1、2.4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn)、難點(diǎn))2會(huì)由拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1拋物線的定義閱讀教材P59前3自然段，完成下列問(wèn)題平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做_定點(diǎn)F叫做拋物線的_，定直線l叫做拋物線的_【答案】拋物線焦點(diǎn)準(zhǔn)線判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線()(2)拋物線的方程都是y關(guān)于x的二次函數(shù)()(3)方程x22py是表示開(kāi)口向上的拋物線()【答案】(1)(2)(3)教材整理2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程閱讀教材P59第4自然段P60，完成下列問(wèn)題.圖

2、形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)_y22px(p0)_x22py(p0)_x22py(p0)_【答案】xxyy拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.BC. D0【解析】拋物線y4x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，如圖所示，由拋物線定義可知，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線y的距離，即1，yM.【答案】B質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_小組合作型求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)過(guò)點(diǎn)M(6,6)；(2)焦點(diǎn)F在直線l：3x2y60上；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4

3、.【精彩點(diǎn)撥】(1)過(guò)點(diǎn)M(6,6)的拋物線有幾種情況？(2)所求拋物線的焦點(diǎn)是什么，有幾種情況？(3)由焦點(diǎn)位置判斷有幾種情況？【自主解答】(1)由于點(diǎn)M(6,6)在第二象限，過(guò)M的拋物線開(kāi)口向左或開(kāi)口向上若拋物線開(kāi)口向左，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為y22px(p0)，將點(diǎn)M(6,6)代入，可得362p(6)，p3.拋物線的方程為y26x.若拋物線開(kāi)口向上，焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其方程為x22py(p0)，將點(diǎn)M(6,6)代入可得，362p6，p3，拋物線的方程為x26y.綜上所述，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y26x或x26y.(2)直線l與x軸的交點(diǎn)為(2,0)，拋物線的焦點(diǎn)是F(2,0)，2，p4，拋物

4、線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y28x.直線l與y軸的交點(diǎn)為(0，3)，即拋物線的焦點(diǎn)是F(0，3)，3，p6，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x212y.綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y28x或x212y.(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p4，焦點(diǎn)可在x，y軸上，故有四種情況，標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x，y28x，x28y，x28y.1用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟2求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的三個(gè)問(wèn)題(1)把握開(kāi)口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(2)當(dāng)拋物線的類型沒(méi)有確定時(shí)，可設(shè)方程為y2mx或x2ny，這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù)(3)注意p與的幾何意義再練一題1根據(jù)下列條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)關(guān)于y軸對(duì)稱且過(guò)點(diǎn)(1，3)；(2)過(guò)點(diǎn)

5、(4，8)；(3)焦點(diǎn)在x2y40上【解】(1)法一設(shè)所求拋物線方程為x22py(p0)，將點(diǎn)(1，3)代入方程，得(1)22p(3)，解得p，所以所求拋物線方程為x2y.法二由已知，拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，因此設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)又拋物線過(guò)點(diǎn)(1，3)，所以1m(3)，即m，所以所求拋物線方程為x2y.(2)法一設(shè)所求拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)，將點(diǎn)(4，8)代入y22px，得p8；將點(diǎn)(4，8)代入x22py，得p1.所以所求拋物線方程為y216x或x22y.法二當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為y2nx(n0)，又拋物線過(guò)點(diǎn)(4，8)，所以644n，即n

6、16，拋物線的方程為y216x；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)，又拋物線過(guò)點(diǎn)(4，8)，所以168m，即m2，拋物線的方程為x22y.綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x或x22y.(3)由得由得所以所求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)為(0，2)時(shí)，由2，得p4，所以所求拋物線方程為x28y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，由4，得p8，所以所求拋物線方程為y216x.綜上所述，所求拋物線方程為x28y或y216x.拋物線定義的應(yīng)用(1)一動(dòng)圓圓心在拋物線x24y上，該圓過(guò)點(diǎn)(0,1)，且與定直線l相切，則直線l的方程為_(kāi)(2)已知拋物線x24y，焦點(diǎn)是F(0,1)，A

7、為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以AF為直徑的圓與定直線l相切，則直線l的方程為_(kāi)【精彩點(diǎn)撥】圓與直線相切，尋找圓心與定點(diǎn)和定直線的關(guān)系【自主解答】(1)因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)(0,1)，且與定直線l相切，所以動(dòng)圓圓心到點(diǎn)(0,1)的距離與它到定直線l的距離相等又因?yàn)閯?dòng)圓圓心在拋物線x24y上，且(0,1)為拋物線的焦點(diǎn)，所以l為拋物線的準(zhǔn)線，所以直線l的方程為y1.(2)因?yàn)镕(0,1)為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，則AF的中點(diǎn)坐標(biāo)為M.又因?yàn)閳A的半徑為，所以圓心M到x軸的距離恒等于半徑，所以直線l的方程為y0.【答案】(1)y1(2)y0根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此

8、，拋物線定義的功能是可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題再練一題2已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.B3C. D【解析】由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離由圖可得，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x的距離d|PF|，易知點(diǎn)A(0,2)在拋物線y22x的外部，連接AF，交y22x于點(diǎn)P，欲使所求距離之和最小，只需A，P，F(xiàn)共線，其最小值為|AF| .【答案】A與拋物線有關(guān)的軌跡問(wèn)題已知?jiǎng)訄AM與直線y2相切，且與定圓C：x2(y3)21外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【精彩點(diǎn)撥】(1)圓M與

