1、多邊形的內(nèi)角和,人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 11.3 多邊形及其內(nèi)角和,11.3.2 多邊形的內(nèi)角和,多邊形的內(nèi)角和,一、設(shè)疑自探、回顧舊知,1、在平面內(nèi)，_ 叫做多邊形。 、在多邊形中_叫做多邊形的對(duì)角線。 、一般地，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作 _ 條對(duì)角線它們將n邊形分為_(kāi)個(gè)三角形。,由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形,連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段,（n-3）,(n-2),多邊形的內(nèi)角和,長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是多少？為什么？,如果是任意四邊形呢？,二、解疑合探、探尋新知,（一）多邊形的內(nèi)角和,多邊形的內(nèi)角和,討論:任意四邊形的內(nèi)角和等于多少度？你是怎樣得到的？你能找到幾種方法？,F,E,(1

2、),(2),(3),多邊形的內(nèi)角和,B,A,D,C,四邊形ABCD的內(nèi)角和是多少？,觀察上圖：可以看出四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)， 可以做_條對(duì)角線，它們將四邊形分成_ 個(gè)三角形，所以四邊形的內(nèi)角和為_(kāi) 。,1,2,360,多邊形的內(nèi)角和,那么如何求此五邊形的內(nèi)角和呢?,選捷徑，我能行！,3 180 =5400,說(shuō)說(shuō)你的探索思路？,多邊形的內(nèi)角和,三角形,四邊形,五邊形,1800,2 180 = 3600,3 180 =5400,探索過(guò)程一掠:,多邊形的內(nèi)角和,六邊形,七邊形,4 180 =7200,5 180 =9000,那么六邊形、七邊形的內(nèi)角和呢？,多邊形的內(nèi)角和,3,4,5,6,7,n,1,

3、n-2,2,3,4,5,180,360,540,720,900,(n2) 180,(n-2) 180,5 180,4 180,3 180,2 180,1 180,多邊形的內(nèi)角和,n邊形內(nèi)角和等于,最終結(jié)論,（n2） 180,多邊形的內(nèi)角和,三角形,六邊形,四邊形,八邊形,.,五邊形,是解決多邊形問(wèn)題的常用輔助線,對(duì)角線,多邊形問(wèn)題 三角形問(wèn)題,轉(zhuǎn)化,（未知）,（已知）,多邊形的內(nèi)角和,那么正五邊形、正六邊形、正八邊形、正n邊形的每個(gè)內(nèi)角分別是多少度呢？, 正n邊形,（5-2）180 5 =108,（6-2）180 6 =120,（8-2）180 8 =135,（n-2）180 n,（2）正多邊

4、形的內(nèi)角,多邊形的內(nèi)角和,小試牛刀,1.八邊形的內(nèi)角和等于多少度？十邊形呢？,解：,（82) 180= 1080,（102) 180= 1440,多邊形的內(nèi)角和,2、已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1440,求它的邊數(shù)。,解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)題意可得： （n-2）180=1440 解得： n=10 答：這個(gè)多邊形是十邊形,練習(xí),多邊形的內(nèi)角和,求下列圖形中 x 的值 .,（1）,（2）,鞏固練習(xí),2x+140+90=360,360-80-120-75=180-x,x=65,x=95,多邊形的內(nèi)角和,2、一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都等于120，它是幾邊形？,解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 n，根據(jù)題意得

5、： (n2) 180=120n 解得：n=6 答：這個(gè)多邊形是六邊形。,多邊形的內(nèi)角和,解：如圖四邊形ABCD中，,例1、如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？,這就是說(shuō)，如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ)。,典型例題,多邊形的內(nèi)角和,多邊形外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角。,外角,6,7,8,9,10,（3）多邊形的外角和,多邊形外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角。,多邊形的內(nèi)角和,如圖，在六邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和. 六邊形的外角和等于多少度？,解：如圖，六邊形ABCDEF中， 1+7=180 ，2+8=

6、180 ， 3+9=180 ，4+10=180 ， 5+11=180 ，6+12=180 ., 7+ 8+9+ 10 +11+ 12 =（62）180 = 720,結(jié)論：,多邊形的外角和等于360., 1+ 2+3+ 4 +5+ 6 = 6180 720 = 360.,對(duì)于 n 邊形，結(jié)論仍然成立！,例題講解,多邊形的內(nèi)角和,3180o-1180o=360o,4180o-2180o=360o,5180o-3180o=360o,6180o-4180o=360o,n180o-(n-2)180o=360o,合作學(xué)習(xí),多邊形的外角和,多邊形的內(nèi)角和,從上表中得到了什么結(jié)論？,結(jié)論：任何多邊形的外角和為

