1、直角三角形與勾股定理一、選擇題1. （2016四川達(dá)州3分）如圖，在55的正方形網(wǎng)格中，從在格點(diǎn)上的點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為（）ABCD【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用【分析】從點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)，找出所有的可能，以及能構(gòu)成直角三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率【解答】解：從點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)能組成三角形的一共有4種可能，其中ABD，ADC，ABC是直角三角形，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為故選D2.（2016廣東廣州）如圖2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線，DE交AB于D，連接CD，CD( )A

2、、3 B、4 C、4.8 D、5難易 中等考點(diǎn) 勾股定理及逆定理，中位線定理，中垂線的性質(zhì)解析 因?yàn)锳B=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC為直角三角形，因?yàn)镈E為AC邊的中垂線，所以DE與AC垂直，AE=CE=4，所以DE為三角形ABC 的中位線，所以DE=3,再根據(jù)勾股定理求出CD=5參考答案 D 3. （2016年浙江省臺州市）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別對應(yīng)1，2，過點(diǎn)B作PQAB，以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑畫弧，交PQ于點(diǎn)C，以原點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)是（）ABCD【考點(diǎn)】勾股定理；實(shí)數(shù)與數(shù)軸【分析】直接利用勾股定理得出OC的

3、長，進(jìn)而得出答案【解答】解：如圖所示：連接OC，由題意可得：OB=2，BC=1，則AC=，故點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)是：故選：B4（2016山東煙臺）如圖，RtABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點(diǎn)與0刻度線的一端重合，ABC=40，射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，與量角器外沿交于點(diǎn)D，若射線CD將ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是（）A40B70C70或80D80或140【考點(diǎn)】角的計(jì)算【分析】如圖，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連接DO，易知點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=DOB=2BCD，只要求出BCD的度數(shù)即可解決問題【解答】解：如圖，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連接DO點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=DOB=

4、2BCD，當(dāng)射線CD將ABC分割出以BC為邊的等腰三角形時(shí)，BCD=40或70，點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=DOB=2BCD=80或140，故選D5（2016.山東省威海市，3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長為（）ABCD【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）【分析】連接BF，根據(jù)三角形的面積公式求出BH，得到BF，根據(jù)直角三角形的判定得到BFC=90，根據(jù)勾股定理求出答案【解答】解：連接BF，BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，BE=3，又AB=4，AE=5，BH=，則BF=，F(xiàn)E=BE=EC，BFC=

5、90，CF=故選：D6（2016江蘇連云港）如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為S1、S2、S3；如圖2，分別以直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為S4、S5、S6其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，則S3+S4=（）A86B64C54D48【分析】分別用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根據(jù)AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系同理，得出S4、S5、S6的關(guān)系【解答】解：如圖1，S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2AB2=AC2+BC2，S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3，如圖2，

6、S4=S5+S6，S3+S4=16+45+11+14=86故選A【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)勾股定理：如果直角三角形的兩條直角7.（2016江蘇南京）下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是A3，4，4 B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，7答案：C考點(diǎn)：構(gòu)成三角形的條件，勾股定理的應(yīng)用，鈍角三角形的判斷。解析：由兩邊之和大于第三邊，可排除D；由勾股定理：，當(dāng)最長邊比斜邊c更長時(shí)，最大角為鈍角，即滿足，所以，選C。8（2016江蘇省揚(yáng)州）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6將該矩形紙片剪去3個(gè)等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是（）A6B3C2.5D

7、2【考點(diǎn)】幾何問題的最值【分析】以BC為邊作等腰直角三角形EBC，延長BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四邊形EFDG，此時(shí)剩余部分面積的最小【解答】解：如圖以BC為邊作等腰直角三角形EBC，延長BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四邊形EFDG，此時(shí)剩余部分面積的最小=46443633=2.5故選C9（2016浙江省舟山）如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，過點(diǎn)A，C作相距為2的平行線段AE，CF，

8、分別交CD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則DE的長是（）ABC1D【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理【分析】過F作FHAE于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，ABCD，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF=CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到結(jié)論【解答】解：過F作FHAE于H，四邊形ABCD是矩形，AB=CD，ABCD，AECF，四邊形AECF是平行四邊形，AF=CE，DE=BF，AF=3DE，AE=，F(xiàn)HA=D=DAF=90，AFH+HAF=DAE+FAH=90，DAE=AFH，ADEAFH，AE=AF，=3DE，DE=，故選D二、

