1、第2課時(shí) 參數(shù)方程和普通方程的互化,高二數(shù)學(xué)PPT之人教版高中數(shù)學(xué)選修4-4課件：2.1曲線的參數(shù)方程 第二課時(shí).2,【自主預(yù)習(xí)】 1.普通方程 相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出_的 方程叫做普通方程.,點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系,2.曲線的普通方程和參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式. 一般地,可以通過(guò)_而從參數(shù)方程得到普通方程.,消去參數(shù),(2)如果知道變數(shù)x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如 _,把它代入普通方程,求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的 關(guān)系_,那么 就是曲線的參數(shù)方程.在參 數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使x,y的_保 持一致.,x=f(t),y=g(t),取值范圍

2、,【即時(shí)小測(cè)】 1.圓x2+(y+1)2=2的參數(shù)方程為() A. (為參數(shù)) B. (為參數(shù)) C. (為參數(shù)) D. (為參數(shù)),【解析】選D.圓x2+(y+1)2=2的圓心坐標(biāo)為C(0,-1),半 徑為 ,所以它的參數(shù)方程為 (為參 數(shù)).,2.參數(shù)方程 (t為參數(shù))化為普通方程為_(kāi). 【解析】消去參數(shù)方程 中的參數(shù)t, 得到普通方程為y2=4x. 答案:y2=4x,【知識(shí)探究】 探究點(diǎn)參數(shù)方程和普通方程的互化 1.同一曲線的參數(shù)方程是否唯一? 提示:求曲線的參數(shù)方程,關(guān)鍵是靈活確定參數(shù),由于參數(shù)不同,同一曲線的參數(shù)方程也會(huì)有差異,但是一定要注意等價(jià)性.,2.將曲線的參數(shù)方程和普通方程互

3、相轉(zhuǎn)化需要注意什么? 提示:盡管同一曲線的參數(shù)方程不唯一,但是一定要注意方程與曲線的等價(jià)性.,【歸納總結(jié)】 1.曲線的參數(shù)方程與普通方程互化的作用 (1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,可借助于熟悉的普通方程的曲線來(lái)研究參數(shù)方程的曲線的類(lèi)型、形狀、性質(zhì)等.,(2)將曲線的普通方程化為參數(shù)方程,可用參變量作為中介來(lái)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo),從而給研究與曲線有關(guān)的最大值、最小值以及取值范圍等問(wèn)題帶來(lái)方便.,2.參數(shù)方程化為普通方程的三種常用方法: (1)代入法:利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù). (2)三角函數(shù)法:利用三角恒等式消去參數(shù). (3)整體消元法:根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,從整體上

4、消去.,特別提醒:化參數(shù)方程為普通方程F(x,y)=0:在消參過(guò)程中注意變量x,y取值范圍的一致性,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定f(t)和g(t)值域得x,y的取值范圍.,類(lèi)型一參數(shù)方程化為普通方程 【典例】將下列參數(shù)方程化為普通方程,并判斷曲線的形狀. (1) (2),【解題探究】典例(1)(2)中如何分別消去參數(shù)? 提示:(1)利用三角函數(shù)基本關(guān)系式消去參數(shù). (2)兩式相加消去參數(shù)或代入法消去參數(shù).,【解析】(1)由 所以(x-1)2+y=cos2+sin2=1, 即y=-(x-1)2+1(0y1),表示拋物線弧段,如圖.,(2)方法一:注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),因而可以采取加減消

5、參的辦法.,所以所求的方程為x+y=1(x-1,y2). 方程表示直線(去掉一點(diǎn)(-1,2).,方法二:只要把t用x或y表示,再代入另一表達(dá)式即可. 由 所以x+xt=1-t, 所以(x+1)t=1-x,即 代入 所以x+y=1(x-1,y2). 方程表示直線(去掉一點(diǎn)(-1,2).,【方法技巧】消去參數(shù)方程中參數(shù)的技巧 (1)加減消參數(shù)法:如果參數(shù)方程中參數(shù)的符號(hào)相等或相反,常常利用兩式相減或相加的方法消去參數(shù).,(2)代入消參數(shù)法:利用方程思想,解出參數(shù)的值,代入另一個(gè)方程消去參數(shù)的方法,稱(chēng)為代入消參法,這是非常重要的消參方法. (3)三角函數(shù)式消參數(shù)法:利用三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2+c

