1、高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換教學(xué)設(shè)計(jì) 蘇教版必修4知識(shí)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)分析三角函數(shù)及其三角恒等變換不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)中學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因而成為高考中對基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法考查的重要內(nèi)容之一切實(shí)掌握三角函數(shù)的基本變換思想是復(fù)習(xí)掌握好本章的關(guān)鍵三角函數(shù)的恒等變形，不僅在三角函數(shù)的化簡、求值問題中應(yīng)用，而且在研究第一章三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)、在后續(xù)內(nèi)容解三角形中也應(yīng)用廣泛解決三角函數(shù)的恒等變形問題，其關(guān)鍵在掌握基本變換思想，運(yùn)用三角恒等變形的主要途徑變角，變函數(shù)，變結(jié)構(gòu)，注意公式的靈活應(yīng)用在本章的學(xué)習(xí)中，化歸的數(shù)學(xué)思想和方法被多次運(yùn)用，有了化歸思想，就可以理解

2、三角恒等式推導(dǎo)和變形的思路在本節(jié)課的教學(xué)中，可以先組織學(xué)生自己回顧在本章教學(xué)中所學(xué)到的知識(shí)，自己繪制本章內(nèi)容的結(jié)構(gòu)框架圖，梳理本章的知識(shí)體系，構(gòu)建學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)三角公式是三角變換的基本依據(jù)，在三角恒等變換的復(fù)習(xí)中，可以引導(dǎo)學(xué)生利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，并由此公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式及萬能公式通過對這些公式的探求，使學(xué)生學(xué)會(huì)預(yù)測變換的目標(biāo)、選擇變換的公式、設(shè)計(jì)變換的途徑，幫助學(xué)生進(jìn)一步提高推理能力和運(yùn)算能力學(xué)完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，三

3、角函數(shù)又具有較強(qiáng)的滲透力，切實(shí)提高三角函數(shù)的綜合能力是復(fù)習(xí)好本章的保證因此，我們可以通過整合，將三角函數(shù)，平面向量結(jié)成一個(gè)知識(shí)板塊來復(fù)習(xí)，并進(jìn)行三角與向量相融合的綜合訓(xùn)練，這樣更有利于學(xué)生對平面向量、三角函數(shù)及三角恒等變換的深刻理解及運(yùn)用三維目標(biāo)1通過復(fù)習(xí)全章知識(shí)方法，掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式并能正確地運(yùn)用上述公式化簡三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值、證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實(shí)際問題2掌握簡單的三角恒等變換的基本思想方法，并結(jié)合向量解決一些基本的綜合問題3通過三角恒等變換體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯性的特征，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的化歸思想、方程思想和代

4、換意識(shí)，認(rèn)識(shí)事物之間是相互依存、互相聯(lián)系的學(xué)會(huì)用聯(lián)系和發(fā)展的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題的方法，培養(yǎng)他們勇于探索創(chuàng)新的精神，磨練學(xué)生的意志重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：和角公式、差角公式、倍角公式及其靈活應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等變換中的綜合運(yùn)用課時(shí)安排2課時(shí)第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)在第一章三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，我們又一起探究學(xué)習(xí)了第3章三角恒等變換的有關(guān)知識(shí)，并掌握了一定的分析問題與解決問題的方法，提高了我們的思維能力與運(yùn)算能力現(xiàn)在我們一起對本章進(jìn)行小結(jié)與復(fù)習(xí)，進(jìn)一步鞏固本章所學(xué)的知識(shí)，請同學(xué)們畫出本章的知識(shí)框圖，由此進(jìn)入復(fù)習(xí)思路2.(問題導(dǎo)入)本章學(xué)習(xí)了幾個(gè)公式

