1、.例談初中數(shù)學(xué)思想方法東莞市可園中學(xué)李永義【摘要】： 本文通過對具體的數(shù)學(xué)問題的分析來闡述了特殊與一般思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、化歸思想、幾何變換思想以及方程與函數(shù)思想等數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】：初中數(shù)學(xué)；思想方法；特殊與一般；分類討論；數(shù)形結(jié)合；整體思想；化歸思想；幾何變換思想；方程與函數(shù)思想數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識中錘煉升華的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想，是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁，是數(shù)學(xué)的精髓，是數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)科固有的靈魂，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中

2、體現(xiàn)，只有充分掌握領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想才能有效提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。初中數(shù)學(xué)思想主要包括特殊與一般思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、整體思想、幾何變換思想、函數(shù)與方程思想等。1特殊與一般思想特殊與一般思想是指：對于在一般情況下難以求解的問題，可以運(yùn)用特殊化思想，通過取特殊值、特殊圖形等，找到解題的規(guī)律和方法，進(jìn)而推廣到一般，從而使問題順利求解，包含從“特殊到一般”和“一般到特殊”兩個相反方向的思路。例 1(2007 年青島中考題改編 ). 如圖 1，在四邊形 abcd 中，p 是 ad 邊上任意一點(diǎn)， pbc 與 abc 和 dbc 的面積之間有什么關(guān)系？解析：為了解決這個問題，我們可以先

3、從一些簡單的、特殊的情形入手：（1）當(dāng) ap1pdad時（如圖2）：a2ap 1 ad ， abp 和 abd 的高相等，2s abp 1 sabd 2pdad ap 1 ad ， cdp 和 cda 的高相等，2s cdp 1 scda 2s pbc s 四邊形 abcd s abp s cdp s 四邊形 abcd 1 s abd 1 s cda22bc圖 1dpab圖 2cs 四邊形 abcd 1 (s 四邊形 abcd sdbc) 1 (s 四邊形 abcd s abc )22 1 s dbc 1 s abc 22adp（2）按照這種思路我們可以得到：當(dāng) ap1時（如圖 ） pbc1d

4、bc 2 abc b圖 3cad3 s3s3s3 dbc n當(dāng) ap1（n表示正整數(shù)）時， pbc11 abc adsssnnn當(dāng) ap m ad （ n 表示正整數(shù)）時， spbc msdbc nnm s abc nn本題從特殊情況入手，發(fā)現(xiàn)解題的思路技巧，并用此思路技巧解決更一般的問題，將結(jié)論進(jìn)行推廣，從而達(dá)到解決問題的途徑。例 2（2010 年東莞市中考題）閱讀下列材料：121 (123012),323134123),(23341 (345234),3.由以上三個等式相加，可得1223341345203讀完以上材料，請你計算下各題：（1） 1 2 2 3 3 4l10 11（寫出過程）；

5、（2）122334ln(n 1)_ ；（3） 1 2 3 2 3 4 345l789_解析：由題目給出的12,23,3這幾個具體式子的信息 ，4我們可以得到122334.n(n 1)11)( n2)這個一般規(guī)律。n(n3而且由此我們可以進(jìn)一 步猜想推斷：1），（1 2 341 2 3 4 - 0 1 2 323412 3 45 -123），451456 - 2 3），（44334 5 .41本題先研究問題并得到：23234345 .n(n1)( n 2)n( n1)(n2)( n3).14如果我們不滿足于此， 我們是否可以進(jìn)一步設(shè) 想：123n2 34( n1)345(n2)n(n1)(n2)

6、 2n1n( n1)(n2)2n(2n1)n 1的幾種特殊情形，再探索并歸納出一般性的結(jié)論或規(guī)律，然后運(yùn)用歸納出的規(guī)律解決具體問題。2.分類討論思想分類討論的思想是指當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時，我們需要對這一問題進(jìn)行必要的分類。將一個數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合。它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法。例 3（2010 年福建寧德中考題改編） 如圖 4，在梯形 abcd中， adbc， b90， bc6，ad3， dcb 30 . 點(diǎn) e、f 同時從 b 點(diǎn)出發(fā)，沿射線 bc向右勻速移動 . 已

