1、第 五 節(jié),常系數(shù)線(xiàn)性微分方程,一、常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程通解求法,n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,n階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,-特征方程,將其代入上方程, 得,故有,特征根,1. 二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的通解求法, 有兩個(gè)不相等的實(shí)根,兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解,得齊次方程的通解為,特征根為, 有兩個(gè)相等的實(shí)根,得齊次方程的通解為, 有一對(duì)共軛復(fù)根,得齊次方程的通解為, 有兩個(gè)相等的實(shí)根,一特解為,得齊次方程的通解為,特征根為,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例1,例2,解,特征方程為,解得,故所求通解為,2

2、. n 階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法,特征方程為,注意,n次代數(shù)方程有n個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).,特征根為,故所求通解為,解,特征方程為:,例3 解方程:,例4 解方程:,解,特征方程為:,特征根為,故所求通解為,練習(xí) 求方程的通解：,答案：,二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程,對(duì)應(yīng)齊次方程,則(1)通解結(jié)構(gòu),難點(diǎn)：如何求特解 ？,方法：待定系數(shù)法.,二. 二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程解的求法,則有特解:,上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程（k是重根次數(shù)）.,注意,的特解:,例 寫(xiě)出下列方程的特解形式:,解 1.,特征方程為:,解 2.,特征方程為:

3、,解,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解為,例 4,例 5,解,特征根,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,不,代入方程, 得,原方程通解為:,例 6,解,原方程通解為:,則特解為:,解,例5,寫(xiě)出下列方程的特解形式:,特征根,的特解,的特解,解,對(duì)應(yīng)齊方通解,代入原方程:,例6,是特征方程的單根,比較系數(shù)得:,通解為:,四、小結(jié),1. 二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:,（1）寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程; （2）求出特征根; （3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.,(見(jiàn)下表),2. 非齊次方程求特解:,解,特征方程,對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為,設(shè)原方程的特解為,例9 解方程,原方程

4、的一個(gè)特解為,故原方程的通解為,代入初始條件.有,04考題,補(bǔ)充題,例5,解,特征方程,特征根,對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為,設(shè)原方程的特解為,原方程的一個(gè)特解為,故原方程的通解為,例6,解,代入方程，得,故方程的通解為,解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)變量代換可化為常系數(shù)微分方程.,二、歐拉方程,特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同,作變量變換,將自變量換為,用D表示對(duì)自變量t的求導(dǎo)運(yùn)算,則,一般地，,例 8,求,的通解,解,作變量變換,四、小結(jié),1. 二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:,（1）寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程; （2）求出特征根; （3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.,(見(jiàn)下表),原方程化為,即,或,(1),其特征方程,設(shè)特解:,通解:,2. 非齊次方程求特解:,解,例10,則