1、第三章 離散系統(tǒng)的時域分析,連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的比較,連續(xù)系統(tǒng),常系數(shù)線性微分方程 卷積積分,離散系統(tǒng),常系數(shù)線性差分方程 卷積和,LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng) 單位序列和單位序列響應(yīng) 卷積和,本章要點：,差分與差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程 差分方程解 數(shù)值解、經(jīng)典解，以及不同特征根對應(yīng)的齊次解和不同激勵對應(yīng)的特解 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),一、差分與差分方程,1、前向差分與后向差分,一階后向差分,一階前向差分,2、前向差分與后向差分的關(guān)系,3、差分方程的一般形式,將各階差分寫為y(k)及其各移位序列的線性組合：,常系數(shù)差分方程，用來描述LTI離散系統(tǒng)； 變系數(shù)

2、差分方程,1、用迭代法求差分方程的數(shù)值解差分方程是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程，當(dāng)已知初始條件和激勵時可以利用迭代法求得差分方程的數(shù)值解當(dāng)差分方程階次較低時可以使用此法,二、差分方程的解,例3.11 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為,已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵f(k)=2k(k),求y(k),解：將差分方程中除y(k)以外的各項都移到等號右端，得,對k=2，將已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得,依次迭代可得,特點：便于用計算機求解,例3.11,若單輸入-單輸出的LTI系統(tǒng)的激勵為f(k),全響應(yīng)為y(k)，則描述系統(tǒng)激勵與響應(yīng)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階常系數(shù)線性差分方程，一

3、般可寫為：,2、差分方程的經(jīng)典解,解由齊次解和特解兩部分組成：,1）齊次解：齊次方程,的解稱為齊次解.,它的n個根i（i=1,2, ,n)稱為差分方程 的特征根,令y(k)=Ck,均為單實根時的齊次解： 1為r重根，其余(n-r)為特征單根： 有一對共軛復(fù)根1 、2=a+jb Yh(k)=kCcos(k)+Dsin(k) （其中=arctan(b/a)，=(a2+b2)1/2,幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解,激勵函數(shù)f(t),響應(yīng)函數(shù)y(t)的特解,選定特解后代入原差分方程，求出待定系數(shù)就得出方程的特解。,3）全解,代入初始條件求出待定系數(shù)Ci ，于是得到完全解的閉式 見書P88,解：方程的特征方

4、程為,例3.1-2,若描述某系統(tǒng)的差分方程為,已知初始條件y(0)=0,y(1)=-1,激勵f(k)=2k,k0。求方程的全解,特征根為1 22，為二重根，齊次解為,由題意，設(shè)特解為,將yp(k)代入到原方程得,全解為：,將已知條件代入，得C11,C2=1/4,自由響應(yīng),強迫響應(yīng),1、解形式,零狀態(tài)響應(yīng)，僅由激勵引起,零輸入響應(yīng)，激勵為零時的響應(yīng),三、零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng),當(dāng)特征根均為單根時，有：,czii 由初始狀態(tài)決定，czsi由激勵決定，且ci=czii+czsi,由于yzs(k)為零狀態(tài)響應(yīng)，k0時激勵還沒有接入，所以有： yzs(-1)=yzs(-2)=yzs(-n)=0 而，y(

5、k)=yzi(k)+yzs(k)，故： yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，yzi(-n)=y(-n) -系統(tǒng)的初始狀態(tài),2、求初始值,初始值：y(0),y(1)y(n-1) 可由差分方程推出,例3.1-4 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為,已知f(k)=0,k0,初始條件y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零輸入響應(yīng),解：零輸入響應(yīng)滿足,初始狀態(tài)：,求初始值,差分方程的特征方程為：,齊次解為：,將初始值代入得：,作業(yè) P110 3.6 (2) (5),3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),一、離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 二、復(fù)習(xí)離散信號有關(guān)知識 三、單位序列和單位階躍序列 四、單位序列

6、響應(yīng)和階躍響應(yīng),一、離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng)： 當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由激勵f(k)所產(chǎn)生的響應(yīng)。用yzs(k)表示，滿足如下方程：,若特征根均為單根，則有,Czsj為待定系數(shù)，yp(k)為特解。,例3.1-5，若描述離散系統(tǒng)的差分方程為,注意：零狀態(tài)響應(yīng)的初始狀態(tài)yzs(-1), yzs(-2), yzs(-n)為零，但其初始值yzs(0)， yzs(1)， yzs(2)，, yzs(n-1)不一定為零。,其中，f(k)=2k,k0,求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。,解：零狀態(tài)響應(yīng)滿足,下一步？,令k=0,1，并將初始狀態(tài)值代入，得,由（1）式可求得解為：,方程的特征根為1-1, 2-2,所

7、以有：,將初始值代入，可求得,小結(jié)：一個初始狀態(tài)不為零的離散系統(tǒng)，在外加激勵的作用下，其完全響應(yīng)為,若特征根都為單根，則全響應(yīng)為：,齊次方程解的形式？,二、基本離散信號,定義：連續(xù)信號是連續(xù)時間變量t的函數(shù)，記為f (t)。 離散信號是離散時間變量tk（k為任意整數(shù)）的函數(shù)，記為f (tk)。 離散信號表示： （a）圖形表示：,（tkt(k1)） 在圖a中為變數(shù)；在圖b，c中為常數(shù),（b）解析表示：,三、單位序列和單位階躍序列,1. 單位序列（單位脈沖序列或單位樣值序列）：,位移單位序列：,加： (k) +2 (k) 3(k),運算：,乘： (k) (k) = (k),延時：,0,取樣性質(zhì)：f