5、？推導(dǎo)這些公式的過程中你用到了哪些基本的數(shù)學(xué)思想方法？你是從哪幾個(gè)基本方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特點(diǎn)的？它們之間存在著怎樣的邏輯關(guān)系？三角式的變換與代數(shù)式的變換有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？分析三角函數(shù)式的特點(diǎn)對提高三角恒等變換的能力有什么幫助？通過學(xué)生解決這些問題展開全章的復(fù)習(xí)推進(jìn)新課讓學(xué)生回憶本章的學(xué)習(xí)過程：利用向量推導(dǎo)了兩角差的余弦公式、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式并進(jìn)一步探究了積化和差、和差化積、萬能公式、半角公式等幾個(gè)三角恒等式經(jīng)歷并體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程，體會(huì)了向量與三角函數(shù)與三角恒等變換公式之間的密切聯(lián)系學(xué)習(xí)了三角變換的基本方法，提高了我們的運(yùn)算能力

6、及邏輯推理能力本章的公式關(guān)系見下表：和差正、余弦公式和差正切公式二倍角公式萬能公式cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossintan()tan()sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2設(shè)tantsincostan教師始終注意通過恰時(shí)恰點(diǎn)的問題的提出，引導(dǎo)學(xué)生用類比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)來理解這些公式的邏輯關(guān)系，認(rèn)識(shí)公式的特點(diǎn)，聯(lián)想與代數(shù)運(yùn)算的相同與不同之處；三角恒等變換是代數(shù)式恒等變換的推廣和發(fā)展；進(jìn)行三角恒等變換，除了要熟練運(yùn)用代數(shù)恒等變換的各種方法，還要抓住三角本身的特點(diǎn)

7、，領(lǐng)會(huì)和掌握最基本最常見的變換教師要引導(dǎo)學(xué)生明確三角變換不僅是三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式變換，而且還有角的變換，以及不同三角函數(shù)之間的變換，使學(xué)生領(lǐng)悟有關(guān)公式在變換中的作用和用法，學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)選擇和設(shè)計(jì)變換思路并讓學(xué)生體會(huì)到通過三角恒等變換的探究訓(xùn)練，能大大提高他們的推理能力和運(yùn)算能力教師與學(xué)生一起歸納總結(jié)常見的變換有：(1)公式變換，如tantantan()(1tantan)，tantan1，1tantan，1cos22cos2，1cos22sin2等(2)角的變換，如()；2()()；()；()等還需熟練掌握一些常見的式子：如：sinxcosxsin(x)，sinxcosx2si

8、n(x)等對于化簡，有兩種常見的形式，(1)未指明答案的恒等變形，這時(shí)應(yīng)把結(jié)果化為最簡形式；(2)根據(jù)解題需要將三角函數(shù)式化為某種特定的形式，例如一角一函數(shù)的形式，以便研究它的各種性質(zhì)無論是何種形式的化簡，都要切實(shí)注意角度變換、函數(shù)變換等各種變換對于證明，它包括無條件的恒等式和附加條件恒等式的證明(1)無條件恒等式的證明，需認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)，角度、函數(shù)、結(jié)構(gòu)的差異，一般由繁的一邊往簡的一邊證，逐步消除差異，最后達(dá)到統(tǒng)一對于較難的題目，可以用分析法幫助思考，或分析法和綜合法聯(lián)用(2)有附加條件的恒等式的證明，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件，需認(rèn)真分析條件式和結(jié)論式中三角函數(shù)之間的聯(lián)系，

9、從分析過程中發(fā)現(xiàn)條件應(yīng)怎樣利用，證明這類恒等式時(shí)，還常常用到消元法和基本量方法思路1例1(1)化簡tan2Atan(30A)tan2Atan(60A)tan(30A)tan(60A)；(2)已知為銳角，且tan，求的值活動(dòng)：本例是一個(gè)三角函數(shù)化簡求值問題，屬于給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)式的值關(guān)鍵是正確運(yùn)用三角變換公式及常用思想方法，探索已知式與欲求式之間的差異和聯(lián)系的途徑和方法教師可以大膽放手，讓學(xué)生自己獨(dú)立探究，必要時(shí)給予適時(shí)的點(diǎn)撥引導(dǎo)但要讓學(xué)生明白，從高考角度來看，關(guān)于三角函數(shù)求值問題是個(gè)重要題型、命題熱點(diǎn)，一直備受高考的青睞因?yàn)槿呛瘮?shù)求值問題能綜合考查考生三角變換、

