1、,第8章 MATLAB數(shù)值積分與微分 8.1 數(shù)值積分 8.2 數(shù)值微分,8.1 數(shù)值積分 8.1.1 數(shù)值積分基本原理 求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間a,b分成n個子區(qū)間xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。,8.1.2 數(shù)值積分的實(shí)現(xiàn)方法 1變步長辛普生法 基于變步長辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)

2、其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。,例8-1 求定積分。 (1) 建立被積函數(shù)文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。 S,n=quad(fesin,0,3*pi) S = 0.9008 n = 77,2牛頓柯特斯法 基于牛頓柯特斯法，MATLAB給出了quad

3、8函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace) 其中參數(shù)的含義和quad函數(shù)相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數(shù)可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。,例8-2 求定積分。 (1) 被積函數(shù)文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x); (2) 調(diào)用函數(shù)quad8求定積分。 I=quad8(fx,0,pi) I = 2.4674,例8-3 分別用quad函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，

4、并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。 調(diào)用函數(shù)quad求定積分： format long; fx=inline(exp(-x); I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254766 n = 65,調(diào)用函數(shù)quad8求定積分： format long; fx=inline(exp(-x); I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254754 n = 33,3被積函數(shù)由一個表格定義 在MATLAB中，對由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。 例

5、8-4 用trapz函數(shù)計算定積分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量 trapz(X,Y) ans = 0.28579682416393,8.1.3 二重定積分的數(shù)值求解 使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 該函數(shù)求f(x,y)在a,bc,d區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。,例8-5 計算二重定積分 (1) 建立一個函數(shù)文件fxy.m： function f=fxy(x,y)

6、global ki; ki=ki+1; %ki用于統(tǒng)計被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù) f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y); (2) 調(diào)用dblquad函數(shù)求解。 global ki;ki=0; I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1) ki I = 1.57449318974494 ki = 1038,8.2 數(shù)值微分 8.2.1 數(shù)值差分與差商 8.2.2 數(shù)值微分的實(shí)現(xiàn) 在MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為： DX=diff(X)：計算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。 DX=dif

7、f(X,n)：計算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。 DX=diff(A,n,dim)：計算矩陣A的n階差分，dim=1時(缺省狀態(tài))，按列計算差分；dim=2，按行計算差分。,例8-6 生成以向量V=1,2,3,4,5,6為基礎(chǔ)的范得蒙矩陣，按列進(jìn)行差分運(yùn)算。 命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V) %計算V的一階差分,例8-7 用不同的方法求函數(shù)f(x)的數(shù)值導(dǎo)數(shù)，并在同一個坐標(biāo)系中做出f(x)的圖像。 程序如下： f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2); g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5); x=-3:0.01:3; p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多項(xiàng)式p擬合f(x) dp=polyder(p); %對擬合多項(xiàng)式p求導(dǎo)數(shù)dp dpx=polyva