1、你不必吃完整一頭牛，才知道它的 肉是咬不動的。 Samel Johnson,第 6 章 抽樣與抽樣分布,第 6 章 抽樣與抽樣分布,6.1 概率抽樣方法 6.2 三種不同性質(zhì)的分布 6.3 一個總體參數(shù)推斷時樣本統(tǒng)計量的抽樣 分布 6.4 兩個總體參數(shù)推斷時樣本統(tǒng)計量的抽樣 分布,學習目標,了解概率抽樣方法 區(qū)分總體分布、樣本分布、抽樣分布 理解抽樣分布與總體分布的關(guān)系 掌握單總體參數(shù)推斷時樣本統(tǒng)計量的分布 掌握雙總體參數(shù)推斷時樣本統(tǒng)計量的分布,6.1 概率抽樣方法,6.1.1 簡單隨機抽樣 6.1.2 分層抽樣 6.1.3 系統(tǒng)抽樣 6.1.4 整群抽樣,抽樣方法,概率抽樣(probabil

2、ity sampling),根據(jù)一個已知的概率來抽取樣本單位，也稱隨機抽樣 特點 按一定的概率以隨機原則抽取樣本 抽取樣本時使每個單位都有一定的機會被抽中 每個單位被抽中的概率是已知的，或是可以計算出來的 當用樣本對總體目標量進行 估計時，要考慮到每個樣本 單位被抽中的概率,簡單隨機抽樣(simple random sampling),從總體N個單位(元素)中隨機地抽取n個單位作為樣本，使得總體中每一個元素都有相同的機會(概率)被抽中 抽取元素的具體方法有重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣 特點 簡單、直觀，在抽樣框完整時，可直接從中抽取樣本 用樣本統(tǒng)計量對目標量進行估計比較方便 局限性 當N很大時，不易構(gòu)

3、造抽樣框 抽出的單位很分散，給實施調(diào)查增加了困難 沒有利用其他輔助信息以提高估計的效率,簡單隨機樣本(simple random sample),由簡單隨機抽樣形成的樣本 從總體N個單位中隨機地抽取n個單位作為樣本，使得每一個容量為n樣本都有相同的機會(概率)被抽中 參數(shù)估計和假設(shè)檢驗所依據(jù)的主要是簡單隨機樣本,簡單隨機抽樣(用Excel對分類數(shù)據(jù)隨機抽樣),【例】某班級共有30名學生，他們的名單如右表。用Excel抽出一個由5個學生構(gòu)成的隨機樣本,簡單隨機抽樣(用Excel對分類數(shù)據(jù)隨機抽樣),第1步：將30個學生的名單錄入到Excel工作表中的一列 第2步：給每個學生一個數(shù)字代碼，分別為1

4、，2，30，并按 順序排列，將代碼錄入到Excel工作表中的一列，與學 生名單相對應(yīng) 第3步：選擇【工具】下拉菜單，并選擇【數(shù)據(jù)分析】選項， 然后在【數(shù)據(jù)分析】選項中選擇【抽樣】 第4步：在【抽樣】對話框中的【輸入?yún)^(qū)域】中輸入學生代碼 區(qū)域，在【抽樣方法】中單擊【隨機】 。在【樣本 數(shù)】中輸入需要抽樣的學生個數(shù)。在【輸出區(qū)域】中 選擇抽樣結(jié)果放置的區(qū)域?！敬_定】后即得到要抽取 的樣本, 用Excel對分類數(shù)據(jù)抽樣,簡單隨機抽樣(用Excel對數(shù)值型數(shù)據(jù)隨機抽樣),第1步：將原始數(shù)據(jù)錄入到Excel工作表中的一列 第2步：選擇【工具】下拉菜單，并選擇【數(shù)據(jù)分析 】選項 ， 然后在【數(shù)據(jù)分析】選項

