1、專題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù),第 11 練研創(chuàng)新以函數(shù)為 背景的創(chuàng)新題型,在近幾年的高考命題中，以函數(shù)為背景的創(chuàng)新題型時(shí)有出現(xiàn).主要以新定義、新運(yùn)算或新規(guī)定等形式給出問(wèn)題，通過(guò)判斷、運(yùn)算解決新問(wèn)題.這種題難度一般為中檔，多出現(xiàn)在選擇題、填空題中，考查頻率雖然不是很高，但失分率較高.通過(guò)研究命題特點(diǎn)及應(yīng)對(duì)策略，可以做到有備無(wú)患.,題型分析 高考展望,體驗(yàn)高考,高考必會(huì)題型,高考題型精練,欄目索引,體驗(yàn)高考,解析,1,2,3,4,5,A.sgng(x)sgn xB.sgng(x)sgnf(x) C.sgng(x)sgn xD.sgng(x)sgnf(x),解析因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，令f(x)x， 所以g

2、(x)(1a)x， 因?yàn)閍1，所以g(x)是在R上的減函數(shù).,所以sgng(x)sgn x.,1,2,3,4,5,2.(2016山東)若函數(shù)yf(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱yf(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是() A.ysin x B.yln x C.yex D.yx3,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析對(duì)函數(shù)ysin x求導(dǎo)，得ycos x， 當(dāng)x0時(shí)，該點(diǎn)處切線l1的斜率k11， 當(dāng)x時(shí)，該點(diǎn)處切線l2的斜率k21， k1k21，l1l2；,對(duì)函數(shù)yex求導(dǎo)，得yex恒大于0，斜率之積不可能為1； 對(duì)函數(shù)yx3求導(dǎo)，得y2x

3、2恒大于等于0，斜率之積不可能為1. 故選A.,解析,1,2,3,4,5,現(xiàn)有如下命題： 對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m0； 對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n0； 對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得mn； 對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得mn. 其中的真命題有_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).,解析設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x1，g(x1)，D(x2，g(x2). 對(duì)于，從y2x的圖象可看出，mkAB0恒成立，故正確； 對(duì)于，直線CD的斜率可為負(fù)，即n0，故不正確； 對(duì)于，由mn得f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)， 即

4、f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)， 令h(x)f(x)g(x)2xx2ax， 則h(x)2xln 22xa. 由h(x)0，得2xln 22xa，(*)結(jié)合圖象知，當(dāng)a很小時(shí)，方程(*)無(wú)解， 函數(shù)h(x)不一定有極值點(diǎn)，就不一定存在x1，x2使f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，不一定存在x1，x2使得mn，故不正確；,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,對(duì)于，由mn，得f(x1)f(x2)g(x2)g(x1)， 即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)， 令F(x)f(x)g(x)2xx2ax， 則F(x)2xln 22xa. 由F(x)0，得2xln 22xa，

5、 結(jié)合如圖所示圖象可知，該方程有解， 即F(x)必有極值點(diǎn)， 存在x1，x2，使F(x1)F(x2)，使mn，故正確. 故正確.,4.(2015福建)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1，2，n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?). 已知某種二元碼x1x2x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：,其中運(yùn)算定義為000，011，101，110. 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于_.,5,1,2,3,4,5,解析,答案,解

6、析(1)x4x5x6x711011， (2)x2x3x6x710010； (3)x1x3x5x710111. 由(1)(3)知x5，x7有一個(gè)錯(cuò)誤，(2)中沒(méi)有錯(cuò)誤， x5錯(cuò)誤，故k等于5.,1,2,3,4,5,返回,若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A，則點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A； 單位圓的“伴隨曲線”是它自身； 若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C關(guān)于y軸對(duì)稱； 一條直線的“伴隨曲線”是一條直線. 其中的真命題是_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析設(shè)A的坐標(biāo)為(x，y)，,解析,同理可得縱坐標(biāo)為y，故A(x，y)，錯(cuò)誤； 設(shè)單位圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos

7、，sin )， 則P的“伴隨點(diǎn)”的坐標(biāo)為P(sin ，cos )， 則有sin2(cos )21， 所以P也在單位圓上，即單位圓的“伴隨曲線”是它自身，正確；,1,2,3,4,5,設(shè)曲線C上點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)， 其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1(x，y)也在曲線C上，,解析,A與A1關(guān)于y軸對(duì)稱，正確；,而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，下面給出嚴(yán)格證明： 設(shè)點(diǎn)P(x，y)在直線l：AxByC0上， P點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為P(x0，y0)，,返回,所以，一條直線的“伴隨曲線”不一定是一條直線，錯(cuò)誤. 綜上，真命題是.,1,2,3,4,5,高考必會(huì)題型,題型一與新定義有關(guān)的創(chuàng)新題型,解析,答案,點(diǎn)評(píng),h(x)g(

