1、2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 導(dǎo)數(shù)的概念一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s2t22t做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：米，時(shí)間單位：秒)問題1：試求質(zhì)點(diǎn)在前3秒內(nèi)的平均速度提示：8米/秒問題2：試求質(zhì)點(diǎn)在3秒時(shí)的瞬時(shí)速度提示：142t，當(dāng)t0時(shí)，14，故質(zhì)點(diǎn)在3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為14米/秒問題3：對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)x從x0變到x1時(shí)，求函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率提示：.問題4：當(dāng)x趨于0時(shí)，平均變化率趨于一個(gè)常數(shù)嗎？提示：是導(dǎo)數(shù)的概念1定義：設(shè)函數(shù)yf(x)，當(dāng)自變量x從x0變到x1時(shí)，函數(shù)值從f(x0)變到f(x1)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為，當(dāng)x1趨于x0，即x趨于0時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值，那么這個(gè)值就是

2、函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率在數(shù)學(xué)中，稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)2記法：函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，通常用符號(hào)f(x0)表示，記作f(x0)li li .導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題1：函數(shù)yf(x)在x0，x0x的平均變化率為，你能說(shuō)出它的幾何意義嗎？提示：表示過A(x0，f(x0)和B(x0x，f(x0x)兩點(diǎn)的直線的斜率問題2：當(dāng)x變化時(shí)，直線如何變化？提示：直線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)問題3：當(dāng)x0時(shí)，直線變化到哪里？提示：直線過點(diǎn)A與曲線yf(x)相切位置導(dǎo)數(shù)的幾何意義1割線的定義：函數(shù)yf(x)在x0，x0x的平均變化率為，它是過A(x0，f(x0)和B(x0x，f(x0x)兩

3、點(diǎn)的直線的斜率，這條直線稱為曲線yf(x)在點(diǎn)A處的一條割線2切線的定義：當(dāng)x趨于零時(shí)，點(diǎn)B將沿著曲線yf(x)趨于點(diǎn)A，割線AB將繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)最后趨于直線l，直線l和曲線yf(x)在點(diǎn)A處“相切”，稱直線l為曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線3導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率1函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的平均變化率在當(dāng)自變量的改變量趨于零時(shí)的極限，若li 存在，則函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處就有導(dǎo)數(shù)2f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在切點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率 求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)y在x2處的導(dǎo)數(shù)思路點(diǎn)撥

4、由所給函數(shù)解析式求yf(xx0)f(x0)；計(jì)算；求li .精解詳析f(x)，yf(2x)f(2)1，li li 1，f(2)1.一點(diǎn)通由導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法：求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；求平均變化率；取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x0).1函數(shù)yx2在x1處的導(dǎo)數(shù)為()A2xB2xC2 D.1解析：yx2在x1處的導(dǎo)數(shù)為：f(1)2.答案：C2設(shè)函數(shù)f(x)axb，若f(1)f(1)2，則f(2)_.解析：函數(shù)f(x)axb在x1處的導(dǎo)數(shù)為f(1)li li li a，又f(1)2，得a2，而f(1)2，有ab2，于是b0，所以f(x)2x，有f(2)4.答案：4

5、3求函數(shù)f(x)x在x1處的導(dǎo)數(shù)解：y(1x)x，1，2，從而f(1)2.求曲線的切線方程例2已知曲線y3x2x，求曲線上的點(diǎn)A(1,2)處的切線斜率及切線方程思路點(diǎn)撥利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程精解詳析因?yàn)?3x，當(dāng)x趨于0時(shí)，53x趨于5，所以曲線y3x2x在點(diǎn)A(1,2)處的切線斜率是5.所以切線方程為y25(x1)，即5xy30.一點(diǎn)通求曲線在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)；(2)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)4曲線yx2在點(diǎn)(1,1)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面