5、中選擇【抽樣】 第3步：在【抽樣】對話框中的【輸入?yún)^(qū)域】中輸入原始數(shù)據(jù) 區(qū)域，在【抽樣方法】中單擊【隨機】。在【樣本 數(shù)】中輸入需要抽樣的數(shù)據(jù)個數(shù)。在【輸出區(qū)域】 中選擇抽樣結(jié)果放置的區(qū)域?！敬_定】后即得到要 抽取的樣本數(shù)據(jù), 用Excel對數(shù)值型數(shù)據(jù)抽樣,分層抽樣(stratified sampling),將總體單位按某種特征或某種規(guī)則劃分為不同的層，然后從不同的層中獨立、隨機地抽取樣本 優(yōu)點 保證樣本的結(jié)構(gòu)與總體的結(jié)構(gòu)比較相近，從而提高估計的精度 組織實施調(diào)查方便 既可以對總體參數(shù)進行估計，也可以對各層的目標量進行估計,系統(tǒng)抽樣(systematic sampling),將總體中的所有單位

6、(抽樣單位)按一定順序排列，在規(guī)定的范圍內(nèi)隨機地抽取一個單位作為初始單位，然后按事先規(guī)定好的規(guī)則確定其他樣本單位 先從數(shù)字1到k之間隨機抽取一個數(shù)字r作為初始單位，以后依次取r+k，r+2k等單位 優(yōu)點：操作簡便，可提高估計的精度 缺點：對估計量方差的估計比較困難,整群抽樣(cluster sampling),將總體中若干個單位合并為組(群)，抽樣時直接抽取群，然后對中選群中的所有單位全部實施調(diào)查 特點 抽樣時只需群的抽樣框，可簡化工作量 調(diào)查的地點相對集中，節(jié)省調(diào)查費用，方便調(diào)查的實施 缺點是估計的精度較差,多階段抽樣(multi-stage sampling),先抽取群，但并不是調(diào)查群內(nèi)的

7、所有單位，而是再進行一步抽樣，從選中的群中抽取出若干個單位進行調(diào)查 群是初級抽樣單位，第二階段抽取的是最終抽樣單位。將該方法推廣，使抽樣的段數(shù)增多，就稱為多階段抽樣 具有整群抽樣的優(yōu)點，保證樣本相對集中，節(jié)約調(diào)查費用 需要包含所有低階段抽樣單位的抽樣框；同時由于實行了再抽樣，使調(diào)查單位在更廣泛的范圍內(nèi)展開 在大規(guī)模的抽樣調(diào)查中，經(jīng)常被采用的方法,統(tǒng)計量,1、統(tǒng)計量的概念 2、常用統(tǒng)計量 3、次序統(tǒng)計量 4、充分統(tǒng)計量,6.2 三種不同性質(zhì)的分布,6.2.1 總體分布 6.2.2 樣本分布 6.2.3 抽樣分布,總體中各元素的觀察值所形成的分布 分布通常是未知的 可以假定它服從某種分布,總體分布

8、(population distribution),一個樣本中各觀察值的分布 也稱經(jīng)驗分布 當樣本容量n逐漸增大時，樣本分布逐漸接近總體的分布,樣本分布(sample distribution),樣本統(tǒng)計量的概率分布，是一種理論分布 在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由該統(tǒng)計量的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布 隨機變量是 樣本統(tǒng)計量 樣本均值, 樣本比例，樣本方差等 結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本 提供了樣本統(tǒng)計量長遠而穩(wěn)定的信息，是進行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學性的重要依據(jù),抽樣分布 (sampling distribution),抽樣分布的形成過程 (sampling distributi

9、on),三大抽樣分布,大家很快會看到，有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標準正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應(yīng)用，這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達式，它們被稱為統(tǒng)計中的“ 三大抽樣分布 ” 。,2 分布(卡方分布),定義 設(shè) X1, X2, Xn, 獨立同分布于標準 正態(tài)分布N(0,1) ，則2= X12+ Xn2的分布稱 為自由度為n 的2分布，記為 2 2(n) 。,當隨機變量 2 2(n) 時，對給定 (01)，稱滿足 P(2 12(n) 的 12(n) 是自由度為n1的卡方分布的1 分位數(shù). 分位數(shù) 12(n) 可以從附表