7、知 f 點(diǎn)移動速度是 e 點(diǎn)移動速度的 2 倍，以 ef 為一邊在 cb的上方作等邊 efg設(shè) e 點(diǎn)移動距離為 x（0x 6） . 若 efg與梯形 abcd重疊部分面積是 y，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式。adgbefc圖 4解析：隨著 e點(diǎn)移動的距離不同， efg與梯形 abcd重疊部分圖形也不同， 因此我們要根據(jù) x 的不同取值分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0x 2時， efg在梯形內(nèi)部，如圖4,所以 y3x2；abcd4當(dāng) 2 x 3 時，如圖 5，點(diǎn) e、點(diǎn) f 在線段 bc上，efg與梯形 abcd重疊部分為四邊形efnm， fnc fcn30, fn fc62x. gn3x 6.由

8、于在 rt nmg中， g60，.所以，此時 y3x23 （3x ） 27 329 39 3.486xx822 x 6時，如圖6，點(diǎn)e在線段bc上，點(diǎn)f在射線上，當(dāng) 3chefg與梯形 abcd重疊部分為 ecp，ec 6 x,y 3 （ 6 x） 2 3 x23 3 x9 3 .g8822gadadmnpbef cbech圖 6圖5當(dāng)題目中滿足條件的圖形形狀不能確定時，就應(yīng)根據(jù)題意，構(gòu)造符合題意的各種圖形，動中取靜，然后分情況加以討論。例4.函數(shù) yax 2ax3x1的圖像與 x軸有且只有一個交點(diǎn)。 求a的值及交點(diǎn)坐標(biāo)。解析：本題中的函數(shù)可 以是一次函數(shù)，也可以 是二次函數(shù)，故應(yīng)對二 次項系

9、數(shù) 分a兩種情形討論 :（）當(dāng)時，2ax3x是一次函數(shù)y3x 1,與 軸交于點(diǎn)（1）；1 . a0yax1x-,0ax 23( 2).當(dāng)a0時， yax3x1是二次函數(shù)，20,則 （3 - a） - 4a則 a 1或 a 9.當(dāng) a 1時，交點(diǎn)坐標(biāo)為（ -1,0）；當(dāng) a 9時，交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 ,0）.3所以 a的值和交點(diǎn)分別是： a0,( 1,0);： a1,( 1,0);： a9,( 1,0).33對于含有參數(shù)的方程、不等式及函數(shù)等問題，通常要運(yùn)用分類討論的思想來處理。3. 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問題的有效途徑和重要策略，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美、統(tǒng)一美。數(shù)形結(jié)合不僅使幾何問題獲得了

10、有力的代數(shù)工具，同時也使許多代數(shù)問題具有了顯明的直觀性。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中十分重要的思想，在數(shù)學(xué)問題的解決中具有數(shù)學(xué)獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。例5.求yx 24x13x 22 x2的最小值。解析：初中生直接去解這個問題非常困難。但是若利用 “兩點(diǎn)間距離公式”，則這個問題變成了一個幾何問題。解題思路：x24x13( x2) 2(03) 2把兩個根式進(jìn)行變形：x22x2(x1)2(01)2它們分別表示平面直角坐標(biāo)系中位于x 軸上的點(diǎn) m（ x， 0）到 a（-2 ， 3）的距離及點(diǎn) m（x ，0）到 b（1，1）的距離。（見圖 7）.圖圖73.6圖 8圖 3.7就是說22yx 4x= |am|

11、+ |mb|13 x 2x2這樣原來的代數(shù)的問題現(xiàn)在變成了一個幾何問題：在 x 軸上找一點(diǎn) m使得 |am| + |mb|最小，因?yàn)?a（ -2 ，3）關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)就是a（ -2 ， -3 ）所以 y 的最小值 = |a b| =2283 = 54。（見圖 ）例6.如圖 9，正方形 opqr內(nèi)接于 abc,已知 aor、 bop、crq的面積分別是s1 1，s2 3和s3 1.求正方形 opqr的邊長。解析：設(shè)正方形opqr 的邊長為 x，作 abc 的 bc邊上的高 ad 交 or于 f .在 rt aor中，由 s11， or x，得 af2 .axor6,qc2.f同理： bpx

