1、第一章 量子力學(xué)的誕生1.1設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢阱中運動， 試用de Broglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。解：據(jù)駐波條件，有 （1）又據(jù)de Broglie關(guān)系 （2）而能量 （3）1.2設(shè)粒子限制在長、寬、高分別為的箱內(nèi)運動，試用量子化條件求粒子能量的可能取值。解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內(nèi)作自由運動。假設(shè)粒子與箱壁碰撞不引起內(nèi)部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動量大小不改變，僅方向反向。選箱的長、寬、高三個方向為軸方向，把粒子沿軸三個方向的運動分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有即 （：一來一回為一個周期）,同理可得， , ,粒子能量 1.3設(shè)質(zhì)量為的粒子在諧振子勢中運

2、動，用量子化條件求粒子能量E的可能取值。 提示：利用 解：能量為E的粒子在諧振子勢中的活動范圍為 （1）其中由下式?jīng)Q定：。 0 由此得 ， （2）即為粒子運動的轉(zhuǎn)折點。有量子化條件得 （3）代入（2），解出 （4）積分公式： 1.4設(shè)一個平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為I，求能量的可能取值。提示：利用 是平面轉(zhuǎn)子的角動量。轉(zhuǎn)子的能量。解：平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角（角位移）記為。它的角動量（廣義動量），是運動慣量。按量子化條件 ，因而平面轉(zhuǎn)子的能量，第二章 波函數(shù)與Schrdinger方程2.1設(shè)質(zhì)量為的粒子在勢場中運動。（a）證明粒子的能量平均值為 ， （能量密度）（b）證明能量守恒公式 （能流密度） 證：（a）粒

3、子的能量平均值為（設(shè)已歸一化） （1） （勢能平均值） （2）其中的第一項可化為面積分，而在無窮遠(yuǎn)處歸一化的波函數(shù)必然為。因此 （3）結(jié)合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 （4）且能量平均值 。（b）由（4）式，得 （ ：幾率密度） （定態(tài)波函數(shù)，幾率密度不隨時間改變）所以 。2.2考慮單粒子的Schrdinger方程 （1）與為實函數(shù)。（a）證明粒子的幾率（粒子數(shù)）不守恒。（b）證明粒子在空間體積內(nèi)的幾率隨時間的變化為證：（a）式（1）取復(fù)共軛， 得 （2） （1）-（2）,得 （3）即 ，此即幾率不守恒的微分表達(dá)式。（b）式（3）對空間體積積分，得上式右邊第一項代表單位時間內(nèi)粒子經(jīng)過

4、表面進入體積的幾率（ ） ，而第二項代表體積中“產(chǎn)生”的幾率，這一項表征幾率（或粒子數(shù)）不守恒。2.3 設(shè)和是Schrdinger方程的兩個解，證明。證： （1） （2）取（1）之復(fù)共軛： （3）（3）（2）,得 對全空間積分：，（無窮遠(yuǎn)邊界面上，）即 。2.4）設(shè)一維自由粒子的初態(tài)， 求。解： 2.5 設(shè)一維自由粒子的初態(tài)，求。提示：利用積分公式 或 。解：作Fourier變換： ， （） （指數(shù)配方）令 ，則 。2.6 設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為，證明在足夠長時間后，式中 是的Fourier變換。提示：利用 。證：根據(jù)平面波的時間變化規(guī)律 ， ，任意時刻的波函數(shù)為 （1）當(dāng)時間足夠長后（所謂）

5、 ，上式被積函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)具有函數(shù)的性質(zhì)，取 ， ， （2）參照本題的解題提示，即得 （3） （4）物理意義：在足夠長時間后，各不同k值的分波已經(jīng)互相分離，波群在處的主要成分為，即，強度，因子描述整個波包的擴散，波包強度。設(shè)整個波包中最強的動量成分為，即時最大，由（4）式可見，當(dāng)足夠大以后，的最大值出現(xiàn)在處，即處，這表明波包中心處波群的主要成分為。2.7 寫出動量表象中的不含時Schrdinger方程。解：經(jīng)典能量方程 。在動量表象中，只要作變換，所以在動量表象中，Schrdinger為： 。第三章一維定態(tài)問題3.1）設(shè)粒子處在二維無限深勢阱中，求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。如 ，能級的簡

