1、第三課 平面向量,【網(wǎng)絡(luò)體系】,【核心速填】 1.五種常見的向量 (1)單位向量：模為_的向量. (2)零向量：模為_的向量. (3)平行(共線)向量：方向_的向量. (4)相等向量：模相等、方向_的向量 (5)相反向量：模相等、方向_的向量,1,0,相同或相反,相同,相反,2.兩個重要定理 (1)向量共線定理：向量_與b共線，當且僅當有唯一一個 實數(shù)，使_. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個_， 那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2， 使_，其中e1，e2是一組基底.,a(a0),b=a,不共線向量,a=1e1+2e2,3.兩個非零向量平行、垂直的充

2、要條件 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則： (1)aba=b(0)_. (2)abab=0_.,x1y2-x2y1=0,x1x2+y1y2=0,5.向量的投影 (1)向量a在b方向的投影為_. (2)向量b在a方向的投影為_.,6.向量的運算律 (1)交換律： a+b=b+a， ab=ba. (2)結(jié)合律： a+b+c=(a+b)+c， a-b-c=a-(b+c)， (a)b=(ab)=a(b).,(3)分配律： (+)a=_， (a+b)=_， (a+b)c=ac+bc. (4)重要公式： (a+b)(a-b)=_， (ab)2=_.,a+a,a+b,a2-b2,a22ab+b2

3、,【易錯提醒】 1.有關(guān)向量的注意點 (1)零向量的方向是任意的. (2)平行向量無傳遞性，即ab，bc時，a與c不一定是平行向量. (3)注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量.,2.向量的運算律中注意點 (1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約). (2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即(ab)ca(bc).,類型一 平面向量的線性運算及應(yīng)用 【典例1】(1)化簡： (2)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)

4、. 求3a+b-3c； 求滿足a=mb+nc的實數(shù)m，n.,【解析】(1)選D. (2)由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8). 3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8) =(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42). 因為mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)， a=mb+nc， 所以解得,【方法技巧】向量線性運算的基本原則和求解策略 (1)基本原則： 向量的加法、減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.向量的線性運算的結(jié)果仍是一個向量，因此，對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意向量的大小和方向兩個方面.,(2)求解策略： 向量是一個有“

5、形”的幾何量，因此在進行向量線性運算時，一定要結(jié)合圖形，這是研究平面向量的重要方法與技巧. 字符表示下線性運算的常用技巧 首尾相接用加法的三角形法則，如共起點兩個向量作差用減法的幾何意義，如 平行向量(共線向量)、相等與相反向量、單位向量等，理解向量的有關(guān)概念并進行恰當?shù)貞?yīng)用. 注意常見結(jié)論的應(yīng)用.如ABC中，點D是BC的中點，則,【變式訓(xùn)練】(2015秦皇島高一檢測)已知向量a=(6，4)，b=(0，2)，=a+b，O為坐標原點，若點C在函數(shù)的圖象上，則實數(shù)的值為_.,【解析】由題意得=(6，4)+(0，2)=(6，4+2)， 故點C的坐標為(6，4+2)， 根據(jù)條件得4+2=sin=1，解

6、得. 答案：,【補償訓(xùn)練】(2015廣元高一檢測)如圖，已知 用，表示，則等于() 【解析】選C.,類型二 平面向量數(shù)量積的運算 【典例2】(1)ABC的外接圓半徑為1，圓心為O， 且則的值為() (2)(2015湖北高考)已知向量則 =_.,(3)(2015北京高一檢測)如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為1，M，N分別是BC，DE上的動點，且滿足. 若M，N分別是BC，DE的中點，求的值； 求的取值范圍.,(3)如圖，以AB所在直線為x軸，以A為坐標原點建立平面直角坐標系. 因為多邊形ABCDEF是邊長為1的正六邊形，且M，N分別是BC，DE的中點，所以所以,【延伸探究】在典例(1)中，若

7、則BAC的大小是多 少？ 【解析】由已知可得由向量加法的平行四邊形法則可 知，四邊形OACB是四條邊均為1的平行四邊形，故OAC為等邊三角 形，OAC=2BAC=60，所以BAC=30.,【方法技巧】向量數(shù)量積的求解策略 (1)利用數(shù)量積的定義、運算律求解： 在數(shù)量積運算律中，有兩個形似實數(shù)的完全平方和(差)公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛，即(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，上述兩公式以及(a+b)(a-b)=a2-b2這一類似于實數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用.,(2)借助零向量： 即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”，再合理使用向量的

8、移項以及平方等變形，求解數(shù)量積. (3)借助平行向量與垂直向量： 即借助向量的拆分，將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直條件關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積，借助ab，則ab=0等解決問題. (4)建立坐標系，利用坐標運算求解數(shù)量積.,【變式訓(xùn)練】如圖所示，P為AOB所在平面內(nèi)一點，向量 且P在線段AB的垂直平分線上，向量若|a|=3，|b|=2，則c(a-b)的值為() A.5B.3C.D.,【解析】選C.設(shè)AB中點為D，,【補償訓(xùn)練】如圖所示，在RtABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問：的夾角取何值時，的值最大？并求出這個最大值.,【解題指南】解答本題的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形，利用向

9、量的三角形法則找出向量之間的關(guān)系；或建立適當?shù)淖鴺讼?，利用向量的坐標形式來解?,【解析】以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系. 設(shè)B(b，0)，C(0，c)，所以b2+c2=a2. 設(shè)P點坐標為(x，y)，則Q點坐標為(-x，-y)， 且x2+y2=a2，則=(x-b，y)，=(-x，-y-c).,又 而 所以 所以當cos=1時，有最大值0，即當=0(即的方向相同)時，最大，最大值為0.,類型三 平面向量的平行與垂直問題 【典例3】(1)已知向量a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4).若為實數(shù)，(a+b)c，則=() A.B.C.1D.2 (2)在平面