12、x由 s abcs1s2 s3s四邊形 opqr ,得12622.bpd qc（x)(x) 1 3 1 x2xxx圖 9解得 x2.本題為了求邊長，需利用“等面積原理”列出關(guān)于邊長的方程，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，使問題得以順利解決。4.整體思想所謂整體思想， 就是當(dāng)我們遇到問題時， 不著眼于問題的各個部分， 而是有意識地放大考慮問題的視角，將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體與局部的內(nèi)在聯(lián)系來解決問題的思想。例7.(2009年東莞市中考題） .解方程 : xx 24 0。解析：本題表面看是我們初中階段沒學(xué)過的無理方程，但我們只要把x2看成一個整體，令x2t

13、 ,則 x t 22,因此，原方程就轉(zhuǎn)化為t 22 t 4 0這樣一個我們熟悉的、已知的關(guān)于 t的一元二次方程了，問題也就迎刃而解了。例8.已知 、 是方程 x 27x20的兩根。且,求 23的值。解析：由已知有7，2，()2() 2441,41令 a23 , b23則 ab2()3()28;.2()（-）-4，a b341由兩式相加得 a14241, 兩式相減得 b 14 2 41.利用整體求和的方法不僅球處理 a，而且得到了b這一副產(chǎn)品，可謂一箭雙雕。5化歸思想化歸思想 ,指的是轉(zhuǎn)化與歸結(jié) .即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問題,通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程 ,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行轉(zhuǎn)化 ,

14、歸結(jié)到某個或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題 ,從而最終解決原問題的一種思想 . 如未知向已知轉(zhuǎn)化 ;復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化 ;命題之間的轉(zhuǎn)化 ;數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 ;空間向平面的轉(zhuǎn)化 ;高次向低次的轉(zhuǎn)化 ;多元向一元的轉(zhuǎn)化 ;無限向有限的轉(zhuǎn)化等 ,都是化歸思想的體現(xiàn) .xyz例9.解方程組 234xy2z 35解析：考慮到 xyz 的特征，可用換元的方 法，把 、 三元轉(zhuǎn)化為一元，234x yz從而設(shè) xyzk ,則x2k , y 3k, z4k.2342k3k8k0,k5,從而 x 10, y15, z20.例 10（ 2006 年東莞市中考試題）如圖10，已知圓柱體底面圓的半徑為2 ， 高為

15、2，ab、cd分別是兩底面的直徑， ad、 bc 是母線，若一只小蟲從a 點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到c 點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長度是_(結(jié)果保留根式 ) 。dc圖 10a圖 11b解析：將圓柱側(cè)面沿母線ad 展開，得到如圖11 所示的矩形，從而將曲面上的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題，最短路線即為線段ac 的長度，即為 2 2 。例 已知三條拋物線y1 x2x m, y2 x22mx 4, y3 mx2中至少有11.mx m 1一條與 x軸相交，試求實(shí)數(shù) m的取值范圍。解析：本題若從正面思考，必須對“只有y1與 x軸相交”，“只有y2與 x軸相交”,“只有 y3與 x軸相交”，“只有 y1、y2與x軸相

16、交”，“只有 y1、 y3 與x軸相交”，“只有 y2、 y3 與x軸相交”，“ y1、 y2、y3都與 x軸相交”共七種情況一 一討論，顯然太繁瑣?？紤]到條 件“至少有一條與 x軸相交”的反面是“都 與 x軸不相交”，反而情形單一。因此， 轉(zhuǎn)化為在反面條件下解 出 m的取值范圍，便可簡捷 地得出.原問題的解。若三條拋物線都與 x軸不相交時，有1- 4m04m 2160m24m( m1)0.6 幾何變換思想解之得4m2.又m 0,3當(dāng)三條拋物線中至少有一條與 x軸相交時， m的取值范圍為 m4 且 m0或 m 2.3幾何變換就是幾何圖形在平面上滿足某種條件的運(yùn)動，運(yùn)用幾何變換可以把分散的點(diǎn)、線