10、3 中查到。,該密度函數(shù)的圖像是一只取非負值的偏態(tài)分布,F 分布,定義 設(shè)X1 2(m), X2 2(n), X1與X2獨立，則稱 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度為 m 與 n 的 F分布，記為F F(m, n)，其中m 稱為分子自由度，n 稱為分母自由度。,當隨機變量F F(m,n) 時，對給定 (01) ，稱滿足 P(F F1(m,n) =1 的F1(m,n) 是自由度為m 與 n 的F 分布的1 分位數(shù)。,由 F 分布的構(gòu)造知 F(n,m) = 1/F1(m,n)。,該密度函數(shù)的圖象也是一只取非負值的偏態(tài)分布,t 分布,定義 設(shè)隨機變量X1 與X2 獨立， 且X1 N(

11、0,1), X2 2(n), 則稱,的分布為自由度為n 的t 分布，記為t t(n) 。,t 分布的密度函數(shù)的圖象是一個關(guān)于縱軸對稱的分布，與標準正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標準正態(tài)分布低一些尾部的概率比標準正態(tài)分布的大一些。,n1時, t 分布的數(shù)學期望存在且為0； n2時，t 分布的方差存在，且為n/(n2)； 當自由度較大 (如n30) 時， t 分布可以用 正態(tài)分布 N(0,1)近似。,自由度為1的 t 分布就是標準柯西分布， 它的均值不存在；,當隨機變量t t(n) 時，稱滿足 P(t t1(n) =1 的 t1(n) 是自由度為 n 的 t 分布的1分位數(shù). 分位數(shù) t1(

12、n) 可以從附表4中查到。 譬如 n=10,=0.05，那么從附表4上查得 t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 .,由于 t 分布的密度函數(shù)關(guān)于0 對稱, 故其分位數(shù)間有如下關(guān)系 t(n1)= t1(n1),一些重要結(jié)論,定理 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(, 2) 的 樣本，其樣本均值和樣本方差分別為,和,x = xi/n,(3) (n1) s2/2 2(n1)。,則有,與 s2 相互獨立；,(2) x N(, 2/n) ；,推論 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(1, 12) 的 樣本，y1, y2, yn 是來自N(2, 22) 的樣本， 且此兩樣本相互獨立

13、，則有,特別，若12 =22 ，則,F=sx2/sy2 F(m1,n1),推論 在推論的記號下，設(shè) 12 =22 = 2 ，并記,則,充分統(tǒng)計量,充分性的概念,例 為研究某個運動員的打靶命中率，我們 對該運動員進行測試，觀測其10次，發(fā)現(xiàn)除第 三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的 觀測結(jié)果包含了兩種信息：,(1) 打靶10次命中8次；,(2) 2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6次 打靶上。,第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有什么幫助的。一般地，設(shè)我們對該運動員進行n 次觀測，得到 x1, x2, xn，每個xj 取值非0即1，命中為1，不命中為0。令 T = x1+xn ，T為觀測到的命

14、中次數(shù)。在這種場合僅僅記錄使用T 不會丟失任何與命中率 有關(guān)的信息，統(tǒng)計上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。,樣本 x=(x1,x2,xn) 有一個樣本分布F (x)， 這個分布包含了樣本中一切有關(guān)的信息。,統(tǒng)計量T =T (x1,x2,xn) 也有一個抽樣分布FT(t) ，當我們期望用統(tǒng)計量T 代替原始樣本并且不損失任何有關(guān) 的信息時，也就是期望抽樣分布 FT(t) 像 F(x) 一樣概括了有關(guān) 的一切信息，這即是說在統(tǒng)計量 T 的取值為 t 的情況下,樣本 x 的條件分布 F(x|T=t) 已不含 的信息，這正是統(tǒng)計量具有充分性的含義。,定義 設(shè) x1, x2, , xn 是來自

15、某個總體 的樣本，總體分布函數(shù)為F ( x ; )，統(tǒng)計 量 T = T(x1, x2, , xn) 稱為 的充分統(tǒng)計 量，如果在給定T 的取值后，x1, x2, xn 的條件分布與 無關(guān).,因子分解定理,充分性原則： 在統(tǒng)計學中有一個 基本原則- 在充分統(tǒng)計量存在的場合，任何統(tǒng)計推斷都 可以基于充分統(tǒng)計量進行，這可以簡化統(tǒng)計 推斷的程序。,定理 設(shè)總體概率函數(shù)為 p(x ; )， X1, , Xn 為樣本，則 T=T(X1, Xn) 為充分統(tǒng)計量的充分 必要條件是：存在兩個函數(shù)g(t; )和h(x1, , xn)， 使得對任意的 和任一組觀測值 x1, x2, xn，有,p(x1, x2,