6、并度如何？解：能量的本征值和本征函數(shù)為若，則 這時，若，則能級不簡并;若，則能級一般是二度簡并的（有偶然簡并情況，如與）3.2）設(shè)粒子限制在矩形匣子中運動，即求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。如，討論能級的簡并度。解：能量本征值和本征波函數(shù)為,當(dāng)時，時，能級不簡并；三者中有二者相等，而第三者不等時，能級一般為三重簡并的。三者皆不相等時，能級一般為6度簡并的。如 3.3）設(shè)粒子處在一維無限深方勢阱中，證明處于定態(tài)的粒子討論的情況，并于經(jīng)典力學(xué)計算結(jié)果相比較。證：設(shè)粒子處于第n個本征態(tài)，其本征函數(shù). （1） （2）在經(jīng)典情況下，在區(qū)間粒子除與阱壁碰撞（設(shè)碰撞時間不計，且為彈性碰撞，即粒子碰撞后僅運動

7、方向改變，但動能、速度不變）外，來回作勻速運動，因此粒子處于范圍的幾率為，故 ， （3）， （4）當(dāng)時，量子力學(xué)的結(jié)果與經(jīng)典力學(xué)結(jié)果一致。3.4）設(shè)粒子處在一維無限深方勢阱中，處于基態(tài)，求粒子的動量分布。解：基態(tài)波函數(shù)為 , （參P57，（12）動量的幾率分布3.5）設(shè)粒子處于半壁高的勢場中 （1）求粒子的能量本征值。求至少存在一條束縛能級的體積。解：分區(qū)域?qū)懗? （2）其中 （3）方程的解為 （4）根據(jù)對波函數(shù)的有限性要求，當(dāng)時，有限，則當(dāng)時，則于是 （5）在處，波函數(shù)及其一級導(dǎo)數(shù)連續(xù)，得 （6）上兩方程相比，得 （7）即 （7） 若令 （8）則由（7）和（3），我們將得到兩個方程：（10）

8、式是以為半徑的圓。對于束縛態(tài)來說，結(jié)合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表達(dá)的圓與曲線在第一象限的交點可決定束縛態(tài)能級。當(dāng)，即，亦即 （11）時，至少存在一個束縛態(tài)能級。這是對粒子質(zhì)量，位阱深度和寬度的一個限制。36）求不對稱勢阱中粒子的能量本征值。解：僅討論分立能級的情況，即，當(dāng)時，故有由在、處的連續(xù)條件，得 （1）由（1a）可得 （2）由于皆為正值，故由（1b），知為二，四象限的角。因而 （3）又由（1），余切函數(shù)的周期為，故由(2)式， (4)由(3)，得 (5)結(jié)合(4),(5)，得 或 （6）一般而言，給定一個值，有一個解，相當(dāng)于有一個能級： （7）當(dāng)時，僅當(dāng) 才有束縛態(tài)

9、，故給定時，僅當(dāng) （8）時才有束縛態(tài)（若，則無論和的值如何，至少總有一個能級）當(dāng)給定時，由(7)式可求出個能級（若有個能級的話）。相應(yīng)的波函數(shù)為:其中 37）設(shè)粒子（能量）從左入射，碰到下列勢阱（圖），求阱壁處的反射系數(shù)。解：勢阱為 在區(qū)域上有入射波與反射波，在區(qū)域上僅有透射波。故由，得 。由，得 。從上二式消去c, 得 。反射系數(shù) 將代入運算，可得38）利用Hermite多項式的遞推關(guān)系（附錄A3。式（11），證明諧振子波函數(shù)滿足下列關(guān)系并由此證明，在態(tài)下， 證：諧振子波函數(shù) （1）其中，歸一化常數(shù) （2）的遞推關(guān)系為 （3） 39）利用Hermite多項式的求導(dǎo)公式。證明（參A3.式（12