8、x)恒成立，,點(diǎn)評(píng),解答這類題目關(guān)鍵在于解讀新定義，利用定義的規(guī)定去判斷和求解是這類題目的主要解法.,點(diǎn)評(píng),(0，2),解析,答案,解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2mx1是1，1上的“平均值函數(shù)”，,即x2mx1m在區(qū)間(1，1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根， 即x2mxm10，解得xm1或x1. 又1不屬于(1，1)，所以xm1必為均值點(diǎn)， 即1m11，即0m2， 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，2).,題型二綜合型函數(shù)創(chuàng)新題 例2以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)(x)組成的集合：對(duì)于函數(shù)(x)，存在一個(gè)正數(shù)M，使得函數(shù)(x)的值域包含于區(qū)間M，M.例如，當(dāng)1(x)x3，2(x)sin x時(shí)，1

9、(x)A，2(x)B.現(xiàn)有如下命題： 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則“f(x)A”的充要條件是“bR，aD，f(a)b”； 函數(shù)f(x)B的充要條件是f(x)有最大值和最小值； 若函數(shù)f(x)，g(x)的定義域相同，且f(x)A，g(x)B，則f(x)g(x)B；,其中的真命題是_.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)),點(diǎn)評(píng),解析,解析因?yàn)閒(x)A，所以函數(shù)f(x)的值域是R， 所以滿足bR，aD，f(a)b， 同時(shí)若bR，aD，f(a)b， 則說(shuō)明函數(shù)f(x)的值域是R，則f(x)A，所以正確；,解析,但是f(x)沒(méi)有最大值，所以錯(cuò)誤； 因?yàn)閒(x)A，g(x)B且它們的定義域相同(設(shè)為m，n)， 所

10、以存在區(qū)間a，bm，n，使得f(x)在區(qū)間a，b上的值域與g(x)的值域相同，,所以存在x0a，b，使得f(x0)的值接近無(wú)窮， 所以f(x)g(x)B，所以正確； 因?yàn)楫?dāng)x2時(shí)，函數(shù)yln(x2)的值域是R，,點(diǎn)評(píng),此類題目包含了與函數(shù)有關(guān)的較多的概念、性質(zhì)及對(duì)基本問(wèn)題的處理方法.解答這類題目，一是要細(xì)心，讀題看清要求；二是要熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)及其判斷應(yīng)用的方法，掌握基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.,點(diǎn)評(píng),返回,解析,變式訓(xùn)練2如果yf(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a使得f(xa)f(x)成立，則稱此函數(shù)具有“P(a)性質(zhì)”.給出下列命題： 函數(shù)ysin x具有“P(a)性質(zhì)

11、”； 若奇函數(shù)yf(x)具有“P(2)性質(zhì)”，且f(1)1，則f(2 015)1； 若函數(shù)yf(x)具有“P(4)性質(zhì)”，圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)成中心對(duì)稱，且在(1，0)上單調(diào)遞減，則yf(x)在(2，1)上單調(diào)遞減，在(1，2)上單調(diào)遞增； 若不恒為零的函數(shù)yf(x)同時(shí)具有“P(0)性質(zhì)”和“P(3)性質(zhì)”，則函數(shù)yf(x)是周期函數(shù). 其中正確的是_(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)).,解析因?yàn)閟in (x)sin xsin (x)， 所以函數(shù)ysin x具有“P(a)性質(zhì)”， 所以正確； 因?yàn)槠婧瘮?shù)yf(x)具有“P(2)性質(zhì)”， 所以f(x2)f(x)f(x)， 所以f(x4)f(x)，周期為

12、4， 因?yàn)閒(1)1， 所以f(2 015)f(3)f(1)1. 所以不正確；,解析,因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)具有“P(4)性質(zhì)”， 所以f(x4)f(x)， 所以f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱， 即f(2x)f(2x)， 因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)(1，0)成中心對(duì)稱， 所以f(2x)f(x)，即f(2x)f(x)， 所以得出f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)， 因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)(1，0)成中心對(duì)稱， 且在(1，0)上單調(diào)遞減，,解析,所以圖象也關(guān)于點(diǎn)(1，0)成中心對(duì)稱， 且在(2，1)上單調(diào)遞減； 根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性得出在(1，2)上單調(diào)遞增，故正確； 因?yàn)榫哂小癙(0)性質(zhì)”和“P(3)性質(zhì)”， 所以f(

13、x)f(x)，f(x3)f(x)f(x)， 所以f(x)為偶函數(shù)，且周期為3，故正確.,返回,高考題型精練,1,2,3,4,5,解析,6,7,8,9,10,11,12,1.對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f(x)f(2ax)，則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)，下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是() A.f(x)cos(x1) B.f(x) x C.f(x)tan x D.f(x)x3,解析由題意知，若f(x)是準(zhǔn)偶函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱軸是直線xa，a0，選項(xiàng)B，C，D中，函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱軸； 函數(shù)f(x)cos(x1)，有對(duì)稱軸，且x0不是對(duì)稱軸，選項(xiàng)A正確.故選A.,解析,1,2,3

