1、1.8排列、組合、二項式定理命題角度1計數(shù)原理、排列與組合問題高考真題體驗對方向1.(2017全國6)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有()A.12種B.18種C.24種D.36種答案D解析先把4項工作分成3份有種情況,再把3名志愿者排列有種情況,故不同的安排方式共有=36種,故選D.2.(2016全國5)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12D.9答案B解析由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從F處到G

2、處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18,故選B.3.(2016全國12)定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下:an共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k2m,a1,a2,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個B.16個C.14個D.12個答案C解析由題意知a1=0,a8=1,則滿足題意的a1,a2,a8的可能取值如下:綜上可知,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14個.4.(2018全國15)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)答案16解析方法一:當(dāng)3人中恰有1

3、位女生時,有=12種選法.當(dāng)3人中有2位女生時,有=4種選法.故不同的選法共有12+4=16種.方法二:6人中選3人共有種選法,當(dāng)3人全是男生時有種選法,所以至少有1位女生入選時有=16種選法.5.(2017天津14)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有個.(用數(shù)字作答)答案1 080解析沒有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有=120個;有且只有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有=960個.所以至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960=1 080個.6.(2017浙江16)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4

4、人服務(wù)隊,要求服務(wù)隊中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數(shù)字作答)答案660解析由題意可得,總的選擇方法為種方法,其中不滿足題意的選法有種方法,則滿足題意的選法有:=660種.新題演練提能刷高分1.(2018陜西咸陽二模)有5名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照,其中甲必須站在正中間,并且乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰,則不同的站法有()A.8種B.16種C.32種D.48種答案B解析首先將甲排在中間,乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰,則兩人必須站在甲的兩側(cè),選出一人排在左側(cè),有種方法,另外一人排在右側(cè),有種方法,余下兩人排在余下的兩個空,有種方法,綜上可得,不同的站法有=16種.2.(2018寧夏銀川一模)上海某小

5、學(xué)組織6個年級的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個博物館,每個年級任選一個博物館參觀,則有且只有兩個年級選擇甲博物館的方案有()A.種B.54種C.種D.54種答案D解析因為有且只有兩個年級選擇甲博物館,所以參觀甲博物館的年級有種情況,其余年級均有5種選擇,所以共有54種情況,根據(jù)乘法原理可得54種情況,故選D.3.(2018廣東珠海3月質(zhì)檢)將5個不同的球放入4個不同的盒子中,每個盒子至少放一個球,則不同放法共有()A.480種B.360種C.240種D.120種答案C解析第一步:先從4個盒子中選一個盒子準(zhǔn)備裝兩個球,有4種選法;第二步:從5個球里選出兩個球放在剛才的盒子里,有種選法;第三步

6、:把剩下的3個球全排列,有種排法,由乘法分步原理得不同方法共有4=240種,故選C.4.(2018福建福州3月質(zhì)檢)福州西湖公園花展期間,安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務(wù),要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人,剩下兩個展區(qū)各安排兩個人,不同的安排方案共有()A.90種B.180種C.270種D.360種答案B解析第一步,為甲地選一名志愿者,有=6種選法;第二步,為乙地選一名志愿者,有=5種選法;第三步,為剩下兩個展區(qū)各安排兩個人,有=6種選法.故不同的安排方案共有656=180種.故選B.5.(2018安徽省江淮十校4月聯(lián)考)用6種不同的顏色對正四棱錐的8條棱染色,每個頂點出發(fā)的棱的顏色各不相同,不

7、同的染色方案共有()A.14 400種B.28 800種C.38 880種D.43 200種答案C解析從P點出發(fā)的4條側(cè)棱一定要用4種不同的顏色,有=360種不同的方案,接下來底面的染色根據(jù)是否使用剩下的2種顏色分類計數(shù):(1)不使用新的顏色,有2種顏色分類方案;(2)使用1種新的顏色,分為2類:第一類,染一條邊,有244=32種方案;第二類,染兩條對邊,有224=16種方案.(3)使用2種新的顏色,分為4類:第一類,染兩條鄰邊,有423=24種方案;第二類,染兩條對邊,有224=16種方案;第三類,染三條邊,有422=16種方案;第四類,染四條邊,有2種方案.因此不同的染色方案總數(shù)為3602

8、+(32+16)+(24+16+16+2)=38 880,故選C.6.(2018重慶二診)根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門決定派出五位相關(guān)專家對三個貧困地區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個地區(qū)至少派遣一位專家,其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū),則不同的派遣方案種數(shù)為(用數(shù)字作答).答案36解析由題意可知,可分為兩類:第一類:甲乙在一個地區(qū)時,剩余的三類分為兩組,再三組派遣到三個地區(qū),共有=18種不同的派遣方式;第二類:甲乙和剩余的三人中的一個人同在一個地區(qū),另外兩人分別在兩個地區(qū),共有=18種不同的派遣方式;由分類計數(shù)原理可得,不同的派遣方式共有18+18=36種.命題角度2求展開式中的

9、指定項或其系數(shù)高考真題體驗對方向1.(2018全國5)的展開式中x4的系數(shù)為()A.10B.20C.40D.80答案C解析由展開式知Tr+1=(x2)5-r(2x-1)r=2rx10-3r.當(dāng)r=2時,x4的系數(shù)為22=40.2.(2017全國6)1+(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為()A.15B.20C.30D.35答案C解析方法一:(1+x)6=1(1+x)6+(1+x)6,(1+x)6的展開式中的x2的系數(shù)為=15,(1+x)6的展開式中的x2的系數(shù)為=15,所以x2的系數(shù)為15+15=30.方法二:(1+x)6的二項展開式通項為Tr+1=xr,(1+x)6的展開式中含x2的項的來源有兩