10、代數(shù)變形的基本運(yùn)算能力和靈活運(yùn)用公式、合理選用公式、準(zhǔn)確選擇解題方向的思維能力，且題目的答案可以簡單明了并讓學(xué)生明了解決這些問題時(shí)應(yīng)在認(rèn)準(zhǔn)目標(biāo)的前提下，從結(jié)構(gòu)式的特點(diǎn)去分析，以尋找到合理、簡捷的解題方法，切忌不分青紅皂白地盲目運(yùn)用三角公式比如在本例的(1)中，首先應(yīng)想到將倍角化為單角這一基本的轉(zhuǎn)化方法教師還應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生思考，求三角函數(shù)式的值必須明確求值的目標(biāo)一般來說，題設(shè)中給出的是一個(gè)或某幾個(gè)特定角，即便這些角都不是特殊角，其最終結(jié)果也應(yīng)該是一個(gè)具體的實(shí)數(shù)；題設(shè)中給出的是某種或幾種參變量關(guān)系，其結(jié)果既可能是一個(gè)具體的實(shí)數(shù)，也可能是含參變量的某種代數(shù)式如本例的(2)中，目標(biāo)是弦且是和差角，而條件是

11、切且是單角在學(xué)生探討向目標(biāo)轉(zhuǎn)化的過程中，由于視角不同，思考方式不同，學(xué)生會(huì)有多種解法，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，對新穎解法給予表揚(yáng)解：(1)tan(902A)tan(30A)(60A)，tan(30A)tan(60A)tan(902A)1tan(30A)tan(60A)原式tan2Atan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)tan2Atan(902A)1tan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)1tan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)1.(2)原式.tan，又(0，)，即2sincos，又由sin2cos21，cos.點(diǎn)評(píng)：本

12、兩題主要回顧了和差、二倍角公式的使用，及三角函數(shù)化簡求值題目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以從方程觀點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行變形也是一種行之有效的變形辦法由此產(chǎn)生逆變公式、整體變換公式等方法的靈活運(yùn)用，本例的兩種解法其實(shí)質(zhì)是一樣的學(xué)生解決完后，教師應(yīng)抓住這最佳時(shí)機(jī)，留出一定的時(shí)間讓學(xué)生反思、領(lǐng)悟解決問題所用到的化歸等數(shù)學(xué)思想方法例2已知、(0，)，且3sinsin(2)，4tan1tan2，求的值活動(dòng)：本題屬于給值求角，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，教師應(yīng)在學(xué)生探究中適時(shí)給予恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，但不要忽視對所求角的范圍的討論，即解決“給

13、值求角”問題是由兩個(gè)關(guān)鍵步驟構(gòu)成：把所求角用含已知角的式子表示；由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角另外，求角一般都通過三角函數(shù)值來實(shí)現(xiàn)，但求該角的哪一種函數(shù)值，往往有一定的規(guī)律，如本例，聯(lián)想條件的形式，確定目標(biāo)選用和角的正切這點(diǎn)要提醒學(xué)生在解題過程中細(xì)細(xì)體會(huì)，領(lǐng)悟其要領(lǐng)，掌握其實(shí)質(zhì)解：3sin()sin()，3sin()cos3cos()sinsin()coscos()sin，sin()cos2cos()sin，、(0，)，0.cos()0，cos0.tan()2tan.由4tan1tan2，得1，即得2tan1.代入tan()2tan，得tan()1.又0，.點(diǎn)評(píng)：本題通過變形轉(zhuǎn)化為已

14、知三角函數(shù)值求角的問題，關(guān)鍵在于對角的范圍的討論，注意合理利用不等式的性質(zhì)，必要時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)值，縮小角的范圍，從而求出準(zhǔn)確角思路2 例題 已知(，)，2cos2sincossin20，求tan和sin(2)的值活動(dòng)：本題主要訓(xùn)練同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式以及三角函數(shù)恒等變形的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能，是一道較為綜合的題目本題能較全面地考查到三角函數(shù)的重要公式，有多種解題的切入口，通過探究，學(xué)生可從中體會(huì)不同的數(shù)學(xué)思想方法，本題解題思路清晰，運(yùn)算過程不繁雜，不必運(yùn)用特殊的解題技巧本題基本解法是常規(guī)的因式分解法，也可運(yùn)用方程的思想，通過換元先解一個(gè)一元二次方程，還可以運(yùn)用三角函數(shù)的定義

