1、2.4平面向量的數(shù)量積,2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義,1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.掌握向量a與b的數(shù)量積公式及投影的定義. 3.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及其運算律,并能運用這些性質(zhì)與運算律解決有關(guān)問題.,向量的數(shù)量積、向量的數(shù)乘和實數(shù)的乘法這三種運算的區(qū)別和聯(lián)系 剖析:從運算的定義、表示方法、性質(zhì)和幾何意義上來分析對比. (1)從定義上看,兩個向量數(shù)量積的結(jié)果是一個實數(shù),而不是向量;向量數(shù)乘的結(jié)果是一個向量,其長度是原向量長度的倍數(shù);兩個實數(shù)的積是一個實數(shù). (2)從運算的表示方法上看,兩個向量a,b的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成ab;大學(xué)里還要學(xué)到兩個向量的外積

2、ab,而ab是兩個向量的數(shù)量積,因此書寫時要嚴(yán)格區(qū)分,符號“”在向量運算中既不能省略,也不能用“”代替;向量的數(shù)乘的寫法同單項式的寫法;實數(shù)的乘法的寫法我們就非常熟悉了.,(3)從運算的性質(zhì)上看,在向量的數(shù)量積中,若ab=0,則a=0或b=0或ab;在向量的數(shù)乘中,若a=0,則=0或a=0;在實數(shù)的乘法中,若ab=0,則a=0或b=0. 在向量的數(shù)量積中,ab=bcb=0或a=c或b(a-c);在向量的數(shù)乘中,a=b(R)a=b或=0;在實數(shù)的乘法中,ab=bca=c或b=0. 在向量的數(shù)量積中,一般(ab)ca(bc);在向量的數(shù)乘中,(m)a=(ma)(R,mR);在實數(shù)的乘法中,有(ab

3、)c=a(bc). (4)從幾何意義上來看,在向量的數(shù)量積中,ab的幾何意義是a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cos 的乘積;在向量的數(shù)乘中,a的幾何意義就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或縮小到原來的|倍;在實數(shù)的乘法中,ab的幾何意義就是數(shù)軸上ab到原點的距離等于a,b到原點的距離的積.,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】 已知向量a與b的夾角為120,且|a|=|b|=4,則b(3a+b)的值為. 解析:b(3a+b)=3ab+|b|2=3|a|b|cos 120+16=-8. 答案:-8 反思已知向量a與b的夾角為,且|a|=m,|b|=n,求(xa+yb)(sa+t

4、b),其中x,y,s,t,m,nR,且m0,n0,其步驟是:(1)先求ab;(2)化簡(x a+y b)(s a+t b)=xs|a|2+(xt+ys)ab+yt|b|2;(3)將ab,|a|,|b|代入即可.,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】 已知向量a與b的夾角為120,且|a|=|b|=4,則b(3a+b)的值為. 解析:b(3a+b)=3ab+|b|2=3|a|b|cos 120+16=-8. 答案:-8 反思已知向量a與b的夾角為,且|a|=m,|b|=n,求(xa+yb)(sa+tb),其中x,y,s,t,m,nR,且m0,n0,其步驟是:(1)先求ab;(2)化簡(x a+y b)(s a+t b)=xs|a|2+(xt+ys)ab+yt|b|2;(3)將ab,|a|,|b|代入即可.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,分析:易知a+b+c=0,分別將