10、）證：A3.式（12）：310）諧振子處于態(tài)下，計算，解：由題36）， 由題37），對于基態(tài)，剛好是測不準(zhǔn)關(guān)系所規(guī)定的下限。311）荷電q的諧振子，受到外電場的作用， （1）求能量本征值和本征函數(shù)。解： （2）的本征函數(shù)為 ， 本征值 現(xiàn)將的本征值記為，本癥函數(shù)記為。式（1）的勢能項可以寫成 其中 （3）如作坐標(biāo)平移，令 （4）由于 （5）可表成 （6）（6）式中的與（2）式中的相比較，易見和的差別在于變量由換成，并添加了常數(shù)項，由此可知 （7） （8）即 （9） (10)其中 (11)312）設(shè)粒子在下列勢阱中運動，求粒子能級。解：既然粒子不能穿入的區(qū)域，則對應(yīng)的S.eq的本征函數(shù)必須在處為

11、零。另一方面，在的區(qū)域，這些本征函數(shù)和諧振子的本征函數(shù)相同（因在這個區(qū)域，粒子的和諧振子的完全一樣，粒子的波函數(shù)和諧振子的波函數(shù)滿足同樣的S.eq）。振子的具有的奇宇稱波函數(shù)在處為零，因而這些波函數(shù)是這一問題的解（的偶宇稱波函數(shù)不滿足邊條件）所以313）設(shè)粒子在下列勢阱中運動， (1)是否存在束縛定態(tài)？求存在束縛定態(tài)的條件。解：S.eq: (2)對于束縛態(tài)（），令 (3)則 (4)積分,得躍變的條件 (5) 在處，方程(4)化為 (6)邊條件為 因此 (7)再根據(jù)點連續(xù)條件及躍變條件(5)，分別得 (8) (9)由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式） (10)此即確定能級的公式。下

12、列分析至少存在一條束縛態(tài)能級的條件。 當(dāng)勢阱出現(xiàn)第一條能級時，所以,利用 ,（10）式化為 ,因此至少存在一條束縛態(tài)能級的條件為 （11）純勢阱中存在唯一的束縛能級。當(dāng)一側(cè)存在無限高勢壘時，由于排斥作用（表現(xiàn)為，對）。束縛態(tài)存在與否是要受到影響的。純勢阱的特征長度 。條件（11）可改寫為 （12）即要求無限高勢壘離開勢阱較遠(yuǎn)（）。才能保證勢阱中的束縛態(tài)能存在下去。顯然，當(dāng)（即），時，左側(cè)無限高勢壘的影響可以完全忽略，此時，式（10）給出即 （13）與勢阱的結(jié)論完全相同。令， 則式（10）化為 （14）由于，所以只當(dāng)時，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能級 （15）第四章

13、力學(xué)量用算符表達(dá)與表象變換4.1）設(shè)與為厄米算符，則和也是厄米算符。由此證明，任何一個算符均可分解為，與均為厄米算符，且證：）為厄米算符。）也為厄米算符。）令，則，且定義 （1）由），）得，即和皆為厄米算符。則由（1）式，不難解得 4.2）設(shè)是的整函數(shù)，證明整函數(shù)是指可以展開成。證： （1）先證。同理，現(xiàn)在，而 。又 而 4.3）定義反對易式，證明證：4.4）設(shè)，為矢量算符，和的標(biāo)積和矢積定義為，為Levi-civita符號，試驗證 （1） （2） （3）證：（1）式左端（1）式右端也可以化成 。 （1）式得證。（2）式左端 （）（2）式右端 故（2）式成立。（3）式驗證可仿（2）式。4.5）

14、設(shè)與為矢量算符，為標(biāo)量算符，證明 （1） （2）證：（1）式右端（1）式左端（2）式右端 （2）式左端4.6）設(shè)是由，構(gòu)成的標(biāo)量算符，證明 （1）證： （2） （3）同理可證， （4） （5）將式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得證。4.7）證明 。證：利用基本對易式 即得 。因此 其次，由于和對易，所以因此，4.8）證明 （1） （2） （3） （4）證: （1）利用公式 ，有其中 因此 （2）利用公式， （）可得 由，則（2）得證。（3）（4）就此式的一個分量加以證明，由4.4）（2）， ，其中（即）類似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）題得證。4.9）定義徑向動量算符