15、來解題可說是一道較為簡單、考查全面的好題，教師可完全放給學(xué)生自己探究，必要時(shí)給以點(diǎn)撥解：2cos2sincossin20，cos0.上式兩邊同除以cos2，得tan2tan20.解得tan2.(，)，舍去tan1sin(2)sin2coscos2sinsincos(2cos21).點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的解法多樣，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，如本題中，可由方程組解得sin、cos的值，再代入得解，也是一種不錯(cuò)的思路.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x，xR，求：(1)函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)自變量x的取值集合；(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間解：(1)方法一：f(x)

16、sin2x2sin2xcos2x2sin(2x)，當(dāng)2x2k，即xk(kZ)時(shí)，f(x)取得最大值2.因此，f(x)取得最大值時(shí)自變量x的取值集合是x|xk，kZ方法二：f(x)(sin2xcos2x)sin2x2cos2x1sin2x1cos2x2sin(2x)，當(dāng)2x2k，即xk(kZ)時(shí)，f(x)取得最大值2.因此，f(x)取得最大值時(shí)自變量x的取值集合是x|xk，kZ(2)f(x)2sin(2x)，由題意，得2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)因此，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是k，k(kZ).課本復(fù)習(xí)題14.課本復(fù)習(xí)題5、6、7.1先由學(xué)生總結(jié)歸納本節(jié)所復(fù)習(xí)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法，明確三角恒

17、等變換所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及萬能公式，這些公式主要用于三角函數(shù)式的計(jì)算、化簡與推導(dǎo)，它們在數(shù)學(xué)和許多其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，必須熟練掌握，并搞清這些公式的邏輯關(guān)系和推導(dǎo)公式過程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法2教師強(qiáng)調(diào)，對一些公式不僅會(huì)用，還會(huì)逆用、變形用三角函數(shù)是三角變換的對象，在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，要認(rèn)清三角函數(shù)式的角的特征、函數(shù)名稱的特征和式子的結(jié)構(gòu)特征，以便使用恰當(dāng)?shù)淖冃问侄?，巧妙地解決問題1本節(jié)為全章復(fù)習(xí)課，教案設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：通過設(shè)計(jì)的教學(xué)程序，引導(dǎo)學(xué)生對全章，甚至對涉及前兩章的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行全面的復(fù)習(xí)整合，在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高他們分

18、析問題、解決問題的能力2本章在新課程中的位置是承上啟下，前有三角函數(shù)，后有解三角形，所以三角函數(shù)式的恒等變形是解決有關(guān)三角問題的重要環(huán)節(jié)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教師在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)悟這一點(diǎn)3三角函數(shù)公式眾多，教學(xué)時(shí)要充分體現(xiàn)新課標(biāo)的“以學(xué)生發(fā)展為本”的新理念，讓學(xué)生親自探究體驗(yàn)，切忌被動(dòng)學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械地訓(xùn)練在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換時(shí)，注意點(diǎn)撥學(xué)生從三角函數(shù)名稱和角的差異雙角度去綜合分析，再從差異的分析中決定三角公式的選取，不可生搬硬套一、三角函數(shù)式的化簡、求值與證明求值、化簡、證明是三角變換的中心內(nèi)容，在高考中出現(xiàn)的三角變換大題，多數(shù)都是求值、化簡類型其解法

