1、浙江大學(xué)2007-2008學(xué)年春夏學(xué)期線性代數(shù)期末答案一、 填空題（每空3分）1設(shè)，則（）。2設(shè)4階矩陣，則（ 25A ）。3設(shè)是實(shí)數(shù)域上的全體反對(duì)稱矩陣所構(gòu)成的線性空間，即。寫出的一組基（）。的維數(shù)是（ 6 ）。設(shè)4階矩陣，寫出在上面這組基下的坐標(biāo)（）。4設(shè)是3階矩陣，且，則的特征值是（ 0 ），（ 0 ），（ -1 ）。二、 計(jì)算題。1 計(jì)算行列式（12分）。解：略。=34560。2 已知齊次線性方程組問(wèn)(1) a,b,c滿足何種關(guān)系時(shí)，方程組僅有零解。（答：兩兩互異。具體略） (2) a,b,c滿足何種關(guān)系時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，并用基礎(chǔ)解系表示他的全部解。（要分四種情況討論，具體略）3

2、已知向量組與向量組有相同的秩，且可以由線性表示。求的值，并寫出由線性表示的一個(gè)表達(dá)式。（答：a=15,b=5。具體略）4 設(shè)A,B都是3階實(shí)可逆矩陣，A的特征值是，這里是互不相同的正整數(shù)，若B的特征值是-5，1，7，求，并分別寫出與相似的對(duì)角形矩陣。解：因?yàn)锳的特征值是，所以的特征值為，的特征值為。因?yàn)锽的特征值是-5，1，7，所以可令。因?yàn)槭腔ゲ幌嗤恼麛?shù)，解得。所以與相似的對(duì)角形矩陣分別為。5 已知二次型。（1） 寫出二次型的矩陣。（2） 用正交線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。（3） 求實(shí)對(duì)稱矩陣B使得。解：（1）二次型的矩陣為。（2）使用實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法，具體略。（3）因?yàn)?，令，則有。令，則且B為實(shí)對(duì)稱矩陣。三、 證明題。1 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，B是正定矩陣。求證AB的特征值全是實(shí)數(shù)。證：因?yàn)锽是正定矩陣，所以存在可逆矩陣C使得。所以AB與矩陣相似。因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以的特征值全是實(shí)數(shù)，從而AB的特征值全是實(shí)數(shù)。2 設(shè)A是矩陣，B是矩陣，r(B)=t。令為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，設(shè)，這里為的前n個(gè)元素。求證線性無(wú)關(guān)。證：因?yàn)闉辇R次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以，即。假設(shè) (1)。因?yàn)椋?。?