形下的一個(gè)新的判別法。定理2 設(shè)為一正項(xiàng)發(fā)散級(jí)數(shù)，又設(shè)f(x)為一正值單調(diào)下降函數(shù)，則（1）收斂，則收斂；（2）發(fā)散，則發(fā)散；（3）有界，則與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。證明：（1）顯然由假設(shè)可知 兩邊求和，得 令時(shí)，則得到，當(dāng)收斂，則收斂。（2）由條件知 兩邊求和得 令時(shí)，得，當(dāng)發(fā)散，則發(fā)散。（3）由條件知，故易得 亦即兩邊級(jí)數(shù)部分和之差不超過(guò)一個(gè)有限常數(shù)，故必同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散。定理3 設(shè)g(x)單調(diào)上升，則對(duì)于正值單調(diào)下降函數(shù)，級(jí)數(shù)與必同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。證明：由條件知，對(duì)任意