19、的依據(jù)是三角恒等變換公式及代數(shù)中恒等變換知識(shí)，如配方法、消元法、因式分解、比例性質(zhì)、判別式法、待定系數(shù)法等化簡三角函數(shù)式是為了更清楚地顯示式中所含量之間的關(guān)系，以便于應(yīng)用常用方法是：化異名函數(shù)為同名函數(shù)，化異角為同角，化異次為同次，切化弦，特殊角與特殊值的三角函數(shù)互化對于三角公式要記憶準(zhǔn)確(在理解基礎(chǔ)上)，并要注意公式成立的條件，在應(yīng)用時(shí)，要認(rèn)真分析，合理轉(zhuǎn)化，避免盲目性求值可分為給角求值、給值求值、給值求角三部分給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)；給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與欲求式之間的角、運(yùn)算及函數(shù)的差異，一般可適當(dāng)變換已知式，求得

20、另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；同時(shí)也要注意變換欲求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而使問題獲解；給值求角的關(guān)鍵是先求出該角的某一三角函數(shù)式的值，其次判斷該角在對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性三角恒等式的證明，包括條件恒等式和無條件恒等式兩種無條件等式的證明，常用綜合法、分析法、轉(zhuǎn)換命題法、同一法等，證明的形式有化繁為簡，左右歸一等，無論采用什么證明方式和方法，都要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)、角度和函數(shù)關(guān)系，找出差異，尋找證明突破口；有條件的等式證明，常常先觀察條件及欲證式中左、右兩邊三角函數(shù)式的區(qū)別與聯(lián)系，靈活使用條件，變形得證，證明方法主要是基本量法和消去法在三角變換中，要自覺地運(yùn)用化歸的思想、方程的

21、思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、換元的思想去處理問題二、備用習(xí)題1函數(shù)ycos4xsin4x的最小正周期是()A. B C2 D42函數(shù)y的最大值是()A.1 B.1 C1 D13若(，)，sin2，則cossin的值為()A. B C D.4函數(shù)y2sinx(sinxcosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A2k，2k，kZ B2k，2k，kZCk，k，kZ Dk，k，kZ5求函數(shù)y的值域6化簡：f(x)cos2xcos2(60x)cos2(120x)參考答案：1B2.B3.C4.D5解：y2sinx(1sinx)，sinx1，y2sin2x2sinx2(sinx)2.令tsinx，則t1,1)

22、，y2(t)2.當(dāng)t1,1)時(shí)，y，4)6解：f(x)cos2xcos(602x)cos(2402x)cos2xcos2xsin2xcos2xsin2x.(設(shè)計(jì)者：鄭吉星)第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)請同學(xué)們回憶上一節(jié)復(fù)習(xí)的內(nèi)容，教師點(diǎn)出，上一節(jié)我們一起復(fù)習(xí)了本章的三角函數(shù)公式，以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，這一節(jié)我們將通過例題分析，繼續(xù)探討三角函數(shù)應(yīng)用問題，重點(diǎn)是復(fù)習(xí)與向量有關(guān)的一些綜合問題思路2.(問題導(dǎo)入)教師開始就提出以下問題讓學(xué)生探究，(1)不查表求sin220cos280cos20cos80的值(2)已知，cos()，sin()，求sin2的值學(xué)生專心解決問題的探究過程就已展開了

23、新課推進(jìn)新課教師打出幻燈，根據(jù)上節(jié)復(fù)習(xí)的知識(shí)方法，請解答以下一組考試題：1設(shè)、為鈍角，且sin，cos，則的值為()A. B. C. D.或2已知a(sincos，2 007)，b(sincos，1)，且ab，則tan2等于()A2 007 B C2 007 D.3已知(，)，sin，則tan()等于()A. B7 C D74若、(0，)，cos()，sin()，則cos()的值等于_5已知tan()tan()4，且，求sin22sincoscos2的值活動(dòng)：由學(xué)生自己獨(dú)立完成，對找不到思路的學(xué)生教師可給予適時(shí)的點(diǎn)撥，上述14都是2007、2006年的高考或模擬題從中可看出，三角函數(shù)的化簡、求

