1、1.1兩個基本計數原理1掌握分類計數原理與分步計數原理(重點)2會用兩個基本計數原理解決一些簡單的應用問題(難點)基礎初探教材整理1分類計數原理閱讀教材P5P6“例1”以上部分，完成下列問題如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在分類計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類計數原理中，每類方案中的方法都能完成這件事()(3)從甲地到乙地有兩類交通方式：坐飛機和乘輪船，其中飛機每天有3班，輪船有4班若李先生

2、從甲地去乙地，則不同的交通方式共有7種()(4)某校高一年級共8個班，高二年級共6個班，從中選一個班級擔任星期一早晨升旗任務，安排方法共有14種()【解析】(1)在分類計數原理中，分類標準是統(tǒng)一的，兩類不同方案中的方法是不能相同的(2)在分類計數原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標準分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這些事(3)由分類計數原理，從甲地去乙地共347(種)不同的交通方式(4)根據分類計數原理，擔任星期一早晨升旗任務可以是高一年級，也可以是高二年級，因此安排方法共有8614(種)【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2分步計數原理閱讀教材P5P6“例1”以上部分，完成下

3、列問題如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在分步計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()(2)在分步計數原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事()(3)已知x2,3,7，y3，4,8，則xy可表示不同的值的個數為9個()(4)在一次運動會上有四項比賽，冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有43種()【解析】(1)因為在分步計數原理中的每一步都有多種方法，而每種方法各不相同(2)

4、因為在分步計數原理中，要完成某件事需分幾個步驟，而每步都不能完成這件事，只有各步都完成了，這件事才算完成(3)因為x從集合2,3,7中任取一個值共有3個不同的值，y從集合3，4,8中任取一個值共有3個不同的值，故xy可表示339個不同的值(4)因為每個項目中的冠軍都有3種可能的情況，根據分步計數原理共有34種不同的奪冠情況【答案】(1)(2)(3)(4)質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型分類計數原理(1)從高三年級的四個班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分別為4人，5人，6人，7人，他們自愿組成數學課外小組，

5、選其中一人為組長，有多少種不同的選法？(2)在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有多少個？【精彩點撥】(1)按所選組長來自不同年級為分類標準(2)按個位(或十位)取09不同的數字進行分類【自主解答】(1)分四類：從一班中選一人，有4種選法；從二班中選一人，有5種選法；從三班中選一人，有6種選法；從四班中選一人，有7種選法共有不同選法N456722種(2)法一按十位上的數字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個由分類計數原理知，符合題意的兩位數共有8765432136(個)法二按個位上的數

6、字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類計數原理知，滿足條件的兩位數共有1234567836(個)1應用分類計數原理解題的策略(1)標準明確：明確分類標準，依次確定完成這件事的各類方法(2)不重不漏：完成這件事的各類方法必須滿足不能重復，又不能遺漏(3)方法獨立：確定的每一類方法必須能獨立地完成這件事2利用分類計數原理解題的一般思路再練一題1(1)某學生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有_種(2)有三個袋子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個若從三個袋子中

7、任取1個小球，有_種不同的取法【解析】(1)分兩類：買1本或買2本書，各類購買方式依次有2種、1種，故購買方式共有213種(2)有3類不同方案：第1類，從第1個袋子中任取1個紅色小球，有6種不同的取法；第2類，從第2個袋子中任取1個白色小球，有5種不同的取法；第3類，從第3個袋子中任取1個黃色小球，有4種不同的取法其中，從這三個袋子的任意一個袋子中取1個小球都能獨立地完成“任取1個小球”這件事，根據分類計數原理，不同的取法共有65415種【答案】(1)3(2)15分步計數原理一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數的號碼(各位上的數字允許重復)

8、?【精彩點撥】根據題意，必須依次在每個撥號盤上撥號，全部撥號完畢后，才撥出一個四位數號碼，所以應用分步計數原理【自主解答】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，所以m110；第二步，有10種撥號方式，所以m210；第三步，有10種撥號方式，所以m310；第四步，有10種撥號方式，所以m410.根據分步計數原理，共可以組成N1010101010 000個四位數的號碼1應用分步計數原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可2利用分步計數原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步；(2)計數：求出每一步中的方法數

9、；(3)結論：將每一步中的方法數相乘得最終結果再練一題2張濤大學畢業(yè)參加工作后，把每月工資中結余的錢分為兩部分，其中一部分用來定期儲蓄，另一部分用來購買國債人民幣儲蓄可以從一年期、二年期兩種中選擇一種，購買國債則可以從一年期、二年期和三年期中選擇一種問：張濤共有多少種不同的理財方式？【解】由題意知，張濤要完成理財目標應分步完成第1步，將一部分錢用來定期儲蓄，從一年期和二年期中任意選擇一種理財方式；第2步，用另一部分錢購買國債，從一年期、二年期和三年期三種國債中任意選擇一種理財方式由分步計數原理，得236種探究共研型兩個計數原理的辨析探究1某大學食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯，現(xiàn)要配成一葷一