8、 (k) (k) = f (0) (k),2. 單位階躍序列： (k),(1)定義：,(2)運算：,3) (k)與(k)的關(guān)系： (k)=(k)= (k)- (k-1) 差分表示，對應(yīng)的微分(t)=d(t)/dt (k)= 對應(yīng)的是連續(xù)系統(tǒng)的積分,式中，令 i=k-j,則當(dāng) i=-時，j= ;當(dāng) i=k時，j=0,故,四、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),單位序列響應(yīng) 當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵為單位序列(k)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為單位序列響應(yīng)，用h(k)表示。和連續(xù)系統(tǒng)的h(t)相類似。 求h(k)的方法： 解差分方程；z變換法（第六章） 由于(k)僅在k=0時等于1，而在k0時為零，因而在k0時，系統(tǒng)的

9、h(k)和系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式相同。 因此，求h(k)的問題轉(zhuǎn)化為求差分方程的齊次解的問題，而h(0)可按零狀態(tài)的條件由差分方程確定。,例題,例3.2-1 求下圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。,見書p96,（2）h(k)滿足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k) h(-1)=h(-2)=0 (3)求初始值：用迭代法 h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+ (k) h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1 (4) k0時, h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0 h(k)=c1(-1)+c2(2) h(0)=c1+c2=1

10、； h(1)=-c1+2c2=1 得 c1=1/3;c2=2/3 所以,（1）列寫差分方程： y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k),階躍響應(yīng)：g(k) 1).定義：g(k)=T0, (k) 2).h(k)與g(k)的關(guān)系：,經(jīng)典法;由h(k)求出 例：同例3.2-1 經(jīng)典法： g(k)-g(k-1)-2g(k-2)= (k) g(-1)=g(-2)=0 對k0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2）=1 齊次解：gn(k)=c1 (-1)k +c2(2)k 特解：gp(k)=p0=- ,求g(k)的方法,g(k)= c1 (-1)k + c2(2)k - k0,見書P87，表32,

11、g(-1)= -c1+2c2- =0 g(-2)= c1+ c2- =0 所以：c1 =1/6; c2=4/3,利用h(k)求g(k):,g(k)=1/6 (-1)k + 4/3(2)k - (k),3.3 卷積和,1. 卷積和的定義: f(t) yzs(t)=h(t)*f(t) (t) h(t) f(k) yzs(k)=h(k)*f(k) (k) h(k),f(k）的分解： k=-2, f(-2)* (k+2) k=-1, f(-1)* (k+1) k=0, f(0)* (k) k=1, f(1)* (k-1) k=i, f(i)* (k-i),3.一般定義:,i:求和變量 ：-+ ；k:參

12、考量：-+,3.3 卷積和,1 .序列的時域分解 任意離散序列f(k) 可表示為 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2)+ + f(i)(k i) + ,2 .任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng),根據(jù)h(k)的定義：,3 .卷積和的定義,已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和,為f1(t)與f2(t)的卷積和，簡稱卷積；記為 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虛設(shè)的變量i 下進行的，i 為求和變 量，k 為參變量。結(jié)果仍為k 的函數(shù)。,例題,例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k

13、(k) ，求yzs(k)。 解： yzs(k) = f (k) * h(k),當(dāng)i k時，(k - i) = 0,這種卷積和的計算方法稱為：解析法。,例2 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -k, 試驗證x(k)和y(k)的卷積和運算滿足交換律，即,證: 先計算x(k)*y(k)，考慮到(k)的特性，有,再計算y(k)*x(k)，同樣考慮到u(k)的特性，可得,求解過程中對k沒有限制，故上式可寫為 x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k 可見，x(k)*y(k)運算滿足交換律。,所以,例3：求 (k) * (k),解：,例4：求ak (k) * (k 4),解

14、：,考慮到(i)的特性，可將上式表示為,例 設(shè)f1(k)=e-k( k)，f2(k)= (k), 求f1(k)*f2(k)。,解 由卷積和定義式得,顯然，上式中k0，故應(yīng)寫為,二、卷積的圖解法,卷積過程可分解為四步： （1）換元： k換為i得f1(i)， f2(i) （2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)f2(i),右移k f2(k i) （3）乘積： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 從到對乘積項求和。 注意：k 為參變量。 下面舉例說明。,例1：f1(k)、f2(k)如圖所示，已 知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,（1）換元 （2） f2(i)反轉(zhuǎn)得f2(

15、i) （3） f2(i)右移2得f2(2i) （4） f1(i)乘f2(2i) （5）求和，得f(2) = 4.5,解：畫出f1(i),f2(i),f2(-i),?,列表法求卷積和,f(k) =f1(k)*f2(k)= f1(i)f2(k-i),序號：i+k-i=k,f(k),卷積和長度: N=L+M-1 (L+M是原序列長） 見書p104,四、卷積和的性質(zhì),1. 滿足乘法的三律：(1) 交換律, (2) 分配律,(3) 結(jié)合律. 2. f(k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k0) = f(k k0),4. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k) 5. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 求卷積和是本章的重點,與 (k) 卷積和:,證明:,(或用圖形卷積法證明),