14、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ln(ext)為“倍縮函數(shù)”，,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ln(ext)為增函數(shù)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A.16 124 B.16 124 C.8 062 D.8 062,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,兩式相加得2S44 031，所以S8 062.故選C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,f(x)在1，3上的圖象是連續(xù)不斷的； f(x2)在1， 3 上具有性質(zhì)P； 若f(x)在x2處取得最大值1，則f(x)1，x1，3；,A. B. C. D.,1,

15、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,但f(x)在1，3上的圖象不連續(xù)，故不正確； 令f(x)x，則f(x)在1，3上具有性質(zhì)P， 但f(x2)x2在1， 3 上不具有性質(zhì)P，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,對(duì)于，假設(shè)存在x01，3，使得f(x0)1， 因?yàn)閒(x)maxf(2)1，x1，3，所以f(x0)1. 又當(dāng)1x03時(shí)，有14x03， 由f(x)在1，3上具有性質(zhì)P，得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,由于f(x0)1，f(4x0)1，與上式矛盾. 即對(duì)x1，3，有f(x)1，故正確.,對(duì)于，對(duì)x1，x2，x3，x4

16、1，3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.已知函數(shù)f(x)1|2x1|，x0，1.定義：f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，fn(x)ffn1(x)，n2，3，4，滿足fn(x)x的點(diǎn)x0，1稱為f(x)的n階不動(dòng)點(diǎn).則f(x)的n階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是() A.n B.2n2 C.2(2n1) D.2n,f1(x)的1階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,f2(x)的2階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為22， 以此類推，f(x

17、)的n階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2n.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.若集合A1，2，3，k，B4，7，a4，a23a，其中aN*，kN*，f：xy3x1，xA，yB是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，則ak_.,解析答案,7,解析由對(duì)應(yīng)法則知14，27，310，k3k1， 又aN*，a410， a23a10，解得a2(舍去a5)， 所以a416，于是3k116， k5.ak7.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.如果定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，則稱函數(shù)f(x)為

18、“H函數(shù)”.給出下列函數(shù)：,解析,解析由已知x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)得(x1x2)f(x1)f(x2)0， 所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù). 對(duì)于，yx2在(，0)上為減函數(shù)，在(0，)上為增函數(shù)，其不是“H函數(shù)”； 對(duì)于，yex1在R上為增函數(shù)，所以其為“H函數(shù)”； 對(duì)于，由于y2cos x0恒成立，所以y2xsin x是增函數(shù)，所以其為“H函數(shù)”； 對(duì)于，由于其為偶函數(shù)，所以其不可能在R上是增函數(shù)，所以不是“H函數(shù)”. 綜上知，是“H函數(shù)”的序號(hào)為.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

19、(1，2),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以f(x)開(kāi)口向下，,又0ba1，所以3a3ba1，得1a2.,(以下兩空各只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可) (1)當(dāng)f(x)_(x0)時(shí)，Mf (a，b)為a，b的幾何平均數(shù)；,解析設(shè)A(a，f(a)，B(b，f(b)，C(c，0)，則三點(diǎn)共線.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,故可以選擇f(x)x(x0).,解析答案,x,10.對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在區(qū)間Ma，b(其中ab)，使得y|yf(x)，xMM，則稱區(qū)間M為函數(shù) f(

20、x)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個(gè)函數(shù)： f(x)(x1)2； f(x)|2x1|； f(x)cos 2 x； f(x)ex. 其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)是_.(填出所有滿足條件的函數(shù)序號(hào)),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,解析據(jù)已知定義，所謂的“穩(wěn)定區(qū)間”即函數(shù)在區(qū)間a，b內(nèi)的定義域與值域相等. 問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)yf(x)的圖象與直線yx是否相交，若相交則兩交點(diǎn)所在區(qū)間即為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”. 數(shù)形結(jié)合依次判斷，均符合條件，而不符合條件. 綜上可知，均為存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析答案,1,2,3,4,

21、5,6,7,8,9,10,11,12,(1)判斷f(x)在(0，1上是否為“非完美增函數(shù)”；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以f(x)ln x在(0，1上是增函數(shù).,因?yàn)閤(0，1，所以ln x0，即F(x)0在(0，1上恒成立，,由題意知，f(x)在(0，1上不是“非完美增函數(shù)”.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)若g(x)在1，)上是“非完美增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,若g(x)在1，)上單調(diào)遞增，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以h(x)在1，)上單調(diào)遞減，h(x)maxh(1)0，所以a0. 若G(x)在1，)上單調(diào)遞減，,解析答案,即4axaxln x0在1，)上恒成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,令t(x)4axaxln x，x1，)， 因?yàn)閠(x)aln x，由知a0，所以t(x)0恒成立， 所以t(x)4axaxln x在1，)上單調(diào)遞減， 則t(x)maxt(1)