1、,第三章3.1空間向量及其運(yùn)算,3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解空間向量夾角的概念及表示方法. 2.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算與運(yùn)算律. 3.掌握兩個向量的數(shù)量積在判斷向量共線與垂直中的應(yīng)用.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識點(diǎn)一空間向量的夾角,答案a，b與b，a分別表示向量a，b與b，a的夾角，根據(jù)空間向量夾角的定義知a，b與b，a相等.,思考a，b與b，a相等嗎？,梳理(1)如圖所示，已知兩個非零向量a，b，在空間,(2)a，b為非零向量，a，bb，a，a與b的夾角的范圍是 ， 其中當(dāng)a，b0時，a與b ； 當(dāng)a，b時，a與b ；,0，,

2、方向相同,互相垂直,方向相反,a，b的 ，記作 .,a，b,夾角,知識點(diǎn)二數(shù)量積的概念及運(yùn)算律,1.已知兩個非零向量a，b，則 叫做a，b的數(shù)量積，記作 ，即 |a|b|cosa，b. 2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì) (1)ab .,|a|b|cosa，b,ab,ab,aa,ab0,3.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)(a)b . (2)ab (交換律). (3)a(bc) (分配律). 特別提醒：不滿足結(jié)合律(ab)ca(bc).,(ab),ba,abac,思考辨析 判斷正誤 (1)對于非零向量b，由abbc，可得ac.( ) (2)對于向量a，b，c，有(ab)ca(bc).( ) (3)若非零向

3、量a，b為共線且同向的向量，則ab|a|b|.( ) (4)對任意向量a，b，滿足|ab|a|b|.( ),題型探究,例1如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求：,類型一數(shù)量積的計算,解答,解答,反思與感悟(1)已知a，b的模及a與b的夾角，直接代入數(shù)量積公式計算. (2)如果要求的是關(guān)于a與b的多項式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將多項式展開，再利用aa|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計算.,跟蹤訓(xùn)練1已知長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn).試計算：,解答,abbcca0.,解答,類型二利用數(shù)量

4、積證明垂直問題,例2(1)已知空間四邊形ABCD中，ABCD，ACBD，那么AD與BC的位置關(guān)系為_.(填“平行”或“垂直”),垂直,答案,解析,AD與BC垂直.,證明,(2)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O平面GBD.,則ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.,又OGBDO，OG平面GBD，BD平面CBD， A1O平面GBD.,反思與感悟(1)證明線線垂直的方法 證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，根據(jù)方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直. (2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法 先用向量a，b

5、，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.,證明,跟蹤訓(xùn)練2如圖，在空間四邊形OACB中，OBOC，ABAC，求證：OABC.,證明因為OBOC，ABAC，OAOA， 所以O(shè)ACOAB， 所以AOCAOB.,解答,類型三利用數(shù)量積解決空間角或距離問題,命題角度1解決角度問題 例3在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA8，AB6，AC4，,反思與感悟求兩個空間向量a，b夾角的方法類同平面內(nèi)兩向量夾角,夾角時，可把其中一個向量的起點(diǎn)平移至與另一個向量的起點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問題.,解答,則|a|b|c|1，abbcca0，,跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABCDA1B1

6、C1D1中，求異面直線A1B與AC所成的角.,因此，異面直線A1B與AC所成的角為60.,解答,命題角度2求空間中的兩點(diǎn)間的距離 例4如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱長都為2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，求EF的長.,由題意，知|a|b|c|2， 且a，b60，a，cb，c90.,反思與感悟求解距離問題時，先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個向量和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角,解答,跟蹤訓(xùn)練4在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的長.,因為BAD90，BAA1D

7、AA160，,達(dá)標(biāo)檢測,答案,解析,1,2,3,4,5,1.對于向量a，b，c和實數(shù)，下列說法正確的是 A.若ab0，則a0或b0 B.若a0，則0或a0 C.若a2b2，則ab或ab D.若abac，則bc,解析結(jié)合向量的運(yùn)算，只有B正確.,答案,2.已知向量a，b是平面內(nèi)的兩個不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個方向向量，則“ca0且cb0”是“l(fā)”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,1,2,3,4,5,解析若ab，則不一定得到l，反之成立.,解析,答案,解析,3.已知|a|2，|b|3，a，b60，則|2a3b|等于,1,2,3,4,5,解析|2a3b|24a212ab9b2 4221223cos 6093261，,答案,解析,1,2,3,4,5,a，b0，,a，b_.,5.已知正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長為_.,1,2,3,4,5,答案,解析,1222122(12cos 120021cos 120)2，,規(guī)律與方法,1.空間向量運(yùn)算的兩種方法 (1)利用定義：利用ab|a|b|cosa，b并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計算. (2)利用圖形：計算兩個數(shù)量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用 圖形尋