7、360,多邊形的內(nèi)角和,練習(xí)1： 已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。,解： 設(shè)多邊形的邊數(shù)為n 它的內(nèi)角和等于 (n-2)180， 多邊形外角和等于360， (n-2)180=2 360。 解得: n=6 這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6。,練一練,多邊形的內(nèi)角和,練一練,練習(xí)2：正五邊形的每一個(gè)外角等于_，每一個(gè)內(nèi)角等于_。,5X=360,X=72,72,108,解：設(shè)正五邊形的每一個(gè)外角度數(shù)為x，由 多邊形的外角和等于360度可得：,所以每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為108 ,多邊形的內(nèi)角和,練習(xí)3：一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。,解：設(shè)一個(gè)外角為x， 則內(nèi)

8、角為（x36） 根據(jù)題意得： x+x+36180 x72 360725 答：這個(gè)正多邊形為正五邊形。,多邊形的內(nèi)角和,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.學(xué)會(huì)用三角形內(nèi)角和定理證明多邊形的內(nèi)角和與外角和； 2.會(huì)利用多邊形的內(nèi)角和與外角和來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。,多邊形的內(nèi)角和,問(wèn)題,大家清晨跑步嗎？小明就有每天堅(jiān)持跑步的好習(xí)慣，他怎樣跑步呢？右圖就是小明清晨沿一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周?chē)男∨?，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿降男Ч麍D. 請(qǐng)你觀察并思考如下幾個(gè)問(wèn)題:,(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角是哪個(gè)角？在圖中標(biāo)出它們.,A,B,C,D,E,1,2,3,4,5,(2)他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少？,(3)在上圖中

9、，你能求出1+2+3+4+5的大小嗎？你是怎樣得到的？,多邊形的內(nèi)角和,從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A點(diǎn)出發(fā)，沿多邊形的各邊走過(guò)各點(diǎn)之后回到點(diǎn)A.最后再轉(zhuǎn)回出發(fā)時(shí)的方向。在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角和。,多邊形的內(nèi)角和,由于在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中走了一周，也就是說(shuō)所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角。,即：多邊形的外角和等于360,多邊形的內(nèi)角和,回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度嗎？每個(gè)外角呢？,每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是,每個(gè)外角的度數(shù)是,（4）正多邊形的外角,多邊形的內(nèi)角和,例2：一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為150， 你知道它是幾邊形嗎？,解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，根據(jù)題意得： （n2）180

10、10n n12 答：這個(gè)多邊形是12邊形。,另解：由于多邊形外角和等于360 而這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于 18015030， 所以這個(gè)正 多邊形的邊數(shù)等于 3603012。,典型例題,多邊形的內(nèi)角和,例3、已知兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1440，且兩多邊形的邊數(shù)之比為13，求它們的邊數(shù)分別是多少？,多邊形的內(nèi)角和,牛刀小試：（1）八邊形的內(nèi)角和等于 。（2）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于2340， 它的邊數(shù)是 。（3）小明在計(jì)算多邊形的內(nèi)角和時(shí)求得的 度數(shù)是1000，他的答案正確嗎？為 什么？,1080,15,多邊形的內(nèi)角和,（4）已知四邊形4個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1234， 那么這個(gè)四邊形中最大角的度是

11、 。 （5）一個(gè)五邊形的三個(gè)內(nèi)角是直角，另兩個(gè)內(nèi)角 都是n，則n= 。 （6）六角螺母的面是六邊形，它的內(nèi)角都相等，則 這個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角是 。 （7）在四邊形ABCD中，A與C互補(bǔ)，那么B 與D有什么關(guān)系呢？為什么？,144,135,120,多邊形的內(nèi)角和,1、求下列圖形中x的值：,三、隨堂練習(xí),多邊形的內(nèi)角和,2、一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是600，這個(gè)多邊形是幾邊形？它的內(nèi)角和等于多少度? 3、有沒(méi)有這樣的多邊形，它的內(nèi)角和是外角和的3倍？,4、一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等，且每一個(gè)內(nèi)角都比外角大900，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。,多邊形的內(nèi)角和,8、兩個(gè)多邊形的邊數(shù)比是1:2

12、,兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1440度,求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù),7、一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都比相鄰的外角3倍多20度,求這個(gè)多邊形的邊數(shù),6、四邊形的四個(gè)內(nèi)角的比是8:6:3:7,求它的四個(gè)內(nèi)角,5、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍,這是幾邊形,多邊形的內(nèi)角和,9、有一六邊形，截去一三角形，內(nèi)角和會(huì)發(fā)生 怎樣變化？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明。,內(nèi)角和減少180O,內(nèi)角和不變,內(nèi)角和增加180O,多邊形的內(nèi)角和,3、n邊形的內(nèi)角和為(n2) 180(n3),1、n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有(n3)條(n3),2、n邊形共有對(duì)角線 條(n3),4、任何多邊形的外角和為360,四、課堂小結(jié),5. 已知內(nèi)角和求幾邊形:內(nèi)角和180+2,6、正n邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是,7、正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是,多邊形的內(nèi)角和,教科書(shū)習(xí)題11.3第1、2、4、5