10、直角坐標系xOy中，已知 若ABO=90，則實數(shù)t的值為_.,(3)已知平面內(nèi)A，B，C三點共線，O為原點， 且求實數(shù)m，n的值.,【解析】(1)選B.因為向量a=(1，2)，b=(1，0)，可得 a+b=(1+，2)，由(a+b)c得(1+)4-32=0， 所以=. (2)因為ABO=90，易知 所以即32+2(2-t)=0，所以t=5. 答案：5,(3)因為A，B，C三點共線，所以,【延伸探究】在典例(1)的條件下，是否存在非零常數(shù)，使a+b與a-c平行，若平行，是同向還是反向？ 【解析】因為a+b=(1+，2)， a-c=(1-3，2-4)，若a+b與a-c平行，則(1+)(2-4)-2

11、(1-3)=0.解得=1. 所以a+b=(2，2)，a-c=(-2，-2)，a+b與a-c反向. 即存在=1使a+b與a-c平行且反向.,【方法技巧】 1.證明共線問題常用的方法 (1)向量a，b(a0)共線存在唯一實數(shù)，使b=a. (2)向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)共線x1y2-x2y1=0. (3)向量a與b共線|ab|=|a|b|. (4)向量a與b共線存在不全為零的實數(shù)1，2，使1a+2b=0.,2.證明平面向量垂直問題的常用方法 abab=0 x1x2+y1y2=0， 其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2).,【變式訓(xùn)練】(1)已知向量a=(1，-1)，b=(1，2

12、)，向量c滿足(c+b)a，(c-a)b，則c等于() A.(2，1)B.(1，0)C.D.(0，-1) 【解析】選A.設(shè)c=(x，y)，由(c+b)a，(c-a)b可得 解得 因此c=(2，1).,(2)已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若(ma+nb)(a-2b)， 則等于_. 【解析】ma+nb=(2m，3m)+(-n，2n) =(2m-n，3m+2n)， a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1). 由(ma+nb)(a-2b)-(2m-n)=4(3m+2n)， 整理得14m=-7n， 則=-. 答案：-,【補償訓(xùn)練】已知向量a，b不共線，c=ka+b，d=a-b. (1

13、)若cd，求k的值，并判斷c，d是否同向. (2)若|a|=|b|，a與b的夾角為60，當k為何值時，cd？,【解析】(1)cd，故c=d，即ka+b=(a-b). 又a，b不共線，所以得 即c=-d，故c與d反向. (2)cd=(ka+b)(a-b)=ka2-kab+ab-b2 =(k-1)a2+(1-k)|a|2cos60， 又cd，故(k-1)a2+a2=0. 即(k-1)+=0.解得k=1.,類型四 平面向量的模與夾角 【典例4】(1)向量a，b滿足(a-b)(2a+b)=-4，且|a|=2，|b|=4，則a，b的夾角等于_. (2)已知|a|=4，|b|=8，a與b的夾角是120.

14、計算|a+b|，|4a-2b|； 當k為何值時，(a+2b)(ka-b)？,【解析】(1)設(shè)a與b的夾角為，因為|a|=2，|b|=4， 由(a-b)(2a+b)=-4得， 2|a|2-ab-|b|2=-4，即ab=-4， 所以cos 所以=120. 答案：120,(2)由已知， 因為|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48， 所以|a+b|=4. 因為|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=3162， 所以|4a-2b|=16. 若(a+2b)(ka-b)，則(a+2b)(ka-b)=0， 所以ka2+(2k-1)ab-2b2=

15、0， 即16k-16(2k-1)-264=0，所以k=-7.,【方法技巧】 1.解決向量模的問題常用的策略 (1)應(yīng)用公式：|a|=(其中a=(x，y). (2)應(yīng)用三角形或平行四邊形法則. (3)應(yīng)用向量不等式|a|-|b|ab|a|+|b|. (4)研究模的平方|ab|2=(ab)2.,2.求向量的夾角 設(shè)非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，兩向量夾角(0)的余弦,【變式訓(xùn)練】平面向量a與b的夾角為60，a=(2，0)，|b|=1， 則|a+2b|等于() A.2B.2C.4D. 【解析】選B.由已知得|a|=2， |a+2b|2=a2+4ab+4b2 =4+421cos60+

16、4=12， 所以|a+2b|=2.,【補償訓(xùn)練】(2015安陽高一檢測)已知非零向量a，b滿足|a|=1，且(a-b)(a+b)=. (1)求|b|. (2)當ab= 時，求向量a與b的夾角的值.,【解析】(1)因為(a-b)(a+b)=， 所以a2-b2=，所以|b|2=|a|2-=1-=， 故|b|=. (2)因為 又0180，所以=45.,類型五 平面向量在解析幾何和物理方面的應(yīng)用 【典例5】(1)已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足則點P的軌跡一定通過ABC的() A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心,(2)已知向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向北航行km”， 則向量a+b表示() A.向東北方向航行2 km B.向北偏東30方向航行2 km C.向北偏東60方向航行2 km D.向東北方向航行(1+)km,【解析】(1)選D.由原等式得根據(jù)平行四邊形法 則，知是ABC的中線所對應(yīng)向量的2倍，所以點P的軌跡必過ABC的重心. (2)選B.a與b的夾角為90，則ab=0， 則 a(a+b)=|a|2+ab=1. 設(shè)a與a+b的夾角為， 則 所以=60，即a+b表示向北偏東30方向航行2km