10、素一湯的套餐，試問要“完成的這件事”指的是什么？若配成“一葷一素”是否“完成了這件事”？【提示】“完成這件事”是指從6種葷菜中選出一種，再從5種素菜中選出一種，最后從3種湯中選出一種，這時這件事才算完成而只選出“一葷一素”不能算“完成這件事”探究2在探究1中，要“完成配成套餐”這件事需分類，還是分步？為什么？【提示】要配成一葷一素一湯的套餐，需分步完成只配葷菜、素菜、湯中的一種或兩種都不能達到“一葷一素一湯”的要求，即都不能完成“配套餐”這件事探究3在探究1中若要配成“一素一湯套餐”試問可配成多少種不同的套餐？你能分別用分類計數原理和分步計數原理求解嗎？你能說明分類計數原理與分步計數原理的主要

11、區(qū)別嗎？【提示】5種素菜分別記為A，B，C，D，E.3種湯分別記為a，b，c.利用分類計數原理求解：以選用5種不同的素菜分類：選素菜A時，湯有3種選法；選素菜B時，湯有3種選法；選素菜C時，湯有3種選法；選素菜D時，湯有3種選法；選素菜E時，湯有3種選法故由加法計數原理，配成“一素一湯”的套餐共有3333315(種)不同的套餐利用分步計數原理求解：第一步：從5種素菜中，任選一種共5種不同的選法；第二步：從3種湯中，任選一種共3種不同的選法由分步計數原理，配成“一素一湯”的套餐共有5315(種)不同套餐兩個計數原理的主要區(qū)別在于分類計數原理是將一件事分類完成，每類中的每種方法都能完成這件事，而分

12、步計數原理是將一件事分步完成，每步中的每種方法都不能完成這件事有A，B，C型高級電腦各一臺，甲、乙、丙、丁4個操作人員的技術等級不同，甲、乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有多少種？【精彩點撥】從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，首先將問題分類，可分為4類，然后每一類再分步完成即解答本題可“先分類，后分步”【自主解答】第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會操作C型電腦，分2步安排這3人操作電腦，有224種方法；第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會操作A型電腦，這時安排3人操作電腦，有

13、2種方法；第3類，選甲、丙、丁3人，這時安排3人操作電腦只有1種方法；第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法根據分類計數原理，共有42118種選派方法1能用分步計數原理解決的問題具有如下特點：(1)完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可；(2)完成每一步有若干種方法；(3)把各個步驟的方法數相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數2利用分步計數原理應注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的(2)“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的，但也不能重復、交叉(3)若完成某件事情需n步，則必須依次完成這n個步驟后，這件事情才算完成再練一題3一個袋子里有10張不同的中國移

14、動手機卡，另一個袋子里有12張不同的中國聯(lián)通手機卡(1)某人要從兩個袋子中任取一張自己使用的手機卡，共有多少種不同的取法？(2)某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動和一張聯(lián)通卡供自己使用，問一共有多少種不同的取法？【解】(1)第一類：從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；第二類：從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法根據分類計數原理，共有101222種取法(2)第一步，從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；第二步，從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法根據分步計數原理，共有1012120種取法構建體系1一項工作可以用2種方法完成，有3人會用第1種方法完成，另外5人會用第2種方法完成

15、，從中選出1人來完成這項工作，不同選法有_種【解析】由分類計數原理知，有358種不同的選法【答案】82有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數學，在數學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有_種. 【導學號：】【解析】分四步完成：第一步：第1位教師有3種選法；第二步：由第一步教師監(jiān)考班的數學老師有3種選法；第二步：第3位教師有1種選法；第四步：第4位教師有1種選法共有33119種監(jiān)考的方法【答案】933名學生報名參加藝術體操、美術、計算機、游泳課外興趣小組，每人選報一種，則不同的報名種數有_種【解析】第1名學生有4種選報方法；第2,3名學生也各有4種選報方法，因此，根據分步計數原

16、理，不同的報名種數有44464.【答案】644某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，則不同的傳遞方案共有_種(用數字作答)【解析】分兩類，第一棒是丙有12432148(種)；第一棒是甲、乙中一人有21432148(種)根據分類計數原理得，共有方案484896(種)【答案】965某公園休息處東面有8個空閑的凳子，西面有6個空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息(1)若小明爸爸任選一個凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？(2)若小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？【解】(1)小明爸爸選凳子可以分兩類：第