9、填空題1. （2016湖北黃岡） 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，且DC=3DE=3a，將矩形沿直線EF折疊，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，則FP=_.A P(C) D E B F C （第13題）【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)、圖形的變換（折疊）、30度角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理.【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，知EC=EP2a=2DE；則DPE=30，DEP=60，得出PEF=CEF=(180-60)= 60，從而PFE=30，得出EF=2EP=4a，再勾股定理，得 出FP的長.【解答】解：DC=3DE=3a，DE=a，EC=2a.根據(jù)折疊的性質(zhì)，EC=EP2a；PEF=C

10、EF， EPF=C=90.根據(jù)矩形的性質(zhì)，D=90，在RtDPE中，EP=2DE=2a，DPE=30，DEP=60.PEF=CEF=(180-60)= 60.在RtEPF中，PFE=30.EF=2EP=4a 在RtEPF中，EPF=90，EP2a，EF4a， 根據(jù)勾股定理，得 FP=a.故答案為：a2. (2016四川資陽)如圖，在等腰直角ABC中，ACB=90，COAB于點(diǎn)O，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且AD=CE，連結(jié)DE交CO于點(diǎn)P，給出以下結(jié)論：DOE是等腰直角三角形；CDE=COE；若AC=1，則四邊形CEOD的面積為；AD2+BE22OP2=2DPPE，其中所有正確結(jié)論的序號是

11、【考點(diǎn)】勾股定理；四點(diǎn)共圓【分析】正確由ADOCEO，推出DO=OE，AOD=COE，由此即可判斷正確由D、C、E、O四點(diǎn)共圓，即可證明正確由SABC=11=，S四邊形DCEO=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC=SABC即可解決問題正確由D、C、E、O四點(diǎn)共圓，得OPPC=DPPE，所以2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，由OPEOEC，得到=，即可得到2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可證明【解答】解：正確如圖，ACB=90，AC=BC，COABAO=OB=OC，A=B=ACO=BCO=45，在ADO和CE

12、O中，ADOCEO，DO=OE，AOD=COE，AOC=DOE=90，DOE是等腰直角三角形故正確正確DCE+DOE=180，D、C、E、O四點(diǎn)共圓，CDE=COE，故正確正確AC=BC=1，SABC=11=，S四邊形DCEO=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC=SABC=，故正確正確D、C、E、O四點(diǎn)共圓，OPPC=DPPE，2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，OEP=DCO=OCE=45，POE=COE，OPEOEC，=，OPOC=OE2，2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，CD=BE，CE=AD，AD2+BE2=

13、2OP2+2DPPE，AD2+BE22OP2=2DPPE故正確3.（2016廣東梅州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AB1C1的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)B1、C1處，點(diǎn)B1在x軸上，再將AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1B1C2的位置，點(diǎn)C2在x軸上，將A1B1C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A2B2C2的位置，點(diǎn)A2在x軸上，依次進(jìn)行下去若點(diǎn)A（，0），B（0，2），則點(diǎn)B2016的坐標(biāo)為_答案：（6048，2）考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形的變換旋轉(zhuǎn)，規(guī)律探索，勾股定理。解析：OA，OB2，由勾股定理，得：AB，所以，OC226，所以，B2（6,2），同理可得：B4（12,2），B6（18

14、,2），所以，B2016的橫坐標(biāo)為：100866048，所以，B2016（6048,2）4. （2016年浙江省溫州市）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，小明利用七巧板（如圖1所示）中各板塊的邊長之間的關(guān)系拼成一個(gè)凸六邊形（如圖2所示），則該凸六邊形的周長是（32+16）cm【考點(diǎn)】七巧板【分析】由正方形的性質(zhì)和勾股定理求出各板塊的邊長，即可求出凸六邊形的周長【解答】解：如圖所示：圖形1：邊長分別是：16，8，8；圖形2：邊長分別是：16，8，8；圖形3：邊長分別是：8，4，4；圖形4：邊長是：4；圖形5：邊長分別是：8，4，4；圖形6：邊長分別是：4，8；圖形7：邊長分別是