16、xn; ) =g(T(x1,x2,xn); )h(x1,x2,xn),抽樣分布,1、統(tǒng)計量 2、樣本均值分布 3、中心極限定理,6.3 樣本統(tǒng)計量的抽樣分布 (一個總體參數(shù)推斷時),6.3.1 樣本均值的抽樣分布 6.3.2 樣本比例的抽樣分布 6.3.3 樣本方差的抽樣分布,樣本均值的抽樣分布,在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本均值的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布 一種理論概率分布 推斷總體均值的理論基礎(chǔ),樣本均值的抽樣分布,樣本均值的抽樣分布(例題分析),【例】設(shè)一個總體，含有4個元素(個體) ，即總體單位數(shù)N=4。4 個個體分別為x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。總體的均值、方差

17、及分布如下,均值和方差,樣本均值的抽樣分布 (例題分析), 現(xiàn)從總體中抽取n2的簡單隨機樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果為,樣本均值的抽樣分布 (例題分析), 計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布,樣本均值的分布與總體分布的比較 (例題分析), = 2.5 2 =1.25,總體分布,樣本均值的抽樣分布與中心極限定理,當總體服從正態(tài)分布N(,2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值x也服從正態(tài)分布，x 的數(shù)學期望為，方差為2/n。即xN(,2/n),中心極限定理(central limit theorem),從均值為，方差為 2的一個任意總體中抽取

18、容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為，方差為2/n的正態(tài)分布,中心極限定理 (central limit theorem),x 的分布趨于正態(tài)分布的過程,抽樣分布與總體分布的關(guān)系,總體分布,正態(tài)分布,非正態(tài)分布,大樣本,小樣本,樣本均值 正態(tài)分布,樣本均值 正態(tài)分布,樣本均值 非正態(tài)分布,樣本均值的數(shù)學期望 樣本均值的方差 重復(fù)抽樣 不重復(fù)抽樣,樣本均值的抽樣分布(數(shù)學期望與方差),樣本均值的抽樣分布(數(shù)學期望與方差),比較及結(jié)論：1. 樣本均值的均值(數(shù)學期望) 等于總體均值 2. 樣本均值的方差等于總體方差的1/n,統(tǒng)計量的標準誤 (standard error)

19、,樣本統(tǒng)計量的抽樣分布的標準差，稱為統(tǒng)計量的標準誤，也稱為標準誤差 標準誤衡量的是統(tǒng)計量的離散程度，它測度了用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的精確程度 以樣本均值的抽樣分布為例，在重復(fù)抽樣條件下，樣本均值的標準誤為,估計的標準誤 (standard error of estimation),當計算標準誤時涉及的總體參數(shù)未知時，用樣本統(tǒng)計量代替計算的標準誤，稱為估計的標準誤 以樣本均值的抽樣分布為例，當總體標準差未知時，可用樣本標準差s代替，則在重復(fù)抽樣條件下，樣本均值的估計標準誤為,樣本比例的抽樣分布,總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比 不同性別的人與全部人數(shù)之比 合格品(或不合格品

20、) 與全部產(chǎn)品總數(shù)之比 總體比例可表示為 樣本比例可表示為,比例(proportion),在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本比例的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布 一種理論概率分布 當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似 推斷總體比例的理論基礎(chǔ),樣本比例的抽樣分布,樣本比例的數(shù)學期望 樣本比例的方差 重復(fù)抽樣 不重復(fù)抽樣,樣本比例的抽樣分布(數(shù)學期望與方差),樣本方差的抽樣分布,樣本方差的分布,在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本方差的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布 對于來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，則比值 的抽樣分布服從自由度為 (n -1) 的2分布，即,由阿貝(Abbe) 于18

21、63年首先給出，后來由海爾墨特(Hermert)和卡皮爾遜(KPearson) 分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來 設(shè) ，則 令 ，則 Y 服從自由度為1的2分布，即 當總體 ，從中抽取容量為n的樣本，則,2分布(2 distribution),分布的變量值始終為正 分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱 期望為E(2)=n，方差為D(2)=2n(n為自由度) 可加性：若U和V為兩個獨立的服從2分布的隨機變量，U2(n1)，V2(n2),則U+V這一隨機變量服從自由度為n1+n2的2分布,2分布(性質(zhì)和特點),c2分布(圖示),c2分布(例題