24、值及恒等式的證明是三角變換的基本問題，各市地在高考中都有所體現(xiàn)，在考查三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí)，還注重考查思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運(yùn)算推理能力特別是三角求值，需充分利用公式變形，而公式變形過程中可以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和觀點(diǎn)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的轉(zhuǎn)化和簡化功能，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)，所以，高考三角求值題倍受命題人的青睞，使得成為出題頻率較多的題型，但其難度較小如以上幾例，讓學(xué)生在探究中體會(huì)怎樣選擇有用的公式，或其變形式答案：1.C注意選用的余弦2C需利用向量平行的條件對已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化單角來解決3A利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得余弦

25、值，然后利用和角的正切公式解決4先確定角的范圍，可得，()()，cos().5解：由tan()tan()4，得4，則cos2.，cos，sin，sin22sincoscos22.思路1例1若cos(x)，x，求.活動(dòng)：本例題是一道綜合型的中檔題目，具有很好的訓(xùn)練價(jià)值，其變形式子在多處的高考試題中都有所體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生探討題目中的已知條件與所求式子的角的關(guān)系，尋找解決問題的突破口如轉(zhuǎn)化為已知一個(gè)角(x)的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其余三角函數(shù)值的問題這樣可以將所求式子化簡，使其出現(xiàn)(x)這個(gè)角的三角函數(shù)教師要鼓勵(lì)學(xué)生多視角觀察，以探求更多的解題思路，從中比較最優(yōu)解法解：sin2xsin2xtan(x

26、)cos(2x)tan(x)2cos2(x)1tan(x)x，x.又cos(x)，sin(x)，tan(x).原式(21)().點(diǎn)評(píng)：在解答某些三角函數(shù)的求值問題時(shí)，要能夠合理地利用公式，引導(dǎo)學(xué)生觀察角之間的關(guān)系，公式應(yīng)正確、熟練地記憶與應(yīng)用，并注意總結(jié)公式的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，對一些公式不僅會(huì)用，還會(huì)逆用，變形用，這里就是應(yīng)用了正切和角公式的逆用，而且還是很重要的一步.變式訓(xùn)練已知cossin，(1)求m的值；(2)若函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x3對稱，且f(1)320，試求f(m)的值解：(1)由已知cossin，得cos().又因?yàn)閟in2cos(2)12cos2()，所以m7.(2)由題意，函

27、數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x3對稱，因此，f(3x)f(3x)，所以f(m)f(7)f(34)f(34)f(1)320.例2已知sin22sin2coscos21，(0，)，求sin、tan的值活動(dòng)：本題是2002年高考試卷解答題的第一題，但常解常新雖然綜合性很強(qiáng)，但試題難度并不大，對學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力有很好的訓(xùn)練價(jià)值本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式以及三角函數(shù)恒等變形的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能按照較易題的要求來考查三角函數(shù)的重點(diǎn)知識(shí)教師大膽放手讓學(xué)生探究，必要時(shí)適時(shí)的給予點(diǎn)撥，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解解答本題常出現(xiàn)的失誤有：(1)記錯(cuò)三角公式，如“cos22sin21”等；(2

28、)解題中未能及時(shí)消去相同的項(xiàng)以簡化運(yùn)算，如將原式化為關(guān)于sin的四次方程，造成運(yùn)算煩瑣，或不能得到結(jié)果；(3)用一個(gè)算式去除等式兩邊時(shí)，未先確認(rèn)這個(gè)算式不等于零，推理不嚴(yán)密；(4)恒等變形中，移項(xiàng)時(shí)符號(hào)出錯(cuò)或合并同類項(xiàng)時(shí)系數(shù)出錯(cuò)，導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤可以此來檢查學(xué)生的掌握程度解：方法一：由倍角公式，sin22sincos，cos22cos21，得4sin2cos22sincos22cos202cos2(2sin2sin1)02cos2(2sin1)(sin1)0，(0，)，sin10，cos20.2sin10，即sin.tan.方法二：由題設(shè)得sin22sin2cos2cos20，即(sin22c

