1、21.2橢圓的幾何性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形；2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)，畫圖知識(shí)鏈接觀察橢圓1 (ab0)的形狀，你能從圖中看出x和y的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱性？橢圓上有哪些特殊點(diǎn)？答案(1)范圍：axa，byb；(2)對(duì)稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱；(3)特殊點(diǎn)：頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)預(yù)習(xí)導(dǎo)引1橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)范圍axa，bybbxb，aya頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b

2、)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)(，0)(0，)焦距2c|F1F2|2對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率e(0,1)2.離心率的作用當(dāng)橢圓的離心率越接近1，則橢圓越扁；橢圓離心率越接近0，則橢圓越接近于圓.要點(diǎn)一橢圓的幾何性質(zhì)例1求橢圓9x216y2144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)解已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1，于是a4，b3，c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a8和2b6，離心率e，又知焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(，0)和F2(，0)，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A1(4,0)，A2(4,0)，B

3、1(0，3)和B2(0,3)規(guī)律方法解決此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量跟蹤演練1求橢圓m2x24m2y21 (m0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率解橢圓的方程m2x24m2y21 (m0)可轉(zhuǎn)化為1.m2，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，(0，)，(0，)離心率e.要點(diǎn)二由橢圓的幾何性質(zhì)求方程例2求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)

4、在y軸上，若其離心率為，焦距為8.(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為.解(1)由題意知，2c8，c4，e，a8，從而b2a2c248，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)由已知從而b29，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.規(guī)律方法在求橢圓方程時(shí)，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，則應(yīng)進(jìn)行討論，然后列方程(組)確定a，b.跟蹤演練2橢圓過點(diǎn)(3,0)，離心率e，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解所求橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，又橢圓過點(diǎn)(3,0)，點(diǎn)(3,0)為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，(3,0)為右頂點(diǎn)，則a3，e，ca3，b2a2

5、c232()2963，橢圓的方程為1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，(3,0)為右頂點(diǎn)，則b3，e，ca，b2a2c2a2a2a2，a23b227，橢圓的方程為1.綜上可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或1.要點(diǎn)三求橢圓的離心率例3設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周長(zhǎng)為16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求橢圓E的離心率解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因?yàn)锳BF2的周長(zhǎng)為16，所以由橢圓定義可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|A

6、F1|835.(2)設(shè)|F1B|k，則k0且|AF1|3k，|AB|4k.由橢圓定義可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化簡(jiǎn)可得(ak)(a3k)0.而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2為等腰直角三角形從而ca，所以橢圓E的離心率e.規(guī)律方法求橢圓離心率的方法：直接求出a和c，再求e，也可利用e求解若a和c不能直接求出，則看是否可

7、利用條件得到a和c的齊次等式關(guān)系，然后整理成的形式，并將其視為整體，就變成了關(guān)于離心率e的方程，進(jìn)而求解跟蹤演練3設(shè)橢圓C：1(ab0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_答案解析直線AB：xc，代入1，得y.A(c，)，B(c，)kBF1.直線BF1：y0(xc)令x0，則y，D(0，)，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e.e0，e.1橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(13,0) B(

8、0，10)C(0，13) D(0，)答案D解析由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)2如圖，直線l：x2y20過橢圓的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案D解析x2y20，yx1，而，即，.3若一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A.B.C.D.答案B解析由題意有2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)4設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()A.B.C.D.答案C解析由題意可得|PF2|F1F2|，2(ac)2c，3a4c，e.1.已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)