15、 證明：， ，證：，即為厄米算符。據(jù)4.8）（1），。其中 ，因而 以左乘上式各項，即得4.10)利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算諧振子的基態(tài)能量。解：一維諧振子能量 。又奇，（由(3.8)、(3.9)題可知），由測不準(zhǔn)關(guān)系，得 。，得 同理有，。諧振子（三維）基態(tài)能量。4.11) 利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算類氫原子中電子的基態(tài)能量。解：類氫原子中有關(guān)電子的討論與氫原子的討論十分相似，只是把氫原子中有關(guān)公式中的核電荷數(shù)換成（為氫原子系數(shù)）而理解為相應(yīng)的約化質(zhì)量。故玻爾軌跡半徑 ，在類氫原子中變?yōu)?。類氫原子基態(tài)波函數(shù)，僅是的函數(shù)。而，故只考慮徑向測不準(zhǔn)關(guān)系， 類氫原子徑向能量為：。而，如果只考慮基態(tài)，它可寫為，與共軛

16、，于是， （1）求極值 由此得（：玻爾半徑；：類氫原子中的電子基態(tài)“軌跡”半徑）。代入（1）式，得基態(tài)能量，運算中做了一些不嚴(yán)格的代換，如，作為估算是允許的。4.12)證明在分立的能量本征態(tài)下動量平均值為0。證：設(shè)定態(tài)波函數(shù)的空間部分為，則有為求的平均值，我們注意到坐標(biāo)算符與的對易關(guān)系：。這里已用到最基本的對易關(guān)系，由此這里用到了的厄米性。 這一結(jié)果可作一般結(jié)果推廣。如果厄米算符可以表示為兩個厄米算符和的對易子，則在或的本征態(tài)中，的平均值必為0。4.13）證明在的本征態(tài)下，。（提示：利用，求平均。）證：設(shè)是的本征態(tài)，本征值為，即，同理有：。4.14) 設(shè)粒子處于狀態(tài)下，求和解：記本征態(tài)為，滿足

17、本征方程，利用基本對易式 ，可得算符關(guān)系 將上式在態(tài)下求平均，因作用于或后均變成本征值，使得后兩項對平均值的貢獻互相抵消，因此 又上題已證 。同理 。4.15)設(shè)體系處于狀態(tài)（已歸一化，即），求（a）的可能測值及平均值;（b）的可能測值及相應(yīng)的幾率；（c）的可能測值及相應(yīng)的幾率。解：，；，。（a）由于已歸一化，故的可能測值為，0，相應(yīng)的幾率為，。平均值。（b）的可能測值為，相應(yīng)的幾率為，。（c）若，不為0，則（及）的可能測值為：，0，。1）在的空間，對角化的表象中的矩陣是求本征矢并令，則，得，。）取，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。）取，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。）取，得，歸一化

18、后可得本征矢為。在態(tài)下， 取的振幅為，取的幾率為；取的振幅為，相應(yīng)的幾率為；取的振幅為，相應(yīng)的幾率為?？値茁蕿?。2）在的空間，對角化表象中的矩陣?yán)?，。，本征方程，。），本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；），本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為，幾率為。），本征矢為，在態(tài)下，測得幾率為。），本征矢為，在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；），本征矢為，在態(tài)下，測得的幾率為。在態(tài)中，測（和）的可能值及幾率分別為：4.16）設(shè)屬于能級有三個簡并態(tài)，和，彼此線形獨立，但不正交，試?yán)盟鼈儤?gòu)成一組彼此正交歸一的波函數(shù)。解： ，。是歸一化的。，。它們是正交歸一的，但仍然是簡并的（可驗證：它們?nèi)詫?yīng)于同一能級）

