1、工程應(yīng)用數(shù)學(xué),主 講 北京理工大學(xué)機械與車輛學(xué)院 李曉雷,第二章 卷積積分與積分變換,本章主要復(fù)習(xí)傅立葉級數(shù)，介紹傅立葉級數(shù)的復(fù)數(shù)表示，脈沖響應(yīng)與卷積積分、傅立葉變換和拉普拉斯變換及其性質(zhì)。,2.1 傅立葉級數(shù) 2.2 脈沖響應(yīng)與卷積積分 2.3 傅立葉變換 2.4 拉普拉斯變換,2.1 傅立葉級數(shù),1 周期函數(shù)的傅立葉級數(shù),2 復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù),1 周期函數(shù)的傅立葉級數(shù),如果g(t)是以T 為周期的周期函數(shù)，即,g(t+T) = g(t),并且g(t)還滿足下列條件(Dirichlet條件),1. 在-T/2，T/2上連續(xù),或者只有有限個一類間斷點(即存在極限的間斷點);,2. 只有有限

2、個極值；,3. 在-T/2，T/2上絕對可積，即,則在-T/2，T/2上g(t)可以展成傅立葉級數(shù)，即有,這里：,稱為周期函數(shù)g(t)的基頻,p0(p=2，3，)稱為基頻的p次倍頻。,a0=c0， b0=0,0=0,p=1,2,ap、bp、cp和p(p=0,1,2,)稱為周期函數(shù) g(t)的傅立葉系數(shù)或諧波系數(shù)， cp是諧波的振幅, p是諧波的初相位。,c1cos(t1)稱為周期函數(shù)g(t)的基波； cpcos(ptp) （p1）稱為周期函數(shù)g(t)的基波的p次諧波。,2 復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù),單邊傅立葉級數(shù),根據(jù)歐拉公式,有,代入g(t)的傅立葉級數(shù)表達(dá)式,有,這里,0 = 0,= ap i

3、bp = cp(cospisinp),p=1,2,雙邊傅立葉級數(shù),由于對任意復(fù)數(shù)z有,因此，當(dāng)p0時,則,而,令,因而可以得到,即,在頻率軸的正半軸上，雙邊譜的系數(shù)dp與單邊譜的系數(shù)Ap之間有如下關(guān)系,通常用頻譜圖來直觀顯示周期函數(shù)所包含的頻率成分及其大小。 以頻率f (很少用)為橫軸，分別以cp(或Ap)和p為縱軸作圖，并稱f cp圖為g(t)的幅頻圖，f p圖為相頻圖。 一般來說，頻譜圖多為單邊的，只畫出f 0的部分。 周期函數(shù)頻譜圖的特點是只在離散點0，f ，2f ，上有值，被稱為離散譜，有時也形象地稱為譜線圖。,例：求下圖所示周期方波信號g(t)的傅立葉級數(shù),a0=c0=0,利用 0T

4、 = 2，有,即,另外,因此,同樣,周期函數(shù)的均方值,如果g(t)是簡諧函數(shù)，即,g(t)=Acos0t,則g(t)的均方值為,顯然，簡諧函數(shù)的均方值只與它的振幅有關(guān)，與它的頻率無關(guān)。,如果g(t)是周期函數(shù)，則可展為傅立葉級數(shù),g(t)的均方值為,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),(mn),(mn),p=1,2,p=1,2,有,上式為周期函數(shù)的巴塞伐(Parserval)公式。 它的右端為一無窮級數(shù)，級數(shù)的每一項是周期函數(shù)的諧波的均方值。 巴塞伐公式表明，周期函數(shù)的均方值是它的基波和各次諧波的均方值之和。 可以解釋為，周期函數(shù)在時域內(nèi)的總能量等于在頻域內(nèi)的總能量。 巴塞伐公式表明，在頻域中，運動的總能量是

5、各諧波能量之和。換句話說，在頻域中能量可按諧波直接相加。,2.2 脈沖響應(yīng)與卷積積分,1 脈沖函數(shù),2 脈沖響應(yīng),3 卷積積分,1 脈沖函數(shù),脈沖函數(shù)又稱為函數(shù),定義如下：,它表示在t = 0時刻作用的一個幅值無窮大，但沖量為1的脈沖力。力學(xué)上稱為單位脈沖力。,在時刻作用的單位脈沖力可表示為：,在任意時刻作用的幅值為 的脈沖力可以表示為,意義：在時刻的一個力值無限大，但作用時間為零的脈沖力。,其沖量為：,函數(shù)性質(zhì)：,(a) 如果F(t)是一個連續(xù)函數(shù)，則,(b)(t)為偶函數(shù)，即,(t) = (t),2 脈沖響應(yīng),例：設(shè)如圖所示單自由度系統(tǒng)在t = 0以前靜止，在t = 0時受到脈沖力(t)的

