1、第三節(jié) 位移分量的求出,第四節(jié) 簡支梁受均布荷載,第五節(jié) 楔形體受重力和液體壓力,例題,第一節(jié) 逆解法與半逆解法 多項式解答,第二節(jié) 矩形梁的純彎曲,第三章 平面問題的直角坐標解答,31 逆解法和半逆解法 多項式解法,當體力為常量，按應力函數 求解平面應力問題時， 應滿足,按 求解, 多連體中的位移單值條件。 (c), S = 上應力邊界條件, A內相容方程,對于單連體，(c)通常是自然滿足的。只須滿足(a),(b)。,由 求應力的公式是,(d),2 .逆解法 (Inverse method) 先滿足(a),再滿足(b)。步驟:,(e),逆解法, 先找出滿足 的解, 在給定邊界形狀S下，由式(

2、b)反推出 各邊界上的面力，, 代入(d), 求出,從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和應力。,逆解法,逆解法沒有針對性，但可以積累基本解答。,例1,逆解法,設圖中所示的矩形長梁，l h，試考察應力函數 能解決什么樣的受力問題？,y,x,o,l,h/2,h/2,( l h),解：按逆解法。,1. 將 代入相容方程，可見 是滿足的。 有可能成為該問題的解。,2. 由 求出應力分量,因此，在 的邊界面上，無任何面力作用，即,3. 由邊界形狀和應力分量反推邊界上的面力。,在主要邊界（大邊界） 上，,在x = 0，l的次要邊界（小邊界）上，,在x = 0,l 小邊界上的面力 如下圖中(a)

3、 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。,(a),(b),F,F,M=Fl,由此，可得出結論：上述應力函數可以解決懸臂梁在 x = 0 處受集中力F作用的問題。,F,例3 二次式 ，分別表示常量 的應力和邊界面力。如圖示。,例2 一次式 對應于無體力， 無面力，無應力狀態(tài)。故應力函數加減 一次式，不影響應力。,逆解法,2a,2a,o,y,x,o,y,x,o,y,x,b,b,b,b,2c,2c,對于圖示1/4圓薄板，試考察應力函數 能滿足相容方程，并求出應力分量（不計體力），畫出邊界面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示）,作 業(yè), 代入 ，解出 ；,3.半逆解法(Semi-inverse met

4、hod) 步驟：,半逆解法, 由應力(d)式，推測 的函數形式；, 假設應力的函數形式（根據受力情況，邊界條件等）；,(d), 由式（d），求出應力；,半逆解法, 校核全部應力邊界條件（對于多連體， 還須滿足位移單值條件）。,如能滿足，則為正確解答；否則修改假設，重新求解。,思考題,半逆解法,1. 在單連體中，應力函數必須滿足哪些條件？逆解法和半逆解法是如何滿足這些條件的？,2. 試比較逆解法和半逆解法的區(qū)別。,半逆解法解題的基本步驟,逆解法解題的基本步驟,單連體,3-2 矩形梁的純彎曲,梁lh1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲(Pure bending)問題

5、。,問題提出,h/2,h/2,l,y,x,( l h),o,M,M, 由逆解法得出，可取 ，且滿足, 求應力,(a),求解步驟：,本題是平面應力問題,且為單連體，若按 求解， 應滿足相容方程及 上的應力邊界條件。, 檢驗應力邊界條件，原則是:,邊界條件,b.后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應力邊界條件，則應用圣維南原理，用積分的應力邊界條件代替。,a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應力邊界條件。,主要邊界,從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。,滿足。,次要邊界 x=0, l,(c),次要邊界,用兩個積分的條件代替,的邊界條件無法精確滿足。,次要邊界 x=0, l,當 時，即使

6、在 邊界上面力 不同于 的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應力。,式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出,最終得應力解,(e),如果區(qū)域內的平衡微分方程已經滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個小邊界上的三個積分的應力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進行校核。試對此結論加以說明。,思考題,3-3 位移分量的求出,在按應力求解中，若已得出應力，如何求出位移？,以純彎曲問題為例，已知,試求解其位移。,問題提出,1. 由物理方程求形變,求形變,2. 代入幾何方程求位移,求位移, 對式(a)兩邊乘 積分, 對式(b)兩邊乘