19、。4.17）設(shè)有矩陣等，證明，表示矩陣相應(yīng)的行列式得值，代表矩陣的對角元素之和。證：（1）由定義，故上式可寫成：，其中是的任意一個置換。（2）（3）（4）（5） 第五章 力學(xué)量隨時間的變化與對稱性5.1）設(shè)力學(xué)量不顯含，為本體系的Hamilton量，證明證.若力學(xué)量不顯含，則有,令則,5.2）設(shè)力學(xué)量不顯含，證明束縛定態(tài)，證：束縛定態(tài)為:：。在束縛定態(tài)，有。其復(fù)共軛為。5.3）表示沿方向平移距離算符.證明下列形式波函數(shù)（Bloch波函數(shù)）,是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為證：,證畢。5.4）設(shè)表示的本征態(tài)（本征值為），證明是角動量沿空間方向的分量的本征態(tài)。證：算符相當(dāng)于將體系繞軸轉(zhuǎn)角，算符相當(dāng)于將體

20、系繞軸轉(zhuǎn)角，原為的本征態(tài)，本征值為，經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)動，固定于體系的坐標(biāo)系（即隨體系一起轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系）的軸（開始時和實驗室軸重合）已轉(zhuǎn)到實驗室坐標(biāo)系的方向，即方向，變成了，即變成了的本征態(tài)。本征值是狀態(tài)的物理屬性，不受坐標(biāo)變換的影響，故仍為。（還有解法二，參 錢. .剖析. P327）5.5）設(shè)Hamilton量。證明下列求和規(guī)則。是的一個分量， 是對一切定態(tài)求和，是相應(yīng)于態(tài)的能量本征值，。證： （）又，。不難得出，對于分量，亦有同樣的結(jié)論，證畢。5.6）設(shè)為厄米算符，證明能量表象中求和規(guī)則為 （1）證：式（1）左端 （2）計算中用到了公式 。由于是厄米算符，有下列算符關(guān)系： （3）式（2）取共軛，

21、得到 （4）結(jié)合式（2）和（4），得證畢。5.7）證明schrdinger方程變換在Galileo變換下的不變性，即設(shè)慣性參照系的速度相對于慣性參照系運動（沿軸方向），空間任何一點 兩個參照系中的坐標(biāo)滿足下列關(guān)系：。 （1）勢能在兩個參照系中的表示式有下列關(guān)系 （2）證明schrdinger方程在參照系中表為 在參照系中表為 其中 證：由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，和的意義完全相同。， 是時刻在點找到粒子的幾率密度；，是時刻在點找到粒子的幾率密度。但是在給定時刻，給定地點發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應(yīng)與參照系的選擇無關(guān)，所以相應(yīng)的幾率應(yīng)相等，即 （6）從（1）式有 （6）由此可以得出， 和兩個波函數(shù)彼此只應(yīng)差絕對值為

22、1的相因子，所以 （7） （7）由（1）式， , , （3）式變?yōu)椋?（8）將（7）代入（8）式，可得 （9）選擇適當(dāng)?shù)?，使得?）（4）， 。 （10） （10）從（10）可得 。 （11）是的任意函數(shù)，將（11）代入（10），可得積分，得 。為積分常數(shù)，但時，系和系重合，應(yīng)等于，即應(yīng)等于，故應(yīng)取，從而得到 （12）代入（7）式，最后得到波函數(shù)的變換規(guī)律： （13）逆變換為 （13）相當(dāng)于式（13）中的，帶的量和不帶的量互換。討論：的函數(shù)形式也可用下法求出：因和勢能無關(guān)，所以只需要比較平面波（自由粒子）在和系中的表現(xiàn)形式，即可確定.沿方向運動的自由粒子，在伽利略變換下，動量、能量的變換關(guān)系為

23、 （14）據(jù)此，系和系中相應(yīng)的平面波波函數(shù)為， （15）（1）、（14）代入（15），即得此即（13）式，由于這個變換關(guān)系僅取決于和系的相對速度，而與粒子的動量無關(guān)，所以上式適用于任何自由粒子。它正是所求的變換關(guān)系。第六章 中心力場6.1) 利用6.1.3節(jié)中式（17）、（18），證明下列關(guān)系式相對動量 （1）總動量 （2）總軌跡角動量 （3）總動能 （4）反之，有 （5） ， （6）以上各式中，證： ， （17） ， （18）相對動量 （1）總動量 （2）總軌跡角動量 由（17）、(18)可解出，即（5）式；由（1）（2）可解出（6）。總動能 （4）從（17），(18)式可解出（5）式；從（

