1、第 9 章,梁的變形與剛度設(shè)計(jì),DESIGN OF BEAMS FOR BENDING DEFLECTIONS,一。 彎曲變形概念,受載荷作用后，梁的軸線將彎曲成為一條光滑的連續(xù)曲線 在平面彎曲的情況下，這是一條位于載荷所在平面內(nèi)的平 面曲線。梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。,梁截面有沿垂直方向的線位移v，稱為撓度；相對(duì)于原截面轉(zhuǎn)過的角位移，稱為轉(zhuǎn)角,撓曲線是一條連續(xù)光滑平面曲線，其方程是,撓度v截面形心在坐標(biāo)y方向上的位移，其正負(fù)號(hào)與y坐標(biāo)軸正負(fù)相符；,轉(zhuǎn)角橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，其正負(fù)號(hào)，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)，在小變形 情況下，有,二。 撓曲線的近似微分方程,對(duì)梁，有：,對(duì)平面曲線，有關(guān)系式

2、：,由上兩式可得：,考慮到彎矩M的符號(hào)與撓曲線凸向之間的關(guān)系,可見，M與v的符號(hào)相同，撓曲線的近似微分方程為：,三。計(jì)算彎曲變形的積分法,用直接積分法求梁的彎曲變形：彎矩方程是一個(gè)分段函數(shù)，設(shè)某段函數(shù)為Mi，則該段的 微分方程是,積分一次得,再積分一次得,如果M(x)是n段分段函數(shù)(i=1,2,.,n)，則要決定2n個(gè)積分常數(shù)，它們可以通過下列條件決定： 1. 邊界條件：指梁的約束條件，一根靜定梁有2個(gè)約束條件； (1) 固定端截面：撓度和轉(zhuǎn)角均為0； (2) 鉸鏈約束：撓度為0；,2. 光滑連續(xù)性條件：撓曲線的任意點(diǎn)上的撓度和轉(zhuǎn)角是唯一的，n段分段函數(shù)有(n-1) 個(gè)分段點(diǎn)，在分段點(diǎn)上有：j

3、=j+1，vj=vj+1(j=1,2,n-1) ，共有2(n-1)個(gè)條件；而不會(huì) 出現(xiàn)撓度和轉(zhuǎn)角不等情況。,在工程計(jì)算中，習(xí)慣上用f來表示梁在指定截面處的撓度。,例9-1 求圖示簡支梁受集中載荷P作用下的彎曲變形A、B和最大撓度。,解 使用積分法求轉(zhuǎn)角和撓度。 求約束反力。取梁AB作為研究對(duì)象，加上約束力 RA和RB，然后使用平衡方程,(b) 求彎矩方程。因AC、CB兩段彎矩方程不同，分別寫出彎矩方程,CB段,AC段,(c) 列撓曲線微分方程并二次積分。,CB段,AC段,(d) 決定積分常數(shù)。利用支座A、B處邊界條件和左、右兩段梁連接處C的光滑連續(xù)性 條件代入上述轉(zhuǎn)角和撓度方程，確定積分常數(shù)

4、(1) 光滑連續(xù)性條件,(2) 邊界條件:,(e) 結(jié)果（轉(zhuǎn)角和撓度方程）。 AC段,CB段,(f) 求指定截面的彎曲變形。,要決定最大撓度，令：,在ab時(shí)，最大撓度發(fā)生在AC段，可求得,則最大撓度為,四。計(jì)算彎曲變形的疊加法,在幾個(gè)載荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的此物理量 的總和（代數(shù)和或矢量和）。這就是疊加原理。,例9-2 用疊加法求圖示外伸梁的C和vC，梁的抗彎剛度是EI。,解 使用疊加積分法求轉(zhuǎn)角和撓度。,(a) 將梁上的載荷分解為三種簡單載荷單獨(dú)作用的情形。,(b) 而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨(dú)作用的情形。,(c) 應(yīng)用撓度表確定三種下，梁c點(diǎn)

5、處的轉(zhuǎn)角和撓度。查表：,而對(duì)第三種情形下二種載荷單獨(dú)作用下，應(yīng)用疊加法進(jìn)行疊加。,(d) 應(yīng)用疊加法，將三種情形下轉(zhuǎn)角和撓度疊加。,五。梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì),1.梁的剛度條件 指梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不能超過許可值，即,彎曲構(gòu)件的剛度條件。,2 剛度的合理設(shè)計(jì),對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同要求，將最大 撓度和轉(zhuǎn)角限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件。,例9-3。簡化電機(jī)軸的尺寸和載荷如圖所示，已知E=200GPa，d=130 mm，定子與轉(zhuǎn)子的許用間隙 =0.35mm；校核軸的剛度。,解 (a) 用疊加法求梁的最大撓度,(b ) 剛度校核,軸的剛度足夠

6、。,3 提高梁的彎曲剛度的措施,由梁的撓曲線近似微分方程可見，梁的彎曲變形與彎矩M（x）及抗彎剛度有關(guān)，而 影響梁彎矩的因素又包括載荷、支承情況及梁的有關(guān)長度。因此，為提高梁的剛度， 可采用如下一些措施：,1）. 選擇合理的梁截面，從而增大截面的慣性矩I； 2）. 調(diào)整加載方式，改善梁結(jié)構(gòu)，以減小彎矩：使受力部位盡可能靠近支座；或使集中 力分散成分布力； 3）. 減小梁的跨度；增加支承約束； 其中第三種措施的效果最為顯著，因?yàn)榱旱目玳L或有關(guān)長度是以其乘方影響梁的撓度和 轉(zhuǎn)角的。,六。 簡單靜不定梁,求解簡單靜不定梁。首先，根據(jù)靜不定次數(shù)選取靜不定梁的基本結(jié)構(gòu)。解除多余約束 (個(gè)數(shù)與靜不定次數(shù)相同)，用多余約束力來代替，得到靜不定梁的基本結(jié)構(gòu),其次，找出變形幾何關(guān)系，即多余約束處梁的變形應(yīng)滿足的條件 ，求出多余約束處的變形，由此得到補(bǔ)充方程，聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程，得出所有約束力 ，,例9-4。圖示桿系中，AB和CD梁的抗彎為EI，