1、鞏義一高 數(shù)學(xué)組 王偉華,知識(shí)回顧,165,5 16,3,15,3 1,除數(shù),商,余數(shù),被除數(shù),中國(guó)剩余定理（孫子定理）,公元5世紀(jì)，孫子算經(jīng)首次提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？即一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)數(shù)。這類問(wèn)題是什么樣的問(wèn)題？,導(dǎo)入新課,今天是星期四，再過(guò)15天就是中秋節(jié)了，問(wèn)中秋節(jié)是星期幾？,因?yàn)?，一個(gè)星期有7天，而157=21，即15=721，所以中秋節(jié)是星期五.,解析：,2018年的國(guó)慶是星期一，2019年的國(guó)慶是星期幾？,因?yàn)椋?019年有365天，而365=7521，所以，2020年的元旦應(yīng)該是星期

2、二.,解析：,在月歷表中位于同一列的整數(shù)被7除后的余數(shù)有什么規(guī)律？在其他的月歷中是否也有同樣的規(guī)律？,本節(jié)我們將學(xué)習(xí)利用余數(shù)來(lái)解決生活中的問(wèn)題.,以上問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求用7去除總的天數(shù)后所得的余數(shù).在日常生活中，時(shí)常要注意兩個(gè)整數(shù)用某一固定的自然數(shù)去除，所得的余數(shù)問(wèn)題.,鞏義市第一高級(jí)中學(xué) 王偉華,高中數(shù)學(xué) 選修4-6 人教A版,同 余,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.通過(guò)舉例，引出同余的概念和符號(hào). 能利用同余的概念和符號(hào)解決相關(guān)習(xí)題，說(shuō)出同余符號(hào)代表的含義.,2.觀察同余與整除的聯(lián)系，通過(guò)實(shí)例記住同余的判定定理，并應(yīng)用同余的判定定理解決具體問(wèn)題.,3.通過(guò)對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)和規(guī)律總結(jié)，能夠結(jié)合以前所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出新

3、的知識(shí)或性質(zhì)，培養(yǎng)勇于探究的精神.,學(xué)習(xí)重難點(diǎn),1.準(zhǔn)確理解同余的概念，正確的使用同余的符號(hào).,2.探究證明同余的一些重要結(jié)論.,靈活運(yùn)用同余的概念和定理解決實(shí)際問(wèn)題.,125=22,175=32,225=42,275=52,325=62,375=72,觀察上表有什么規(guī)律,通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)被5整除后，得到的余數(shù)是相同的，這種情況我們成為模5同余.,同余概念:,定義 : 一般地，設(shè)n為正整數(shù)，a和b為整數(shù).如果a和b被n除后余數(shù)相同，那么稱a和b模n同余，記作,如果余數(shù)不同，則稱a與b模n不同余，記作,mod符號(hào)的由來(lái)？,小知識(shí),同余的概念和符號(hào)是高斯（Gauss）在1800年左右給出的

4、。,例1、下列式子是否成立？,試一試,1）26和-14同時(shí)被4除判斷他們的同余性，并用符號(hào)表示. 2）-14和22同時(shí)被4除判斷他們的同余性，并用符號(hào)表示. 3）26和22同時(shí)被4除判斷他們的同余性，并用符號(hào)表示. 4）26減去-14能否被4整除？,264=42,解析：,1),-144=-42,由定義知26和-14同余，故可寫成,26 -14 (mod 4),-144=-42,2),224=52,由定義知-14和22同余，故可寫成,-14 22 (mod 4),-14 -26 (mod 4),或,22 -14 (mod 4),或,264=-42,3),224=52,由定義知26和4同余，故可寫

5、成,26 22 (mod 4),26 22 (mod 4),或,解析：,4),26-(-14) =40,440,有什么簡(jiǎn)便方法判斷,同余判定:,證明：由帶余除法，可設(shè) anq1+r1,(0r1n), bnq2+r2 , (0r2n), 若 a b (modn) ，則r1r2 , a b n(q1q2)，即n | (ab).,因此n | (r1 r2 ), 而 -nr1r2n 所以只有r1r2 0，r1r2 ,即 a b (modn) .,例2、判斷下列數(shù)對(duì)模是否同余,1、3與25對(duì)于模2 2、649與747對(duì)于模59 3、136與158對(duì)于模11 4、7與38對(duì)于模12 5、571與629對(duì)于

6、模29,同余性質(zhì):,1 反身性： a a (mod n). 2 對(duì)稱性：若 a b (mod n)，則 b a (mod n). 3 傳遞性：若 a b (mod n), b c (mod n), 則 a c (mod n).,問(wèn)題：,那么下列式子成立嗎？,用a和b代替22和15，c和d代替8和1，k代替5，m代替10，同學(xué)們寫出一般性的結(jié)論并證明.,(1,1),(2,4),(-2,4),(-1,1),同余性質(zhì):,4.若a b (mod n)，c d (mod n) ， 則 （1）a + c b + d (mod n) , ac bd (mod n). （2）ac bd (mod n) （3）ka kb (mod n), k 為任意整數(shù)； （4） ，m為正整數(shù).,5.若ab ac (mod n)，且(a,n)=1 ，則b c (mod n) .,5.若ab ac (mod n)，且(a,n)=1 ，則b c (mod n) .,證明：,【例2】,【例3】,1.2006年“五一節(jié)”是星期一，同年“國(guó)慶節(jié)”是星期（ ）,課堂