1、橢圓與直線的位置關(guān)系（1）教學(xué)目標(biāo)：1.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法；2.能熟練地運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求橢圓與直線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題。教學(xué)重、難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求橢圓與直線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題。教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：圓與直線的位置關(guān)系的判定方法；（1）代數(shù)方法：消元，判斷；（2）幾何方法：圓心到直線的距離與圓半徑進(jìn)行比較。（二）新課講解：1橢圓與直線的位置關(guān)系的判定：例1當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓相交？相切？相離？解：由得， 當(dāng)，即時(shí)，直線和橢圓相交；當(dāng)，即時(shí)，直線和橢圓相切；當(dāng)，即或時(shí)，直線和橢圓相離。說(shuō)明：直線與橢圓的位置關(guān)系可由它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷，即通過直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組的解的個(gè)

2、數(shù)來(lái)判斷。例2如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)分別是、，過中心O作直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若要使的面積是20，求該直線方程。解：，可設(shè)AB所在直線方程為 ，ABF2F1由消去x得：，由得，直線AB的方程為 ，即 說(shuō)明：此題要能注意到是有公共邊的兩個(gè)和的面積之和，故只需構(gòu)造關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩個(gè)三角形高的和；設(shè)直線方程為比設(shè)好，可避免討論斜率不存在的情況。（3）也可以連接BF1，則例3、已知橢圓的焦點(diǎn)分別是、，點(diǎn)P在橢圓上，求證：的面積為。2弦長(zhǎng)問題：例4求直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)。解：（法一）由得或，弦長(zhǎng)為 （法二）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，由消去y得，弦長(zhǎng)說(shuō)明：弦長(zhǎng)公式，不僅適用于圓，

3、也適用于橢圓及雙曲線等二次曲線。例5.過橢圓C：的右焦點(diǎn)，作一直線交橢圓C與 M、N兩點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和為 ，求直線的方程。解：橢圓C的右焦點(diǎn)為 ：（，0），_F2_F1_1_MONXY右準(zhǔn)線為，離心率為 ，其中分別為M、N到準(zhǔn)線的距離，設(shè)的方程為 ：，由消去y得：，=設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由題意知， =，解得：（或|MN|=|MF2|+|NF2|=2a-e（x1+x2），利用焦半徑公式解決焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)問題 ）所求的直線的方程為：或例6. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與該橢圓交于P和Q兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程。分析 本題也應(yīng)有焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸上兩種情形，

4、但分析題目的條件可知，兩種情形的解法是相同的，區(qū)別僅在于標(biāo)準(zhǔn)方程的形式不同。如果在標(biāo)準(zhǔn)方程中，取消的限制，那么它就代表了焦點(diǎn)在x軸上（當(dāng) 時(shí)）和焦點(diǎn)在y軸上（當(dāng) 時(shí)）兩種情形。我們也就可以將兩種情形統(tǒng)一解答。解：設(shè)所求橢圓方程( )，由題意，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿足方程組 將（2）代入（1）并整理得 （3）設(shè)方程（3）的兩根為，則直線與橢圓的交點(diǎn)P（，），Q（，）。由題設(shè)，可得,整理，得解這個(gè)方程組，得 或 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由（3）式得（） 或（） 解方程組（）、（）得 或 故所求橢圓方程為或 說(shuō)明 這是91年高考文科數(shù)學(xué)最后一題。在上述的解法中，看到 和 能用m，n表示出來(lái)，因而先求出和的值，

5、再用韋達(dá)定理得到關(guān)于m，n的方程，從而解出m，n，這樣一種整體的解題思想十分巧妙。五小結(jié)：1直線與橢圓位置關(guān)系的判定方法；2弦長(zhǎng)問題（弦長(zhǎng)公式）。七作業(yè)：課本第103頁(yè) 第11題，第132頁(yè) A組第8題，第133頁(yè) B組第3題，補(bǔ)充：1求中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過點(diǎn)，且與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程；2已知直線：，橢圓C：，（1）求證：直線與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求這兩個(gè)公共點(diǎn)所成線段的長(zhǎng)。橢圓與直線的位置關(guān)系（2）教學(xué)目標(biāo)：1.掌握直線與橢圓的關(guān)系中運(yùn)用已知條件求直線或橢圓方程的方法；2.能熟練地運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決橢圓中的對(duì)稱問題。教學(xué)重、難點(diǎn)：目標(biāo)1，2教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：橢

6、圓與直線的位置關(guān)系的判定方法；代數(shù)方法：消元，判斷；（二）新課講解：3弦所在的直線方程例1、已知橢圓，過點(diǎn)P（2，0）能否作直線，使得直線與橢圓相交所成弦的中點(diǎn)恰好是P點(diǎn)？解：由于橢圓是關(guān)于長(zhǎng)軸、短軸對(duì)稱的，過P且垂直于x軸的弦是關(guān)于x軸對(duì)稱的，因而使得P點(diǎn)就是這條弦的中點(diǎn)，因此能作直線使得與橢圓相交成的弦的中點(diǎn)恰好就是P。小結(jié)：從本題求得的直線：，它的斜率不存在，可是若不注意審題而把直線設(shè)成點(diǎn)斜式，如，和橢圓方程聯(lián)立去解，不僅運(yùn)算繁瑣，而且結(jié)論是錯(cuò)誤的。例2、已知一直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，1），求直線的方程。解法一：設(shè)通過M（1，1）的直線AB的方程為：，代入橢

7、圓方程，整理得。設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為，則，解之得：，故AB的方程為：，即：解法二：設(shè)A（），AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得，及，化簡(jiǎn)為，-得：，即：，,同理有：，因?yàn)锳（），B（）都滿足，所以即為所求的直線方程。解法三:設(shè)A（），B（）是弦的兩個(gè)端點(diǎn)，代入橢圓方程得： -得：M（1，1）是弦AB的中點(diǎn)，故AB的方程為：，即：4、關(guān)于直線對(duì)稱問題例3、已知橢圓C：，試確定m的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱。解法一：設(shè)，是橢圓C：上關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則。設(shè)PQ的方程為，則，消去y，得。由=，解得。 且有，點(diǎn)在直線上， 把代入得，可得解法二：設(shè)，是橢圓C：上關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，是PQ的中點(diǎn)，則有兩式相減得，。，解得：，