1、2.1 截面欣賞2.2 直線與球、平面與球的位置關(guān)系課標(biāo)解讀1.了解截面的概念2理解直線與球的位置關(guān)系3理解平面截球及球面的意義及性質(zhì).1直線與球的位置關(guān)系(1)直線與球的位置關(guān)系已知球O的半徑為r，球心到直線l的距離為d.位置關(guān)系公共點(diǎn)d與r的關(guān)系相離沒有公共點(diǎn)dr相切只有一個(gè)公共點(diǎn)dr相交有兩個(gè)公共點(diǎn)dr(2)球的切線性質(zhì)從球外一點(diǎn)作球的切線，它們的切線長相等，所有的切點(diǎn)組成一個(gè)圓2平面與球的位置關(guān)系(1)平面與球的位置關(guān)系設(shè)球的半徑為r，球心到平面的距離為d.位置關(guān)系公共點(diǎn)d與r的關(guān)系相離沒有公共點(diǎn)dr相切只有一個(gè)公共點(diǎn)dr相交有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)dr (2)球的截面性質(zhì)圖211一個(gè)平面與球面

2、相交，所得的交線是一個(gè)圓，且圓心與球心的連線垂直于這一平面如圖211所示，平面截球得一截面圓O，OO1與平面垂直，P為截面圓上一點(diǎn)，在RtOO1P中有OP2OOO1P2，這個(gè)等式給出了球半徑、截面圓半徑與球心到截面圓的距離三者之間的關(guān)系1如何求球的兩個(gè)平行截面間的距離？【提示】(1)作出過球心和截面圓圓心的截面(2)分兩種情況：一是兩截面在球心同側(cè)；二是兩截面在球心異側(cè)(3)利用球的半徑R，截面圓半徑r及球心到截面圓的距離d的關(guān)系r2d2R2來求解2如何判斷點(diǎn)、直線、平面與球的位置關(guān)系？【提示】點(diǎn)、直線、平面與球的位置關(guān)系與它們到球心的距離和球的半徑的大小有著密切的關(guān)系因而要判斷點(diǎn)、直線和平面

3、與球的位置關(guān)系，關(guān)鍵是尋找球心到點(diǎn)、直線、平面的距離d與球的半徑R的大小關(guān)系，特別地要證明點(diǎn)在球面上、直線或平面與球相切，只需證明dR.與球有關(guān)的截面問題已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面的周長分別是12和16，求這兩個(gè)截面間的距離【思路探究】【自主解答】設(shè)球心為O，兩截面的圓心分別為C、D，由已知2CE12，得CE6，2DF16，得DF8，當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，如圖(1)CDOCOD2，當(dāng)兩截面在球心兩側(cè)時(shí)，如圖(2)所示CDOCOD14.故兩個(gè)截面間的距離為2或14.1本題中兩個(gè)平行截面與球心的位置關(guān)系不確定，故應(yīng)分類求解2解決有關(guān)球的問題，通常是通過研究球的截面來實(shí)現(xiàn)的，實(shí)質(zhì)上是利用球的截

4、面，化空間問題為平面問題圖212已知球O的半徑為3，它有一內(nèi)接正方體ABCDA1B1C1D1，如圖212所示，則球心到平面ABCD的距離為_【解析】平面ACC1A1截球所得截面圖形如圖所示AC1AA1，AA12.OO1AA1.球心到平面ABCD的距離為.【答案】直線、平面與球的位置關(guān)系一個(gè)球放在水平地面上，球在陽光下的影子伸到距球與地面接觸點(diǎn)的10米遠(yuǎn)處，同一時(shí)刻，一根高1米的垂直立于地面的標(biāo)桿的影子長是2米，求球的半徑【思路探究】作出球的截面，構(gòu)造三角形，利用切線長定理及三角形相似求解【自主解答】如圖所示，O為球的軸截面圖，AB與O切于A，AB10米，它是AC的影長，則AC5米，BC切O于D

5、，由切線長定理知BD10米，CB5，CDCBBD510，CC，ODCCAB90，OCDBCA，OD1020(米)，故球的半徑為1020米1解答本題時(shí)首先應(yīng)明確地面與球相切，球的投影最遠(yuǎn)點(diǎn)是由光線與球的切點(diǎn)決定的，然后作出截面，構(gòu)造三角形求解2利用球的軸截面可把球的問題轉(zhuǎn)化為圓的問題求解已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且ACBC6，AB4，求球面面積【解】如圖所示，設(shè)球心為O，球半徑為R，M是AB的中點(diǎn)作OO1平面ABC于O1，由于OAOBOCR，則O1CM.設(shè)O1Mx，易知O1MAB，則O1AO1CCMO1Mx，即4x，解得x，則O1AO1BO1C，在RtOO1A

6、中，O1O，OO1A90，OAR.由勾股定理得()2()2R2，解得R.故S球面4R254.綜合問題已知正四棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長a.(1)求它的外接球的體積；(2)求它的內(nèi)切球的表面積【思路探究】(1)外接球的球心就是SAC外接圓的圓心；(2)以內(nèi)切球的球心為頂點(diǎn)，以正四棱錐的各個(gè)面為底面的棱錐的體積之和等于正四棱錐的體積【自主解答】(1)如圖，設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，則OAOCOS，所以O(shè)為SAC的外心，即SAC的外接圓半徑就是球的半徑，ABBCa，ACa.SASCACa，SAC為正三角形由正弦定理得2Ra，因此Ra，V球R3a3.(2)設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，作SE底面于E，作SF

7、BC于F，連接EF.則有SFa.SSBCBCSFaaa2，S棱錐全4SSBCS底(1)a2，又SEa，V棱錐S底ha2aa3，ra，S球4r2a2.1解答本題第(2)小題時(shí)，內(nèi)切球的球心無法確定，從而利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑2當(dāng)幾個(gè)平面與球都相切時(shí)，根據(jù)平面與球相切的定義，球心到各平面的距離都等于球半徑同時(shí)在解決此類問題時(shí)，一要注意用好圖形，二要注意使用線面關(guān)系解題圖213如圖213所示，已知棱長為a的正四面體ABCD有內(nèi)切球O，求球心O到棱AB的距離【解】設(shè)內(nèi)切球半徑為r，由等積法：BO1aa，AO1 a.4a2rVABCDa3，ra.AOAO1OO1aaa.又AOBO，設(shè)E為AB的中點(diǎn)，連接OE，則OE為球心O到AB的距離，OE a.(教材第50頁復(fù)習(xí)題二A組第1題)在半徑為13 cm的球面上有A、B、C三點(diǎn)，AB6 cm，BC8 cm，CA10 cm，求過這三點(diǎn)的截面與球心O的距離(2013大連模擬)在球面上有四點(diǎn)P、A、B、C，若PA、PB、PC兩兩垂直，且PAPBPCa，求這個(gè)球的體積和表面積【命題意圖】本題主要考查直線與球、平面與球的位置關(guān)系【解】由PAPB可知P、A、B確定一個(gè)平面，設(shè)它與球O的交線為O1，由于PAPB，故AB是O的直徑，且ABa.PCPA，PCPB，PC平面PAB.又OO1平面PAB，OO1PC.過OO1、PC作平面交球面為大圓