1、柯西不等式與排序不等式章末分層突破自我校對一般形式的柯西不等式柯西不等式的三角形式反序和順序和排序原理 利用柯西不等式證明簡單不等式柯西不等式形式優(yōu)美、結(jié)構(gòu)易記，因此在解題時(shí)，根據(jù)題目特征靈活運(yùn)用柯西不等式，可證明一些簡單不等式已知a，b，c是實(shí)數(shù)，且abc1，求證：4.【規(guī)范解答】因?yàn)閍，b，c是實(shí)數(shù)，且abc1，令m(，)，n(1,1,1)，則|mn|2()2，|m|2|n|23(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)348.|mn|2|m|2|n|2，()248，4.再練一題1設(shè)a，b，x，y都是正數(shù)，且xyab，求證：.【證明】a，b，x，y都大于0，且xyab.由柯西不等

2、式，知(ax)(by)2(ab)2.又axby2(ab)0，所以.排序原理在不等式證明中的應(yīng)用應(yīng)用排序不等式的技巧在于構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組，而數(shù)組的構(gòu)造應(yīng)從需要入手來設(shè)計(jì)，這一點(diǎn)應(yīng)從所要證的式子的結(jié)構(gòu)觀察分析，再給出適當(dāng)?shù)臄?shù)組已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：abc.【規(guī)范解答】由于不等式關(guān)于a，b，c對稱，可設(shè)abc0.于是a2b2c2，.由排序不等式，得反序和亂序和，即a2b2c2a2b2c2，及a2b2c2a2b2c2.以上兩個(gè)同向不等式相加再除以2，即得原不等式再練一題2設(shè)a，b，cR，求證：a5b5c5a3bcb3acc3ab.【證明】不妨設(shè)abc0，則a4b4c4，運(yùn)用排序不等式有：a5b5c

3、5aa4bb4cc4ac4ba4cb4.又a3b3c30，且abacbc0，所以a4bb4cc4aa3abb3bcc3caa3bcb3acc3ab，即a5b5c5a3bcb3acc3ab.利用柯西不等式、排序不等式求最值有關(guān)不等式的問題往往要涉及到對式子或量的范圍的限制，柯西不等式、排序不等式為我們通過不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等號的條件能否滿足設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a2b3c13，求的最大值【規(guī)范解答】由于a，b，c為正實(shí)數(shù)，根據(jù)柯西不等式，知(a2b3c)()2()2()22()2，()2，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號又a2b3c13，當(dāng)a9，b，c時(shí)，取得最大值為.再練一題

4、3已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足a2b2c2d2e216.求abcde的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解】abcde4，所以abcde的最大值是4.1(2015陜西高考)已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的最大值【解】(1)由|xa|b，得bax0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值【解】(1)因?yàn)閒(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時(shí)，等號成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為abc.又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(2)

5、由(1)知abc4，由柯西不等式，得(491)2(abc)216，即a2b2c2.當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時(shí)等號成立，故a2b2c2的最小值是.章末綜合測評(三)(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1設(shè)xy0，則的最小值為()A9B9C10D0【解析】9.【答案】B2已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足abcde8，a2b2c2d2e216，則e的取值范圍為()A. B.C. D.【解析】4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，644e26416e

6、e2，即5e216e0，e(5e16)0，故0e.【答案】C3學(xué)校要開運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要買價(jià)格不同的獎(jiǎng)品40件、50件、20件，現(xiàn)在選擇商店中為5元、3元、2元的獎(jiǎng)品，則至少要花()A300元 B360元 C320元 D.340元【解析】由排序原理，反序和最小，最小值為502403205320(元). 【答案】C4已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，則(a2b2c2)的最小值為()A7 B9 C12 D.18【解析】由(a2b2c2)29，所以所求最小值為9.【答案】B5設(shè)a，b，c均小于0，且a2b2c23，則abbcca的最大值為() 【導(dǎo)學(xué)號：】A0 B1 C3 D.【解析】由排序不等式a2b2c2ab