24、1），(2)式可解出（6）式.6.2) 同上題，求坐標(biāo)表象中、和的算術(shù)表示式，解： （1）其中 ，而 ，同理，；（利用上題（17）（18）式。） ；仿此可設(shè) （2）代入（1）中，得 （3） （4）只要將（3）、（4）式中的、以相應(yīng)的算符代入即可。6.3）利用氫原子能級公式，討論下列體系的能譜：（a）電子偶素（positronium，指束縛體系）（b）u原子（muonic atom）（c）u子偶素（muonium，指束縛體系）解：由氫原子光譜理論，能級表達(dá)式為：, 。（a）電子偶素能級 ，（）（b）u原子能級 ，（）（c）u子偶素能級，（）6.4）對于氫原子基態(tài)，計算。解： * 在求坐標(biāo)系中，空

25、間反演：（）。氫原子基態(tài)波函數(shù)為 （1）宇稱為偶。由于均為奇宇稱算符，所以 （2）由于各向同性，呈球?qū)ΨQ分布，顯然有 （3）容易算出 （4） （5）因此 ， （6）， （7） （8）測不準(zhǔn)關(guān)系的普遍結(jié)論是 （9）顯然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）規(guī)定的下限。6.5）對于氫原子基態(tài)，求電子處于經(jīng)典禁區(qū)（即）的幾率。解：氫原子基態(tài)波函數(shù)為 ，相應(yīng)的能量 動能 是經(jīng)典不允許區(qū)。由上式解出為。因此，電子處于經(jīng)典不允許區(qū)的幾率為（令）6.6）對于類氫原子（核電荷）的“圓軌跡”（指的軌跡），計算（a）最可幾半徑；（b）平均半徑； （c）漲落解：類氫原子中電子波函數(shù)可以表示為 （1）（a）

26、 最可幾半徑由徑向幾率分布的極值條件 （2）決定。時，。代入（2）式，容易求得 （4）這結(jié)果和玻爾量子論中圓軌跡的半徑公式一致。（b）在態(tài)下，各之間有遞推關(guān)系（Kramers公式） (5) （參 錢伯初、曾謹(jǐn)言量子力學(xué)習(xí)題精選與剖析P197）在（5）式中令，注意到?？稍O(shè) (6)依次再取，得到 （7）（c） （8）因此，的漲落 （9） （10）可見，越大，越小，量子力學(xué)的結(jié)果和玻爾量子軌跡的圖像越加接近。6.7）設(shè)電荷為的原子核突然發(fā)生衰變，核電荷變成，求衰變前原子中一個電子（軌跡上的電子）在衰變后仍然保持在新的原子的軌跡的幾率。解：由于原子核的衰變是突然發(fā)生的?？梢哉J(rèn)為核外的電子狀態(tài)還來不及變

27、化。對于原來的電子，其波函數(shù)仍未 （1）而新原子中電子的波函數(shù)應(yīng)為 （2）將按新原子的能量本征態(tài)作線形展開： （3）則衰變前的電子在衰變后處于新原子的態(tài)的幾率為 （4）因此，本題所求的幾率為 （5）展開時保留到第三項當(dāng)，上式可近似取成 （5）例如， , ；, 。6.8）設(shè)堿金屬原子中的價電子所受電子實（原子核+滿殼電子）的作用近似表為（） （1）為Bohr半徑，求價電子的能級。提示：令，解出解：取守恒量完全集為，其共同本征函數(shù)為 （2）滿足徑向方程 （3）令 （4）式（3）就可以化為 （3）相當(dāng)于氫原子徑向方程中換成。所以式（3）的求解過程完全類似于氫原子問題。后者能級為 ， ， （5）將換成