6、激勵。,這里：0表示小于零但無限接近于零的時刻， 0+表示大于零但無限接近于零的時刻。,運動微分方程,根據(jù)動量定理，在0到0+這段時間內(nèi)系統(tǒng)動量的改變?yōu)?mv(0+)mv(0) =,即在t=0時的脈沖力作用下，質(zhì)量的速度v由 v(0)=0變?yōu)関(0+)= /m，而位移沒有變化。,當(dāng)t0后，系統(tǒng)不受外力，是自由振動。,系統(tǒng)的運動微分方程為,=1時，即系統(tǒng)受到單位脈沖力作用時，系統(tǒng)響應(yīng)稱為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，用h(t)表示：,在t時刻以前靜止的系統(tǒng)，在t時受一個單位脈沖力激勵后的響應(yīng)為：,3 卷積積分,以上例說明卷積積分。,在振動系統(tǒng)受任意持續(xù)激勵時，可把激勵看為一系列脈沖力的迭加。設(shè)在t = 時刻附近

7、的沖量。,它對t時的系統(tǒng)響應(yīng)無貢獻(xiàn)。對t以后的響應(yīng)有貢獻(xiàn)，其大小為,dx = h(t)F()d,根據(jù)迭加原理，把這些響應(yīng)迭加起來，即把上式從0到t積分，有,這就是單自由度系統(tǒng)在初始條件為零時，受任意激勵F(t)作用時的響應(yīng)，稱為卷積積分。,對一般情況，卷積積分可寫成,卷積積分定義,卷積積分性質(zhì),1.交換律,f1(t)*f2(t) = f2(t)*f1(t),2.分配律,f1(t)*f2(t)+f3(t) = f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t),3.結(jié)合律,f1(t)*f2(t)*f3(t) = f1(t)*f2(t)*f3(t) =f1(t)*f2(t)*f3(t),4.微分,5.

8、積分,2.3 傅立葉變換,1 傅立葉積分,2 傅立葉變換的定義,3 傅里葉變換的性質(zhì),1 傅立葉積分,非周期函數(shù)可視為周期為無窮大的周期函數(shù)。,設(shè)gT(t)是非周期函數(shù)g(t)在區(qū)間 , 上的部分,即,gT(t) =,顯然有,在這個區(qū)間上gT(t)的傅立葉級數(shù),這里,取,p= p0,有,兩個相鄰諧波的間距為,這樣可以得到,因此,令T，有,d,p,這就是傅立葉積分公式,如果取f = ，得到以f為積分變量的傅立葉積分公式,傅立葉積分存在定理,如果g(t)在(，+)上滿足下列條件:,1. g(t)在任意的有限區(qū)間上只有有限個一類間斷點；,2. g(t)在(,+)上絕對可積，即積分,則g(t)的傅立葉

9、積分存在。它的廣義積分是主值意義下的，即,傅立葉正變換.,稱g(t)和G()構(gòu)成一對傅立葉變換對,傅立葉逆變換.,g(t)稱為原函數(shù),G()稱為像函數(shù)，并記,G() =Fg(t),g(t) =F1G(),傅立葉正變換和逆變換也可寫作,通常像函數(shù)G()是復(fù)函數(shù),可以寫作,G() =G()ei(),G()幅值譜 ，()相位譜,均是連續(xù)函數(shù),傅立葉變換性質(zhì),a1，a2是任意常數(shù)。,傅立葉正變換和逆變換是線性變換。,Fa1g1(t)+a2g2(t) = a1Fg1(t) + a2Fg2(t) F1a1G1()+a2G2() = a1 F1G1()+a2F1 G2(),1.線性,G()=Fg(t) FG

10、(t)=2g(),則有,g (t) =g (t)。,如果g (t)是偶函數(shù)，即 。,2.對稱:,FG(t)=2g(),3.奇偶實虛,(1) g(t)是實函數(shù),如果 G()=Fg(t),記 R() =ReG() X()=ImG(),R() =R() (偶函數(shù)),則有,Fg(t)=G()=,X() = X() (奇函數(shù)),|G()| = |G()| (偶函數(shù)),() = () (奇函數(shù)),特別地，如果f (t)是實偶函數(shù)，則,X() = 0， () = 0,即，G()是的實偶函數(shù)。,如果g (t)是實奇函數(shù)，則,R() = 0,即，G()是的虛奇函數(shù)。,g(t) = ig1(t),(2) g(t)

11、是虛函數(shù)，即,則， R()為奇函數(shù),g1(t)為實函數(shù),X()為偶函數(shù)。,|G()|為偶函數(shù)，,()為奇函數(shù)。,4.尺度變換,Fg (at) =,如果a = 1，有,Fg(t)=G(),5.時移,Fg(tt0)=Fg(t),綜合4.、5.，有,Fg(att0)=,Fg(t0at)=,6.頻移,F1G(0)=F1G(),像函數(shù)在頻率軸上移動0相當(dāng)于它的原函數(shù)乘以單位旋轉(zhuǎn)因子 。,7.微分:,Fg(t) = iFg(t),Fg(t) = 2Fg(t),一般有,Fg(n)(t)= (i)nFg(t),時域里的微分對應(yīng)于頻域里乘以i,8.積分,如果 Fg(t) = G(),且,或 G(0) = 0,則