6、os2=1消去參數(shù).,【變式訓(xùn)練】1.將參數(shù)方程 化為普通 方程為_(kāi).,【解析】將參數(shù)方程 兩式相加,得x+y=2,其中 x=1+t21. 答案:x+y=2(x1),2.將參數(shù)方程 (a,b為大于零的常數(shù),t為參 數(shù))化為普通方程,并判斷曲線的形狀.,【解析】因?yàn)?所以t0時(shí),xa,+), t0時(shí),x(-,-a. 由 兩邊平方可得 由 兩邊平方可得,并化簡(jiǎn),得 所以普通方程為 所以方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.,類(lèi)型二普通方程化為參數(shù)方程 【典例】(1)把方程xy=1化為以t為參數(shù)的參數(shù)方程 是() A. B. C. D.,(2)根據(jù)下列條件求 的參數(shù)方程: 設(shè)y=sin,為參數(shù); 設(shè)x=2t

7、,t為參數(shù).,【解題探究】1.題(1)中x,y的范圍是什么? 提示:x,y均為不等于0的實(shí)數(shù). 2.普通方程化參數(shù)方程時(shí)需注意什么? 提示:普通方程化參數(shù)方程時(shí)要注意參數(shù)的范圍.,【解析】(1)選D.xy=1,x取非零實(shí)數(shù),而A,B,C中的x的 范圍不符合要求. (2)把y=sin代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2)=4cos2,即x=2|cos|,由于具有任意性,sin與cos的 符號(hào)可以描述平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào),所以 取x=2cos. 因此, 的參數(shù)方程是,把x=2t代入方程,得到 于是y2=1-t2, 即 .因此,方程 的參數(shù)方程是,【方法技巧】求曲線的參數(shù)方程的方法

8、(1)如果已知曲線的普通方程,根據(jù)所選參數(shù)可利用代入法確定其參數(shù)方程. (2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程時(shí),應(yīng)先根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)膮?shù),利用已知條件求參數(shù)方程.,【變式訓(xùn)練】1.圓x2+y2+4x-6y=0的參數(shù)方程為_(kāi).,【解析】圓x2+y2+4x-6y=0變?yōu)?x+2)2+(y-3)2=13, 即 令 則 令 得,故圓x2+y2+4x-6y=0的參數(shù)方程為 答案:,2.把下面曲線的普通方程化為參數(shù)方程. 設(shè)x=acos2,為參數(shù).,【解析】把x=acos2代入普通方程 得 所以 所以y=a(1-|cos|)2, 所以普通方程 化為參數(shù)方程為,類(lèi)型三參數(shù)方程與普通方程互化的應(yīng)用 【典例】已知x,

9、y滿足x2+(y-1)2=1,求: (1)3x+4y的最大值和最小值. (2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值.,【解題探究】典例中方程表示的曲線形狀是什么?曲線的參數(shù)方程是什么? 提示:方程表示圓,參數(shù)方程為,【解析】由圓的普通方程x2+(y-1)2=1得圓的參數(shù)方程 為 (1)3x+4y=3cos+4sin+4=4+5sin(+), 其中 且的終邊過(guò)點(diǎn)(4,3). 因?yàn)?55sin(+)5,所以-14+5sin(+)9, 所以3x+4y的最大值為9,最小值為-1.,(2)(x-3)2+(y+3)2=(cos-3)2+(sin+4)2 =26+8sin-6cos=26+10sin(