9、直線y2相切可以想到什么？(2)兩圓外切的條件是什么？(3)點(diǎn)M的條件滿足拋物線定義嗎？【自主解答】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，則由題意可得M到圓心C(0，3)的距離與直線y3的距離相等由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，3)為焦點(diǎn)，以y3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x212y.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法：定義法，判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否滿足拋物線的定義若滿足拋物線的定義，則可按拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫(xiě)出方程再練一題3已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)，且與直線l：x3相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程【解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，M與直線l：x3的切點(diǎn)為N，則|MA|MN|，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：

10、x3的距離相等，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3,0)為焦點(diǎn)，以直線l：x3為準(zhǔn)線，3，p6，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y212x.探究共研型拋物線的實(shí)際應(yīng)用探究1求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的步驟有哪些？【提示】求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的五個(gè)步驟：探究2如何利用拋物線定義解決實(shí)際問(wèn)題？【提示】把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用拋物線的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，常以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱性，而且曲線過(guò)原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面

11、上的部分高米，問(wèn)水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時(shí)，小船開(kāi)始不能通航？【精彩點(diǎn)撥】建系設(shè)方程解方程求出相關(guān)量解決問(wèn)題【自主解答】如圖，建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋拋物線方程為x22py(p0)，由題意，將B(4，5)代入方程得p，拋物線方程為x2y.當(dāng)船的兩側(cè)和拱橋接觸時(shí)船不能通航設(shè)此時(shí)船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船露出水面上部分為米，設(shè)水面與拋物線拱頂相距為h，則h|yA|2(米)，即水面上漲到距拋物線拱頂2米時(shí)，小船不能通航1本題的解題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言(文字、符號(hào)、圖形、字母等)表達(dá)、分析、解決問(wèn)題2以拋物線為數(shù)學(xué)模型的實(shí)例很多，

12、如拱橋、隧道、噴泉等，應(yīng)用拋物線主要體現(xiàn)在：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的方程(2)利用已求方程求點(diǎn)的坐標(biāo)再練一題4.探照燈反射鏡(如圖241)的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處已知燈口圓的直徑為60 cm，燈深40 cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)圖241【解】如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，使探照燈的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(40,30)，且在拋物線上，代入方程，得3022p40，解得p.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x，焦點(diǎn)坐標(biāo)是.構(gòu)建體系1準(zhǔn)線方程為y的

13、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax2yBx2yCy2x Dy2x【解析】由準(zhǔn)線方程為y知拋物線焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且，則p.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.【答案】B2已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A B1C D【解析】點(diǎn)A(2,3)在拋物線C的準(zhǔn)線上，2，p4.拋物線的方程為y28x，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)又A(2,3)，根據(jù)斜率公式得kAF.【答案】C3以雙曲線1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_【解析】由雙曲線1，得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，故可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，所以4，即p8，拋物線方程為y216x

14、.【答案】y216x4已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F1，若點(diǎn)A(2，4)在拋物線上，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為_(kāi)【解析】把點(diǎn)(2，4)代入拋物線y22px，得164p，即p4，從而拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)故點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為4.【答案】45若拋物線y22px(p0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【解】由拋物線方程y22px(p0)，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線方程為x.設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，則d|MF|10，即(9)10，得p2，故拋物線方程為y24x.由點(diǎn)M(9，y)在拋物線上，得y6，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(9,6)或(9，6)我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提

15、升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1準(zhǔn)線與x軸垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay22xBy22xCx22y Dx22y【解析】由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2ax，則()2a，解得a2，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22x，故選B.【答案】B2以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2B4C6D8【解析】設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D.點(diǎn)A，D在圓x2y2r2上，85，p4

16、(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.【答案】B3已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的離心率等于()A. BC2 D2【解析】拋物線的焦點(diǎn)為(，0)，即c.雙曲線的漸近線方程為yx，由，即ba，所以b22a2c2a2，所以c23a2，即e23，e，即離心率為.【答案】B4拋物線y212x的準(zhǔn)線與雙曲線1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A3 B2C2 D【解析】拋物線y212x的準(zhǔn)線為x3，雙曲線的兩條漸近線為yx，它們所圍成的三角形為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，所以面積為3，故選A.【答案】A5拋物線y28x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的

17、距離是()A1 B2 C4 D8【解析】由y22px8x知p4，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離就是p.故選C.【答案】C二、填空題6拋物線y22x上的兩點(diǎn)A，B到焦點(diǎn)的距離之和是5，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是_【解析】拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|BF|x1x25，解得x1x24，故線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2.【答案】27對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)其中滿足拋物線方程為y210x的是_(要

18、求填寫(xiě)適合條件的序號(hào))【解析】拋物線y210x的焦點(diǎn)在x軸上，滿足，不滿足；設(shè)M(1，y0)是y210x上的一點(diǎn)，則|MF|116，所以不滿足；由于拋物線y210x的焦點(diǎn)為，過(guò)該焦點(diǎn)的直線方程為yk，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2,1)時(shí)，則k2，此時(shí)存在，所以滿足【答案】8拋物線y2x2的準(zhǔn)線方程為_(kāi)【解析】方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，故，開(kāi)口向上，準(zhǔn)線方程為y.【答案】y三、解答題9求焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)在雙曲線1上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【解】由題意可設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，則焦點(diǎn)為.焦點(diǎn)在雙曲線1上，1，求得m4，所求拋物線方程為y28x或y28x.10已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程【解】法一設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則有|x|1.兩邊平方并化簡(jiǎn)，得y22x2|x|.y2即點(diǎn)P的軌跡方程為y24x(x0)或y0(x0)法二由題意知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離