7、積分 ,求位移, 再代入(c) , 并分開變量，,上式對任意的 x , y 都必須成立，故兩邊都必須為同一常量 。,求位移,由此解出,求位移,得出位移為,3.待定的剛體位移分量 ，,須由邊界約束條件來確定。,由邊界約束條件來確定剛體位移分量 ，,Simply supported beam,Cantilever beam,？,？,2.代入幾何方程，積分求 ；,歸納：從應力求位移步驟：,3.由邊界約束條件確定確定剛體位移分量,由物理方程求出形變；,2. 鉛直線的轉角 故在任一截面x 處，平面截面假設成立。,純彎曲問題的討論：,1. 彎應力 與材料力學的解相同。,3.縱向纖維的曲率 同材料力學的結

8、果。故在純彎曲情況下，彈性力學解與材料力 學解相同。,思考題,2. 試證明剛體位移 實際上表示彈性體中 原點的平移和轉動分量，并應用本節(jié)的解答加以 驗證。 提示：微分體的轉動分量為,彈性力學中關于純彎曲梁的解答，與材料力學 的解答在應力、形變等方面完全 一致。由此 是否可以說在純彎曲情況下材料力學中的平截 面假設成立？,3-4 簡支梁受均布荷載,簡支梁 ，受均布荷載 及兩端支撐反力 。,。,問題,y,x,o,l,l,h/2,h/2,現采用此假設。,按半逆解法求解。, 假設應力分量。由材料力學,因為,因為,所以，可假設,所以，可假設,因為,所以，可假設,y,x,o,l,l, 由應力分量推出應力函

9、數的形式。,由,對 x 積分，,對x再積分，,(a),半逆解法, 將 代入相容方程，求解 :,相容方程對于任何 均應滿足,故,的系數均應等于0，由此得三個常微分方程。,半逆解法,式(b)中已略去對于 的一次式。,將式(b)代入式(a)，即得 。,(b),半逆解法,解出:,對稱性條件由于結構和荷載對稱于 軸，故 應為 的偶函數， 為 x的奇函數，故 。, 由 求應力。,半逆解法,在無體力下，應力公式如書中式( f ), (g),(h)所示。,y,x,o,l,l, 考察邊界條件。,由此解出系數A , B , C , D 。,主要邊界,主要邊界,y,x,o,l,l,次要邊界,次要邊界,由此解出H，K

10、.,另一次要邊界(x= -l )的條件，自然滿足。,應用圣維南原理，列出三個積分條件，,y,x,o,l,l,不滿足,最后應力解答：,應力,應力的量級 當 時, x l 同階， y h 同階.,第一項 同階,（與材料力學解同）;,第二項 同階, （彈性力學的修正項）,應力的量級,應力的量級 當 時, x l 同階， y h 同階.,同階, （與材料力學解同）,應力的量級,同階, （材料力學中不計）,當 時, 量級的值很小,可以不計。,應力與材料力學解比較:,最主要量級 , 和次要量級 ,在材料力學中均已反映，且與彈性力學相同。,最小量級 , 在材料力學中沒有。,當 時, 僅占主項 的1/15 (

11、 6 %) ,應力比較,中的彈性力學修正項：,彈性力學與材料力學的解法比較:,應力比較,彈性力學嚴格考慮并滿足了A內的平衡微分方程 ,幾何方程和物理方程,以及S上的所有邊界條件(在小邊界上盡管應用了圣維南原理,但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。,材料力學在許多方面都作了近似處理,所以得出的是近似解答。,幾何條件中引用平截面假定 沿 為直線分布；,例如：,邊界條件也沒有嚴格考慮；,平衡條件中沒有考慮微分體的平衡，只 考慮 的內力平衡；,材料力學解往往不滿足相容條件。,對于桿件，材料力學解法及解答具有足夠的精度；,對于非桿件，不能用材料力學解法求解，應采用彈性力學解法求解。,當問題中的y軸為對稱軸時

12、，試說明 和 應為x的偶函數，而 應為x的奇函數。,思考題,對于梁的彎曲問題，試回憶在材料力學 中是如何考慮平衡條件的？,3. 試說明從彈性力學得出的解答（3-6）不 符合平面截面假設。,4. 材料力學的解答往往不滿足相容條件， 為什么？,3-5 楔形體受重力及液體壓力,設有楔形體，左面垂直，頂角為，下端無限長，受重力及齊頂液體壓力。,o,y,x,n,用半逆解法求解。,因為應力 , 而應力的量綱只比,高一次（L），,所以應力,(x , y 一次式）,=,即可假設應力為x , y 的一次式。,（1）用量綱分析法假設應力:,（2）由應力 關系式， 應為x,y的三次式，,（3） 滿足相容方程,（4）