10、+). 其中tan= ,且的終邊過(guò)點(diǎn)(4,-3). 因?yàn)?1010sin(+)10, 所以1626+10sin(+)36, 所以(x-3)2+(y+3)2的最大值為36,最小值為16.,【延伸探究】 1.若本例條件不變,求 的取值范圍. 【解析】方法一:由于 (為參數(shù)) 所以 所以sin-kcos=k-3, 即,所以 依題意,得 所以 解得 所以 的取值范圍是,方法二:由于 所以問(wèn)題可以看作圓x2+(y- 1)2=1上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)A(-1,-2)的連線的斜率. 設(shè)直線y+2=k(x+1)與圓相切,則圓心(0,1)到直線kx- y+k-2=0的距離為1, 即 解得,若過(guò)A(-1,-2

11、)的直線的斜率不存在時(shí),顯然與圓相切, 結(jié)合圖形,得 的取值范圍是,2.若本例條件變?yōu)?已知P(x,y)是極坐標(biāo)方程= 2sin表示的曲線上的任意一點(diǎn),如何求3x+4y的最大值和最小值?,【解析】極坐標(biāo)方程=2sin即2=2sin,直角坐標(biāo)方程為x2+(y-1)2=1,得圓的參數(shù)方程為 所以3x+4y=3cos+4sin+4 =4+5sin(+)-1,9, 所以3x+4y的最大值為9,最小值為-1.,【方法技巧】求有關(guān)最值或取值范圍問(wèn)題的技巧 (1)求與圓上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最大值、最小值或取值范圍問(wèn)題,常常利用圓的參數(shù)方程,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值或取值范圍解決,這樣可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)便.

12、,(2)形如y=asin+bcos的三角函數(shù),通常轉(zhuǎn)化為y= 的形式求最大值、最小值.,【變式訓(xùn)練】1.圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則xy的最大值為_(kāi).,【解析】圓x2+y2=1的參數(shù)方程為 則 所以xy的最大值為 答案:,2.(2015長(zhǎng)沙高二檢測(cè))在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原 點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)M 的極坐標(biāo)為 曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))求點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值.,【解析】由點(diǎn)M的極坐標(biāo) 得直角坐標(biāo)為(4,4), 由曲線C的參數(shù)方程 (為參數(shù))得普通方 程為(x-1)2+y2=2,圓心坐標(biāo)為C(1,0), =5. 所以點(diǎn)M到曲線C

13、上的點(diǎn)的距離的最小值為,3.(2016成都高二檢測(cè))在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的 方程為x-y+4=0.以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸的 極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為 (1)求直線l的極坐標(biāo)方程,曲線C的直角坐標(biāo)方程. (2)若點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn),P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y), 求x+2y的最大值和最小值.,【解析】(1)直線l的方程x-y+4=0, 因?yàn)閤=cos,y=sin, 所以l的極坐標(biāo)方程為:cos-sin+4=0. 又曲線C的極坐標(biāo)方程:,所以2-4cos-4sin+6=0, 因?yàn)?=x2+y2,x=cos,y=sin, 曲線C的直角坐標(biāo)方程: (x-2)2+(y-2)

14、2=2.,(2)由(1)知曲線C參數(shù)方程為 (為參數(shù)), 所以x+2y=(2+ cos)+2(2+ sin) =6+ (cos+2sin) =6+ sin(+). 當(dāng)sin(+)=-1時(shí),x+2y有最小值為6- , 當(dāng)sin(+)=1時(shí),x+2y有最大值為6+ .,自我糾錯(cuò)參數(shù)方程化為普通方程的綜合問(wèn)題 【典例】已知直線l: (t為參數(shù),為l的 傾斜角),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立 極坐標(biāo)系,曲線C為:2-6cos+5=0. (1)若直線l與曲線C相切,求的值. (2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y),求x+y的取 值范圍.,【失誤案例】,分析解題過(guò)程,找出錯(cuò)誤之處,并寫(xiě)出正確答案. 提示:出