7、bcac，所以abbcca3.【答案】C6若x2y4z1，則x2y2z2的最小值是()A21 B. C16 D.【解析】1x2y4z ，x2y2z2，即x2y2z2的最小值為.【答案】B7函數(shù)f(x)cos x，則f(x)的最大值是()A. B. C1 D.2【解析】f(x)cos x.又(cos x)2(21)(sin2xcos 2x)3，f(x)的最大值為.【答案】A8已知a，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)，若y1，y2，則y1y2與x1x2的關(guān)系為()Ay1y2x1x2D.不能確定【解析】a，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)，y1y2x1x2.【答案】C 9已知半圓的直徑AB2R，P是弧A

8、B上一點(diǎn)，則2|PA|3|PB|的最大值是()A.R B.RC2RD.4R【解析】由2|PA|3|PB|2R.【答案】C10設(shè)a1，a2，an為正實(shí)數(shù)，P，Q，則P，Q間的大小關(guān)系為()APQ BPQCP B C0，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式得，a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即a1a2a3.【答案】B12設(shè)c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均為正數(shù))，則的最小值是()An B. C. D.2n【解析】不妨設(shè)0a1a2an，則，是，的一個(gè)排列再利用排序不等式的反序和亂序和求解，所以n，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)等號成立故選A.【答案】A二、填空題

9、(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13設(shè)x，y，zR，且滿足x2y2z21，x2y3z，則xyz_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此x2y3z.因?yàn)閤2y3z，所以x，解得x，y，z，于是xyz.【答案】14已知實(shí)數(shù)m，n0，則_.(填“”“”“”或“”)【解析】因?yàn)閙，n0，利用柯西不等式，得(mn)(ab)2，所以.【答案】15函數(shù)y的最小值是_【解析】由柯西不等式，得y(1)232.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立【答案】3216.如圖1所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，則陰影部分

10、的矩形的面積之和_空白部分的矩形的面積之和圖1【解析】由題圖可知，陰影面積a1b1a2b2，而空白面積a1b2a2b1，根據(jù)順序和逆序和可知答案為.【答案】三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)設(shè)x22y21，求u(x，y)x2y的最值【解】由柯西不等式，有|u(x，y)|1xy|，得umax，umin.分別在，時(shí)取得最大值和最小值18(本小題滿分12分)已知正數(shù)x，y，z滿足xyz1.求證：.【證明】因?yàn)閤0，y0，z0，所以由柯西不等式得：(y2z)(z2x)(x2y)(xyz)2，又因?yàn)閤yz1，所以.19(本小題滿分12分

11、)已知a，b，cR，求證：abc.【證明】不妨設(shè)abc0，則a2b2c2，.由排序不等式，可得a2b2c2a2b2c2，a2b2c2a2b2c2，由()2，可得abc.又因?yàn)閍bc0，所以a3b3c3，.由排序不等式，得a3b3c3a3b3c3，a3b3c3a3b3c3，由()2，可得.綜上可知原式成立20(本小題滿分12分)已知a，b，c大于0，且acos2bsin2，求證：cos2sin2c. 【導(dǎo)學(xué)號：】【證明】由柯西不等式，得(cos2sin2)2(cos )2(sin )2(cos2sin2)acos2bsin2.又acos2bsin2，(cos2sin2)2.因此，cos2sin2c.21(本小題滿分12分)設(shè)a，b，c為正數(shù)，且abc1，求證：9.【證明】構(gòu)造兩組數(shù)，；，.于是由柯西不等式有()2()2()2，即(abc)32.因?yàn)閍bc1，所以9.22(本小題滿分12分)設(shè)a，b，cR，利用排序不等式證明：(1)aabbabba(ab)；(2)a2ab2bc2cabcbcacab.【證明】(1)不妨設(shè)ab0，則lg alg b.從而alg ablg balg bblg a，lg aalg bblg balg ab，即lg aabblg baab，故