17、一類：選東面的空閑凳子，有8種坐法；第二類：選西面的空閑凳子，有6種坐法根據分類計數原理，小明爸爸共有8614(種)坐法(2)小明與爸爸分別就坐，可以分兩步完成：第一步，小明先就坐，從東西面共8614(個)凳子中選一個坐下，共有14種坐法；(小明坐下后，空閑凳子數變成13)第二步，小明爸爸再就坐，從東西面共13個空閑凳子中選一個坐下，共13種坐法由分步計數原理，小明與爸爸分別就坐共有1413182(種)坐法我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、填空題1高一年級三好學生中有男生6人，女生4人，從中選一人去領獎，共有_種不同的選法；

18、從中選一名男生，一名女生去領獎，則共有_種不同的選法【解析】從中選一人去領獎有6410(種)方法從中選一名男生一名女生去領獎有6424(種)選法【答案】10242一名志愿者從沈陽趕赴南京為游客提供導游服務，但需在北京停留已知從沈陽到北京每天有7個航班，從北京到南京每天有6列火車，該志愿者從沈陽到南京共有_種不同的方法. 【導學號：】【解析】根據分步計數原理，此人可選擇的行車方式共有6742(種)【答案】423(2016徐州高二檢測)某乒乓球隊里有男隊員6人，女隊員5人，從中選取男、女隊員各一人組成混合雙打隊，不同的組隊方法有_種【解析】先選1男有6種方法，再選1女有5種方法，故共有6530種不

19、同的組隊方法【答案】304由1,2,3,4可以組_個自然數(數字可以重復，最多只能是四位數字)【解析】組成的自然數可以分為以下四類：第一類：一位自然數，共有4個第二類：兩位自然數，又可分兩步來完成先取出十位上的數字，再取出個位上的數字，共有4416(個)第三類：三位自然數，又可分三步來完成每一步都可以從4個不同的數字中任取一個，共有44464(個)第四類：四位自然數，又可分四步來完成，每一步都可以從4個不同的數字中任取一個，共有4444256(個)由分類計數原理知，可以組成的不同的自然數為41664256340(個)【答案】3405商店里有適合女學生身材的女上衣3種，裙子3種，褲子2種若一位女

20、生要買一套服裝，則共有_種不同選法【解析】3(32)15(種)【答案】156(2016無錫高二檢測)設集合A中有3個元素，集合B中有2個元素，可建立AB的映射的個數為_【解析】建立映射，即對于A中的每一個元素，在B中都有一個元素與之對應，故由分步計數原理得映射有2228(個)【答案】87用4種不同的顏色涂入如圖111所示的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂色方法共有_種ABCD圖111【解析】按A，B，C，D順序涂色，共有432372種方法【答案】728甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩

21、位前面不同的安排方法共有_種【解析】分三類：若甲在周一，則乙丙有4312種排法；若甲在周二，則乙丙有326種排法；若甲在周三，則乙丙有212種排法所以不同的安排方法共有126220種【答案】20二、解答題9已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的點(a，bM)，問：(1)P可表示平面上多少個不同的點？(2)P可表示平面上多少個第二象限的點？(3)P可表示多少個不在直線yx上的點？【解】(1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；第二步確定b的值，也有6種確定方法根據分步計數原理，得知P可表示平面上的點數是6636(個)(2)確定第二象限的

22、點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a0，所以有3種確定方法；第二步確定b，由于b0，所以有2種確定方法由分步計數原理，得到第二象限的點的個數是326(個)(3)點P(a，b)在直線yx上的充要條件是ab.因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線yx上的點有6個結合(1)得，不在直線yx上的點共有36630(個)10由0,1,2,3這四個數字，可組成多少個？(1)無重復數字的三位數？(2)可以有重復數字的三位數？【解】(1)0不能做百位數字，所以百位數字有3種選擇，十位數字有3種選擇，個位數字有2種選擇，所以無重復數字的三位數共有33218(個)(2)百位數字有3種選擇，十位

23、數字有4種選擇，個位數字也有4種選擇由分步計數原理知，可以有重復數字的三位數共有34448(個)能力提升1.將1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都沒有重復數字，如圖112是一種填法，則不同的填寫方法共有_種123312231圖112【解析】假設第一行為1,2,3，則第二行第一列可為2或3，此時其他剩余的空格都只有一種填法，又第一行有3216(種)填法故不同的填寫方法共有6212(種)【答案】122從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60的共有_對. 【導學號：】【解析】與正方體的一個面上的一條對角線成60角的對角線有8條，故共有8對，正方體的12條面對角線共有96對，且每對均重復計算一次，故共有48對【答案】483將三種作物種在如圖113所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作