22、的圖示),c2分布(用Excel計算c2分布的概率),利用Excel提供的CHIDIST統(tǒng)計函數(shù)，計算c2分布右單尾的概率值 語法為CHIDIST(x,df)，其中df為自由度，x是隨機變量的取值 給定自由度和統(tǒng)計量取值的右尾概率，也可以利用“插入函數(shù)”命令來實現(xiàn) 計算自由度為8，統(tǒng)計量的取值大于10的概率, 用Excel計算c2 分布的概率,c2分布(用Excel計算c2分布的臨界值),利用Excel提供的CHIINV統(tǒng)計函數(shù)，計算分布右單尾的概率值為的臨界值 語法為CHIINV(,df)，其中df為自由度 給定自由度和分布右尾概率為的臨界值也可以利用“插入函數(shù)”命令來實現(xiàn) 計算自由度為10

23、，右尾概率為0.1的臨界值, 用Excel計算c2 分布的臨界值,c2分布(用Excel生成c2分布的臨界值表),第一步：將c2分布自由度df的值輸入到工作表的 A列，將右尾概率的取值輸入到第1行 第二步：在B2單元格輸入公式 “=CHIINV(B$1,$A2)” 然后將其向下、向右復(fù)制即可得到分布 的臨界值表, 用Excel生成c2 分布的臨界值表,c2分布 (用Excel繪制c2分布圖),第1步：在工作表的第1列A2：A62輸入應(yīng)一個等差數(shù)列，初始 值為“0”，步長為“1”，終值為“60” 第2步：在單元格B1輸入c2分布自由度(如“15”) 第3步：在單元格B2輸入公式“=CHIDIST

24、(A2,$B$1)”，并將其 復(fù)制到B3：B62區(qū)域 第4步：在單元格C2輸入公“=B2-B3”，并將其復(fù)制到C3：C62 區(qū)域 第5步：將A2：A62作為橫坐標、C2：C62作為縱坐標，根據(jù)“ 圖表向?qū)А崩L制折線圖, 用Excel繪制c2分布圖,c2分布 (用Excel繪制c2分布圖),6.4 樣本統(tǒng)計量的抽樣分布 (兩個總體參數(shù)推斷時),6.4.1 兩個樣本均值之差的抽樣分布 6.4.2 兩個樣本比例之差的抽樣分布 6.4.3 兩個樣本方差比的抽樣分布,兩個樣本均值之差的抽樣分布,兩個總體都為正態(tài)分布，即 ， 兩個樣本均值之差 的抽樣分布服從正態(tài)分布，其分布的數(shù)學期望為兩個總體均值之差 方

25、差為各自的方差之和,兩個樣本均值之差的抽樣分布,兩個樣本均值之差的抽樣分布,兩個樣本比例之差的抽樣分布,兩個總體都服從二項分布 分別從兩個總體中抽取容量為n1和n2的獨立樣本，當兩個樣本都為大樣本時，兩個樣本比例之差的抽樣分布可用正態(tài)分布來近似 分布的數(shù)學期望為 方差為各自的方差之和,兩個樣本比例之差的抽樣分布,兩個樣本方差比的抽樣分布,兩個樣本方差比的抽樣分布,兩個總體都為正態(tài)分布，即X1N(1 ,12)，X2N(2 ,22 ) 從兩個總體中分別抽取容量為n1和n2的獨立樣本 兩個樣本方差比的抽樣分布，服從分子自由度為(n1-1)，分母自由度為(n2-1) 的F分布，即,由統(tǒng)計學家費希爾(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一個字母來命名 設(shè)若U為服從自由度為n1的2分布，即U2(n1)，V為服從自由度為n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互獨立，則 稱F為服從自由度n1和n2的F分布，記為,F分布(F distribution),F分布(圖示), 不同自由度的F分布,F 分布(用Excel計算F分布的概率),利用Excel提供的FDIST統(tǒng)計函數(shù)，計算分布右單尾的概率值 其語法為FDIST(x,