6、積為()A. B.C1 D.2解析：f(1)li li li (2x)2.則曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.因?yàn)閥2x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0，1)，所以所求三角形的面積為S1.答案：A5求曲線f(x)在點(diǎn)(2，1)處的切線方程解：點(diǎn)(2，1)在曲線y上，曲線y在點(diǎn)(2，1)處的切線斜率就等于y在x2處的導(dǎo)數(shù)kf(2)li li li ，曲線y在點(diǎn)(2，1)處的切線方程為y1(x2)，整理得x2y40.導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用例3已知拋物線y2x21，求：(1)拋物線上哪一點(diǎn)處的切線的傾斜角為45？(2)拋物線上哪一點(diǎn)處的切線平行于直線4xy20?(3)拋物線上哪一點(diǎn)處

7、的切線垂直于直線x8y30?精解詳析設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x.當(dāng)x趨于零時(shí)，趨于4x0.即f(x0)4x0.(1)拋物線的切線的傾斜角為45，切線的斜率為tan 451，即f(x0)4x01，得x0，該點(diǎn)為.(2)拋物線的切線平行于直線4xy20，切線的斜率為4，即f(x0)4x04，得x01，該點(diǎn)為(1,3)(3)拋物線的切線與直線x8y30垂直，切線的斜率為8，即f(x0)4x08，得x02，該點(diǎn)為(2,9)一點(diǎn)通解答此類題目時(shí)，所給的直線的傾斜角或斜率是解題的關(guān)鍵，由這些信息得知函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可求此點(diǎn)的橫坐標(biāo)解題時(shí)注意

8、解析幾何中直線方程知識(shí)的應(yīng)用，如直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，直線的平行、垂直等6曲線yx23x在點(diǎn)P處的切線平行于x軸，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析：根據(jù)題意可設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，y(xx)23(xx)(x23x)2xx(x)23x，2xx3.f(x)li li (2xx3)2x3.由f(x0)0，即2x030，得x0，代入曲線方程得y0.所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.答案：7已知函數(shù)yf(x)的圖像在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程是yx2，則f(1)f(1)_.解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，易得f(1)，由切線方程得f(1)12，所以f(1)f(1)3.答案：38求經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且與曲線y相切的直線方程解：可以驗(yàn)

9、證點(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)由yli li li .故所求直線方程為yy0(xx0)由點(diǎn)(2,0)在所求的直線上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲線y上，得x0y01，聯(lián)立可解得x01，y01，所以直線方程為xy20.求曲線的切線方程，首先要判斷所給點(diǎn)是否在曲線上若在曲線上，可用切線方程的一般方法求解；若不在曲線上，可設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，結(jié)合已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)或切線斜率，從而得到切線方程 1函數(shù)yf(x)13x在x2處的導(dǎo)數(shù)為()A3B2C5 D.1解析：yf(2x)f(2)3x，3，x趨于0時(shí)，趨于3.答案：A2拋物線yx2在點(diǎn)Q(2,1)處的切線方程為(

10、)Axy10 Bxy30Cxy10 D.xy10解析：f(2)li li 1，過點(diǎn)(2,1)的切線方程為y11(x2)，即xy10.故選A.答案：A3.已知曲線C：yx3的圖像如圖所示，則斜率等于3，且與曲線C相切的直線有()A1條B2條C3條D不確定解析：由yx3得3x23xx(x)2，則yli3x23xx(x)23x2，由3x23，得x1，即存在2條斜率等于3且與曲線C相切的直線，故選B.答案：B4已知函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，則f(xA)與f(xB)的大小關(guān)系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能確定解析：由圖像易知，點(diǎn)A，B處的切線斜率kA，

11、kB滿足kAkB0.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得f(xA)f(xB)答案：B5已知曲線y2x24x在點(diǎn)P處切線斜率為16，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_解析：設(shè)P(x0,2x4x0)，則f(x0)4x04，又f(x0)16，4x0416，x03，P(3,30)答案：(3,30)6.如圖，函數(shù)f(x)的圖像是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則li _.解析：由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知，li f(1)kAB2.答案：27已知點(diǎn)P(2，1)在曲線f(x)上求：(1)曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率；(2)曲線在點(diǎn)P處的切線方程解：(1)將P(2，1)的坐標(biāo)代入f(x)，得t1，f(x).f(2)1，曲線在點(diǎn)P處的切線