29、os)(sin2cos)0.(0，)，sin22cos0.sin2cos0.cos0，2sin10，即sin.tan.方法三：由題設(shè)得sin22sin2cos2cos20，將其看成關(guān)于sin2的一元二次方程，得sin2，sin22cos或sin2cos.(0，)，sin22cos.sin2cos(以下同方法二)點(diǎn)評(píng)：本題是考查三角函數(shù)的綜合題，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函數(shù)關(guān)系式”這兩個(gè)知識(shí)重點(diǎn)，把它們有機(jī)地組合在一起解題過程運(yùn)用“換元法”等基本數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)方程思想，在考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)達(dá)到考查數(shù)學(xué)思想方法的目標(biāo).變式訓(xùn)練已知a(cos2，sin)，b(1，2sin1)，(，

30、)，ab，求的值解：abcos2sin(2sin1)2cos212sin2sin1sin，sin.又(，)，cos.cos().10.例3已知函數(shù)f(x)2asin2x2asinxcosxab(a0)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?,1，求常數(shù)a、b的值活動(dòng)：本題是一道經(jīng)典三角綜合題，屬于結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的綜合性中檔題目教師引導(dǎo)學(xué)生思考，對于涉及三角函數(shù)值域等性質(zhì)的問題，首先應(yīng)考慮將函數(shù)化為一個(gè)角一種函數(shù)形式，本題通過降次，逆用二倍角公式后，形成了yasinxbcosx型的函數(shù)，再應(yīng)用yasinxbcosxsin(x)，其中tan，需引起學(xué)生的高度重視首先通過三角恒等變形，將函數(shù)化成一個(gè)角一種函數(shù)形

31、式，然后注意函數(shù)定義域?qū)Υ_定函數(shù)的值域的影響，可讓學(xué)生獨(dú)立探究，教師適時(shí)點(diǎn)撥解：f(x)a(1cos2x)asin2xaba(cos2xsin2x)2ab2asin(2x)2ab，x0，2x，sin(2x)1.因此，由f(x)的值域?yàn)?,1，可得或或點(diǎn)評(píng)：解題運(yùn)用通性通法，不追求特殊解題技巧，是一道難度合適的試題解完后教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，注意體會(huì)解決本題用到的數(shù)學(xué)思想方法.變式訓(xùn)練已知a，b是兩個(gè)向量，且a(1，cosx)，b(cos2x，sinx)，xR，定義：yab.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)f(x)及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若x0，求函數(shù)yf(x)的最大值、最小值及其相應(yīng)的x的值

32、解：a(1，cosx)，b(cos2x，sinx)，abcos2xcosxsinxcos(2x)，ycos(2x).單調(diào)遞增區(qū)間是k，k(kZ)(2)由x0，得2x，cos(2x)1.f(x)min0，此時(shí)x，f(x)max，此時(shí)x.思路2例1已知tan()，(1)求tan的值；(2)求的值活動(dòng)：本題作為濟(jì)南市的一模統(tǒng)考題，位置在六道解答題的第一題，由此可看出三角函數(shù)化簡求值題的難度屬于容易題，整個(gè)三角題目的高考難度也如此因此在平時(shí)指導(dǎo)學(xué)生訓(xùn)練時(shí)教師要控制好這個(gè)難度根據(jù)正切和角公式，由本題條件易得正切值，再將所求式子化簡求值即可對于本題的探究解答，可完全留給學(xué)生自己完成，教師只需在關(guān)鍵地方對部

33、分學(xué)生給予指導(dǎo)點(diǎn)撥解：(1)由tan()，得，解之，得tan3.(2)2cos，且tan3，cos，即原式的值為.點(diǎn)評(píng)：解這類求值題一定要在化簡上多下些功夫，至于究竟化簡到什么程度，這要具體結(jié)合題目條件而定學(xué)生解完后教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，并要求學(xué)生書寫規(guī)范，思路清晰，解答過程簡潔流暢.變式訓(xùn)練已知為第二象限角，且sin，求的值解：sin(2)sin(22)cos(22)cos2，原式.為第二象限角，且sin，cos.原式.例2設(shè)向量a(1cos，sin)，b(1cos，sin)，c(1,0)，(0，)，(，2)，a與c的夾角為1，b與c的夾角為2，且12，求sin的值活動(dòng)：本題是一道經(jīng)典試題，多次多處用