15、：8，8，8；凸六邊形的周長=8+28+8+44=32+16（cm）；故答案為：32+165（2016.山東省臨沂市，3分）如圖，將一矩形紙片ABCD折疊，使兩個(gè)頂點(diǎn)A，C重合，折痕為FG若AB=4，BC=8，則ABF的面積為6【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于CF的方程，求出CF，求出BF，根據(jù)面積公式求出即可【解答】解：將一矩形紙片ABCD折疊，使兩個(gè)頂點(diǎn)A，C重合，折痕為FG，F(xiàn)G是AC的垂直平分線，AF=CF，設(shè)AF=FC=x，在RtABF中，有勾股定理得：AB2+BF2=AF2，42+（8x）2=x2，解得：x=5，即CF=5，BF

16、=85=3，ABF的面積為34=6，故答案為：6【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能得出關(guān)于x的方程是解此題的關(guān)鍵6（2016江蘇連云港）如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使AB與CD重合，折痕為EF如圖2，展開后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM交AB于N若AD=2，則MN=【分析】設(shè)正方形的邊長為2a，DH=x，表示出CH，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根據(jù)相似三角形的判定性質(zhì)，可得NE的長，根據(jù)線段的和差，可得答案【解答】解：設(shè)DH=x，CH=2x，由翻折的性質(zhì)，DE=1，EH=CH=2x，

17、在RtDEH中，DE2+DH2=EH2，即12+x2=（2x）2，解得x=，EH=2x=MEH=C=90，AEN+DEH=90，ANE+AEN=90，ANE=DEH，又A=D，ANEDEH，=，即=，解得EN=，MN=MEBC=2=，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，設(shè)出DH的長，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)三、解答題1. (2016云南)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，ABC：BAD=1：2，BEAC，CEBD（1）求tanDBC的值；（2）求證：四邊形OBEC是矩形【考點(diǎn)】矩形的判定；菱形的性質(zhì)；解直角三角形【專

18、題】計(jì)算題；矩形 菱形 正方形【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，得到對邊平行，且BD為角平分線，利用兩直線平行得到一對同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)已知角之比求出相應(yīng)度數(shù)，進(jìn)而求出BDC度數(shù)，即可求出tanDBC的值；（2）由四邊形ABCD是菱形，得到對角線互相垂直，利用兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形，再利用有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形即可得證【解答】（1）解：四邊形ABCD是菱形，ADBC，DBC=ABC，ABC+BAD=180，ABC：BAD=1：2，ABC=60，BDC=ABC=30，則tanDBC=tan30=；（2）證明：四邊形ABCD是菱形，ACBD，即BOC=90，BEAC，CEB

19、D，BEOC，CEOB，四邊形OBEC是平行四邊形，則四邊形OBEC是矩形【點(diǎn)評】此題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，以及解直角三角形，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵2. （2016四川達(dá)州8分）如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過點(diǎn)O作ODAC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作半圓O的切線交OD的延長線于點(diǎn)E，連接BD并延長交AE于點(diǎn)F（1）求證：AEBC=ADAB；（2）若半圓O的直徑為10，sinBAC=，求AF的長【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；切線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義【分析】（1）只要證明EADABC即可解決問題（2）作DMAB于M，利用DMAE，得=，求

20、出DM、BM即可解決問題【解答】（1）證明：AB為半圓O的直徑，C=90，ODAC，CAB+AOE=90，ADE=C=90，AE是切線，OAAE，E+AOE=90，E=CAB，EADABC，AE：AB=AD：BC，AEBC=ADAB（2）解：作DMAB于M，半圓O的直徑為10，sinBAC=，BC=ABsinBAC=6，AC=8，OEAC，AD=AC=4，OD=BC=3，sinMAD=，DM=，AM=，BM=ABAM=，DMAE，=，AF=3.（2016廣東梅州）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)E，連接EF （1） 四邊形ABEF是_；（選填矩形、菱形、正方形、無法確定）（直接填寫結(jié)果）（2）AE，BF相交于點(diǎn)O，若四邊形