13、由 求應力，,（5）考察邊界條件-本題只有兩個大邊 界，均應嚴格滿足應力邊界條件。,x=0 鉛直面，,解出,解出,斜邊界上，,須按一般的應力邊界條件來表示，有,其中,由式（b)解出a、b,最后的應力解答,應力,水平截面上的應力分布如圖所示。,楔形體解答的應用: 作為重力壩的參考解答； 分縫重力壩接近平面應力問題； 在壩體中部的應力，接近楔形體的解答。 重力壩規(guī)范規(guī)定的解法 材料力學解法（重力法）. 重力壩的精確分析，可按有限單元法進行。,思考題,重力法是按應力求解的，試回憶應力分量 必須滿足哪些條件？在重力法中考慮了哪些條件？,第三章例題,例題1,例題2,例題3,例題4,例題8,例題7,例題6

14、,例題5,圖3-5,y,dy,y,x,l,h/2,h/2,o,例題1,設單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計,圖3-5，試用應力函數 求解應力分量。,解：,本題是較典型的例題，已經給出了應力函數 ，可按下列步驟求解。,1. 將 代入相容方程，顯然是滿足的。,2. 將 代入式(2-24)，求出應力分量。,考察邊界條件： 主要邊界 上應精確滿足式(2-15),在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負x面，圖3-5中表示了負x面上的 的正方向，由此得：,由(a),(b) 解出,最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平

15、衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。,代入應力公式，得,例題2,擋水墻的密度為 ，厚度為b,圖示,水的密度為 ，試求應力分量。,解：,用半逆解法求解。,假設應力分量的函數形式。 因為在 y=-b/2邊界上， y=b/2 邊界上， ，所以可假設在區(qū)域內 沿x 向 也是一次式變化，即,2. 按應力函數的形式，由 推測 的形式，,所以,3. 由相容方程求應力函數。代入 得,要使上式在任意的x處都成立，必須,代入 ，即得應力函數的解答，其中已略去了與應力無關的一次式。,4. 由應力函數求解應力分量。將 代入式(2-24) ,注意 ， 體力求得應力分量為,考察邊界條件：

16、 主要邊界 上,有,得,得,得,由上式得到,求解各系數，由,得,得,得,得,由此得,又有,代入A,得,在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：,由式(g),(h)解出,代入應力分量的表達式得最后的應力解答：,例題3,已知,試問它們能否作為平面問題的應力函數？,解：,作為應力函數，必須首先滿足相容方程，,將 代入，,(a) 其中A= 0，才可能成為應力函數；,(b)必須滿足 3(A+E)+C=0,才可能成為應力函數。,圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩 的作用，試用應力函數,例題4,求解圖示問題的應力及位移，設在A點的位移和轉角均為零。,解：,應用應力函數求解：,(1

17、) 校核 相容方程 ，滿足.,(2) 求應力分量 ，在無體力時，得,(3) 考察主要邊界條件，,均已滿足,考察次要邊界條件，在y=0上，,滿足。,得,得,上述應力已滿足了 和全部邊界條件，因而是上述問題的解。,代入，得應力的解答，,(4) 求應變分量，,(5) 求位移分量，,將u,v代入幾何方程的第三式，,兩邊分離變量，并全都等于 常數，即,從上式分別積分，求出,代入u,v, 得,再由剛體約束條件，,得,得,得,代入u,v,得到位移分量的解答,在頂點x=y=0，,例題5,圖中矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載。試用下列應力函數,求解應力分量。,解：應用上述應力函數求解：,(1) 將 代入相容方程，,由此，,(2) 代入應力公式，在無體力下，得,(3) 考察主要邊界條件,對于任意的x值，上式均滿足，由此得,(a),(b),(c),(d),由(3)+(4)得,由(3)-(4)得,由(5)-(1)得,(e),(4) 考察小邊界上的邊界條件(x=0),由,得,由式(2)和(6)解出,（f）,另兩個積分的邊界條件，,顯然是滿足的。,于是將各系數代入應力表達式，得最后的應力解答。,讀者試校核在x=l的小邊界上，下列條件是滿足的，,例題6,矩形截面的柱體受到頂部的集中力 和力矩M的作用，不計體力，試用應力函數,求解其應力分量。,M,q,q