10、部分,一部分是1x2=15x2,另一部分是x4=15x2,故(1+x)6的展開式中含x2的項為15x2+15x2=30x2,其系數(shù)是30.3.(2017全國4)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A.-80B.-40C.40D.80答案C解析(2x-y)5的展開式的通項公式Tr+1=(2x)5-r(-y)r.當(dāng)r=3時,x(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為22(-1)3=-40;當(dāng)r=2時,y(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為23(-1)2=80.故展開式中x3y3的系數(shù)為80-40=40.4.(2015全國10)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()

11、A.10B.20C.30D.60答案C解析由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展開式的通項為Tr+1=(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5),因此只有當(dāng)r=2,即T3=(x2+x)3y2中才能含有x5y2項.設(shè)(x2+x)3的展開式的通項為Si+1=(x2)3-ixi=x6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,則(x2+x)3的展開式中x5項的系數(shù)是=3,故(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)是3=103=30.5.(2017山東11)已知(1+3x)n的展開式中含有x2項的系數(shù)是54,則n=.答案4解析二項展開式的通項Tr+1=(3x)r=3rxr,令r

12、=2,得32=54,解得n=4.6.(2016全國14)(2x+)5的展開式中,x3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)答案10解析二項式的通項公式Tr+1=(2x)5-r25-r,令5-=3,解得r=4,故x3的系數(shù)為25-4=10.新題演練提能刷高分1.(2018東北三省三校一模)(x2+2)-15展開式中的常數(shù)項是()A.12B.-12C.8D.-8答案B解析由-15展開式的第r+1項Tr+1=5-r(-1)r=(-1)rxr-5,得(x2+2)-15展開式的通項為x2(-1)rxr-5=(-1)rxr-3或2(-1)rxr-5,則當(dāng)r-3=0或r-5=0,即r=3或r=5時,為展開式的常數(shù)項,

13、即(-1)3+2(-1)5=-12.故選B.2.(2018河北唐山二模)x2+6展開式的常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)答案15解析由題得x2+6展開式的通項為Tr+1=(x2)6-rr=x12-3r(r=0,1,2,3,4,5,6),令12-3r=0,得r=4.所以x2+6展開式的常數(shù)項為=15.3.(2018江西省質(zhì)量監(jiān)測)在2x+6的展開式中x-3的系數(shù)為.答案160解析展開式的通項為Tr+1=(2x)6-r26-rx6-3r,令6-3r=-3r=3,所以系數(shù)為23=160.4.(2018陜西咸陽二模)(x+y)(x-y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為(用數(shù)字作答).答案20解析(x-y)8展開式

14、的通項公式為Tr+1=x8-r(-y)r=(-1)rx8-ryr,令r=7,則展開項為(-1)7x8-7y7=-8xy7,令r=6,則展開項為(-1)6x8-6y6=28x2y6,據(jù)此可得展開式中x2y7的系數(shù)為-8+28=20.5.(2018河北保定一模)(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)是5,則a=.答案-1解析(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)是1+a=10+5a,所以10+5a=5,故a=-1.命題角度3二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題高考真題體驗對方向1.(2015湖北3)已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A.212B.

15、211C.210D.29答案D解析由條件知,n=10.(1+x)10中二項式系數(shù)和為210,其中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為210-1=29.2.(2015全國15)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=.答案3解析一(1+x)4=x4+x3+x2+x+x0=x4+4x3+6x2+4x+1,(a+x)(1+x)4的奇數(shù)次冪項的系數(shù)為4a+4a+1+6+1=32,a=3.解析二設(shè)(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5

16、,由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.新題演練提能刷高分1.(2018山東煙臺一模)已知x3+n的展開式的各項系數(shù)和為243,則展開式中x7的系數(shù)為()A.5B.40C.20D.10答案B解析由題意,二項式x3+n的展開式中各項的系數(shù)和為243,令x=1,則3n=243,解得n=5,所以二項式x3+5的展開式為Tr+1=(x3)5-rr=2rx15-4r,令r=2,則T3=22x15-42=40x7,即x7的系數(shù)為40,故選B.2.(2018江西重點中學(xué)盟校第一次聯(lián)考)若多項式(2x+3y)n展開式僅在第5項的二項式系數(shù)最大,則多項式x2+-4n-

17、4展開式中x2的系數(shù)為()A.-304B.304C.-208D.208答案A解析多項式(2x+3y)n展開式僅在第5項的二項式系數(shù)最大,故n=8,多項式x2+-44展開式中x2的系數(shù)為(-4)3+(-4)=-256-48=-304.選A.3.(2018安徽宣城二調(diào))記(2-x)7=a0+a1(1+x)2+a7(1+x)7,則a0+a1+a2+a6的值為()A.1B.2C.129D.2 188答案C解析(2-x)7=a0+a1(1+x)2+a7(1+x)7中,令x=0,得27=a0+a1+a7=128.(2-x)7展開式中含x7項的系數(shù)為20(-1)7=-1,a7=-1,a0+a1+a6=128-a7=129.4.(2018河北衡水中學(xué)模擬)在二項式ax+8的展開式中,所有項的系數(shù)之和記為S,第r項的系數(shù)記為Pr,若=38,則的值為()A.2B.-4C.2或-2D.2或-4答案D解析在ax+8中,令x=1,所以S=(a+b)8,又其通項公式為Tr+1=(ax)8-rr,即Tr+1=a8-rbr,所以P9=a8-8b8=b8,因此依題有=1+8=38,1+=3,=2或-4.故選D.5.(2018河北唐山一模)(2x-1)6的展開式中,二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)答案-160解析(2x-1)