28、，即得價電子的能級：， （6）通常令 （7） （8）稱為量子數(shù)和的“修正數(shù)”。由于，可以對式（4）作如下近似處理：略去，即得 （9）由于，因此，本題所得能級和氫原子能級僅有較小的差別，但是能級的“簡并”已經(jīng)消除。式（6）和堿金屬光譜的實驗資料大體一致，尤其是，修正數(shù)隨之升高而減小，這一點和實驗符合的極好。式（4）的精確解為 （10）若對上式作二項式展開，保留項，略去以上各項，即可得到式（9）。6.9）在二維諧振子勢中的粒子，求解其能量本正值。對于二維各向同性（）的諧振子，求能級的簡并度。（參 書卷P302-303）解： 第七章 粒子在電磁場中的運動 7.1）設(shè)帶電粒子在互相垂直的均勻電場和均勻

29、磁場中運動，求能級本征值和本征。（參導(dǎo)論）解：以電場方向為軸，磁場方向為軸，則， （1）去電磁場的標(biāo)勢和矢勢為， （2）滿足關(guān)系 ， 粒子的Hamiton量為 （3）取守恒量完全集為，它們的共同本征函數(shù)可寫成 （4）其中和為本征值，可取任意函數(shù)。滿足能量本證方程： 因此滿足方程 （5）亦即，對于來說，和式等價： （6）其中 （7）式（6）相當(dāng)于一維諧振子能量算符再加上兩項函數(shù)，因此本題能級為 （8）其中和為任意實數(shù)， 式（4）中 為以為變量的一維諧振子能量本征函數(shù)，即 （9）為厄密多項式， 。7.2）設(shè)帶電粒子在均勻磁場和各向同性諧振子勢中運動，求能量本征值。第八章 自旋8.1) 在表象中，求

30、的本征態(tài)。解：在表象中，的矩陣表示為：設(shè)的本征矢（在表象中）為，則有可得及 。 則 則利用歸一化條件，可求出的兩個本征態(tài)為 。8.2) 在表象中，求的本征態(tài)， 是方向的單位矢.解：在表象中，的矩陣表示為， ， （1）因此， （2）設(shè)的本征函數(shù)表示為，本征值為，則本征方程為，即 （3）由（3）式的系數(shù)行列式，可解得。對于，代回（3）式，可得歸一化本征函數(shù)用表示，通常取為或 （4）后者形式上更加對稱，它和前者相差因子，并無實質(zhì)差別。若用的直角坐標(biāo)分量來表示，可以取為或 （4）如，二者等價（僅有相因子的差別）。若，應(yīng)取前者；若，應(yīng)取后者。對于類似地可以求得或 （5）或 或 （5）若，取; 若，取。8

31、.3) 在本征態(tài)下，求和。解：但 （常數(shù)矩陣）， ，類似有。8.4) （a）在本征態(tài)下，求的可能測值及相應(yīng)的幾率。（b）同第2題，若電子處于的自旋態(tài)下，求的各分量的可能測值及相應(yīng)的幾率以及的平均值。解：（a）利用8.2）題求得的本征函數(shù)，容易求出：在自旋態(tài)中，的幾率為 （1）的幾率為 （2）（b）在自旋態(tài)態(tài)，的幾率為 （3）的幾率為： （4）或 （5）考慮到 ，各分量以及各分量在的構(gòu)造中地位對稱，所以利用式（3）、（4）、（5），作輪換，就可推論出以下各點：的幾率為， （6） （7）的幾率為 （8） （9）將式（5）、（7）、（9）合并寫成矢量形式如下：自旋態(tài)中， （10）類似地，容易算出：自旋態(tài)中， （11）解二：（a）在自旋態(tài)中，的可能測值為本征值設(shè)相應(yīng)的幾率為及，則 （12）由于 （13）考慮到在的本征態(tài)中和的平均值為，的平均值即為其本征值，因此在態(tài)下， （14）由式（12）、（14），并利用，就可求出， （15）此即解一中的式（1）、（2）。（b）在式（14）中，是軸和的夾角。 軸和的選取是任意的。完全可以將原來的軸作為新的軸，而原來的取作新的軸。由此可知：在的自旋態(tài)中，的平均值仍為，即。再令輪換，即得自旋態(tài)中， （10）在態(tài)下各分量