12、有,F,9.乘積,這里,10.能量積分,巴塞伐(Parserval)公式。,物理意義: 運動在時域的能量等于在頻域的能量。,11.卷積定理:,Fg1(t)*g2(t) = Fg1(t)Fg2(t),g1(t) g2(t)= F-1Fg1(t)*Fg2(t),單個矩形脈沖的定義為,例1 求單個矩形脈沖的頻譜,對它做傅立葉變換，有,它的幅值譜為,F(t),例2 單位脈沖函數(shù)(t)的傅立葉變換,即(t)與頻域的常數(shù)1是一對傅立葉變換對,在整個頻域內(nèi)(t)有均勻的譜分布。,能量為無窮大，現(xiàn)實世界中不可能存在。,如果在頻域中有一個函數(shù),它的傅立葉逆變換為,F1(),即，時域中的常數(shù) 與頻域中的函數(shù)是一對

13、傅立葉變換對,如果在頻域中的0處有一個函數(shù)(0)， 根據(jù)傅立葉變換的時移性質(zhì)可得,F1(0)=,由此可知,即， 與2(0)為一對傅立葉變換對。,F =2(0),簡諧函數(shù)的傅立葉變換,Fcos0t= F =(0)+(+0),Fsin0t= F =i(+0)i(0),周期函數(shù)的傅立葉變換,Fg(t) = F =,即，周期函數(shù)的傅立葉變換是頻域內(nèi)一系列間隔均勻的脈沖函數(shù)的迭加,頻譜與物體的質(zhì)量分布類比,一根質(zhì)量均勻分布的懸臂梁，其線密度為，長度為L，其上c點處有一集中質(zhì)量m。,當(dāng)懸臂梁橫向運動時，其速度分布為v(x)，c點的速度為v(c)。整個系統(tǒng)的動能為梁的動能與集中質(zhì)量的動能之和，即,用函數(shù)來表

14、示集中質(zhì)量，則懸臂梁的質(zhì)量分布為,(x) =m(xc),系統(tǒng)的動能為,非周期函數(shù)的頻譜類似于分布質(zhì)量，而周期函數(shù)的頻譜類似于集中質(zhì)量。,2.4 拉普拉斯變換,1 拉普拉斯變換的定義,2 拉普拉斯變換的性質(zhì),3 拉普拉斯逆變換的求法,1 拉普拉斯變換的定義,傅立葉變換的改進,g(t)定義在時間的正半軸，即取g(t) u(t)。,給函數(shù)g(t)乘上一個衰減因子,其中可以根據(jù)g(t)的具體情況選取， 使 乘積 滿足傅立葉變換的可積條件,對 做傅立葉變換,有,這里，s =+i是復(fù)變量，而=(s)/i。令,則有,拉普拉斯變換定義,設(shè)g(t)在t0有定義,積分,在s = +i的某一鄰域內(nèi)收斂，則,稱為g(

15、t)的拉普拉斯變換,記作,G(s) =Lg(t),g(t) =L1G(s),g(t)為G(s)的拉普拉斯逆變換,記作,( t0),普拉斯變換存在定理,如果函數(shù)g(t)在t0的任意有限區(qū)間上分段連續(xù)，且當(dāng) t充分大后，可以找到實數(shù)M0，和，有,則 G(s) =Lg(t),在半平面Res 上一定存在,并且積分,絕對可積且一致收斂，G(s)為解析函數(shù)。,2 拉普拉斯變換的性質(zhì),1.線性,2.微分,La1g1(t)+a2g2(t)=a1Lg1(t)+a2Lg2(t) L1a1G1()+a2G2()=a1L1G1()+a2L1G2(),Lg(t) = sLg(t)g(0) Lg(t) = s2Lg(t)

16、 sg(0) g(0),Lg(n)(t) = snLg(t) = snLg(t) sn1g(0) sn2g(0) sg(n2)(0) g(n1)(0),3.積分,L =s1Lg(t),4.延時,Lg(t )= Lg(t),5.位移,L eatg(t) = G(sa),6.尺度,L g(at)=,7.初值與終值定理,Lg(t) = G(s) 且 存在,則,(a)初值定理 如果,(b)終值定理 如果,Lg(t) = G(s) 且 存在,則,8.卷積,Lg1(t)*g2(t)=G1(s)G2(s),L1G1(s)G2(s)=g1(t)*g2(t),Lg1(t)g2(t)=G1(s)*G2(s),g1(t)g2(t)=L1G1(s)*G2(s),它的拉普拉斯變換為,解：如果g(t)是周期函數(shù),即有,例 周期函數(shù)的拉普拉斯變換,g(t +T) = g(t) (t0),Lg(t) =,令u=tjT，則 t=u+jT，dt=du。,t =jT時，u = 0；t = (j+1)T