17、段、角等已知圖形轉(zhuǎn)移到恰當(dāng)?shù)奈恢?，從而使分散的條件都集中在某個圖形中，建立起新的聯(lián)系，從而使問題得以轉(zhuǎn)化解決。在初中數(shù)學(xué)中，幾何變換主要有平移變換、對稱變換和旋轉(zhuǎn)變換等三種。例12.如圖12要設(shè)計一副寬 20cm,長 30cm的圖案，其中有兩橫兩 豎的彩條，橫豎彩條的寬度之比為 3 : 2，如果要使彩條所占面 積是圖案面積的四分之 一，應(yīng)如何設(shè)計彩條的寬度？解析：彩條所占面積為 四分圖之12一，則其余部分 為四分之三圖，13如果把其 余部分一個部分一個部分計算相 加的話，顯然不可能。 我們可以考慮把橫豎彩 帶通過平移移到一邊，這樣剩余 的部分就是一個長方形 了，如圖 13。我們就很容易列出方程

18、了。設(shè)橫的每一條 彩帶的寬度為 3xcm，則豎的每一條彩帶的 寬度為 2xcm.則得方程：（ 20 - 6x)(30 4x)32030.4例13.如圖14， a、 b兩個化工廠位于一段直線形河堤的同側(cè)，a工廠到河堤的距離ac為1km，b工廠到河堤的距離 bd 為2km，經(jīng)測量河堤上 c、 d 兩地間的距離為 61km?，F(xiàn)準(zhǔn)備在河堤邊修建一個污水處理廠 ，為使 a、 b兩廠到污水處理廠的排 污管道最短，污水處理 廠應(yīng)建在距離 c地多遠(yuǎn)的地方？b解析：可以作出 a點(diǎn)關(guān)于直線 cd的a對稱點(diǎn) a ,把直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化 為直線異側(cè)的問題，即兩點(diǎn)之間線段最短的問題，連接b, a與p 的交點(diǎn)p即為所求的

19、污水廠的位 置，如圖 例14.（2008年東abcddcacpc2即可。14所示。然后由 acp bdp 得到bd, 進(jìn)而得到 pcapde圖 14莞市中考試題）（ 1）如圖 15，點(diǎn) o 是線段 ad 的中點(diǎn)，分別以 ao 和 do 為邊在線段 ad 的同側(cè)作等邊三角形 oab 和等邊三角形 ocd，連結(jié) ac 和 bd，相交于點(diǎn) e，連結(jié) bc求 aeb 的大小；cbbcedoaoa（2）如圖 16，圖 15d圖 16ocd 繞著點(diǎn) o 旋轉(zhuǎn)（oab 和oab 固定不動，保持ocd 的形狀和大小不變，將ocd 不能重疊 )，求 aeb 的大小 .解析：此題一般思路是 通過證coa，得到ac

20、obdo,dob所以aebdecdoc60。但要從這么多角中很 快找出這些角的關(guān)系并不容易，如果我 們能考慮到因?yàn)?do co, aobo,docboa 60 ， 7.方程與函數(shù)思想所以可以看成由dob繞點(diǎn)o順時針旋轉(zhuǎn)60得到，而ac和bd是對應(yīng)邊，coa所以與所成的角就是旋轉(zhuǎn)角， 即60 ,所以aeb60。ac bd方程與函數(shù)的思想是處理常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的重要思想，在解決一般數(shù)學(xué)問題中具有重大的意義。對一個較為復(fù)雜的問題，常常只須尋找等量關(guān)系，列出一個或幾個方程（方程組）或函數(shù)關(guān)系式，就能很好地得到解決。例15.如圖17，已知 abc的面積為 s，作直線 l / bc,且l 與ab、ac交于 d、e兩點(diǎn)，記 bed的面積為 s1，求證： s11 s.4解析：直接證這個不等 式較為困難，但根據(jù)圖 形特點(diǎn)易知 ade abc，于是可利用相似三角形 的性質(zhì)，構(gòu)造一元二次 方程，再利用根的判別 式就顯得很簡單了。a略解：設(shè) s ade x,xad 2el / bc,adeabc,() .sadesabl d又adx.x(x2.s abeabx s1s)xs1整理得： x 2(2s1s) xs12bc0.x為實(shí)數(shù)，