1、變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差,變異數(shù):離差(資料值與期望值的差異)平方和的平均 標(biāo)準(zhǔn)差:變異數(shù)的平方根 變異數(shù)的單位是原資料單位的平方 標(biāo)準(zhǔn)差的單位同原資料的單位 母體變異數(shù): 樣本變異數(shù): 計(jì)算樣本變異數(shù)時(shí)，分母取(n-1)而非(n)的原因: 實(shí)務(wù)上，母體變異數(shù)通常未知，須以樣本變異數(shù)估計(jì)之，而樣本變異數(shù)會(huì)隨所 抽選樣本的不同而有變動(dòng)(非固定)，若考慮很多次抽樣，每次都以” ”的 公式計(jì)算樣本變異數(shù)，則有些樣本變異數(shù)會(huì)高於母體變異數(shù)，有些則低於母體 變異數(shù)，但平均而言會(huì)與母體變異數(shù)很接近；反之，若計(jì)算樣本變異數(shù)時(shí)均除 以n，則平均而言會(huì)偏向低於母體變異數(shù),變異數(shù)(或標(biāo)準(zhǔn)差)與期望值一樣，容易受極值的影響

2、例:(起薪的資料) 若將最大值改為10,000，則,起薪的資料,變異係數(shù)(Coefficient of Variation),變異係數(shù)定義為 CV是量測(cè)相對(duì)(於期望值)分散程度的量數(shù)，表示標(biāo)準(zhǔn)差佔(zhàn)期望值的百分比，通常小於1 例:(起薪的資料) 表示薪資的分散程度約為期望值的5.6% 變異係數(shù)在財(cái)務(wù)分析上可用來(lái)計(jì)算相對(duì)的風(fēng)險(xiǎn),變數(shù)變換對(duì)期望值與標(biāo)準(zhǔn)差的影響,設(shè)變數(shù)Y為變數(shù)X的函數(shù):y=g(x) 變數(shù)Y之觀察值的期望值通常無(wú)法直接以X變數(shù)之期望值的相同函數(shù)計(jì)算，但線性函數(shù)則例外 若 則 但對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響則為,例: 假設(shè)成本(C) 是產(chǎn)量(x)的線性函數(shù)， 變動(dòng)成本+固定成本 若每月平均產(chǎn)量為 標(biāo)準(zhǔn)

3、差 則 而產(chǎn)量與成本的變異係數(shù)則分別為,Z分?jǐn)?shù)(z-score),是一個(gè)特殊的線性變數(shù)變換: 未知時(shí)以 代之,而常另稱之為t分?jǐn)?shù)(t-score) 正的Z分?jǐn)?shù)表示變數(shù)值比期望值大z個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差 負(fù)的Z分?jǐn)?shù)表示變數(shù)值比期望值小|z|個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差 變數(shù)變換後的Z分?jǐn)?shù)是無(wú)單位的，所以適用於比較不同資料集之資料值在各自資料集裡的相對(duì)位置，例如:林同學(xué)身高的z分?jǐn)?shù)為0.6，而體重的z分?jǐn)?shù)為0.2；表示比班上平均身高高0.6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，而比平均體重重0.2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差；所以在班上是屬於中等個(gè)子，但稍微高一些,經(jīng)驗(yàn)法則(Empirical Rule),若原資料呈對(duì)稱如吊鐘型的分佈，則經(jīng)變數(shù)變換後的Z分?jǐn)?shù)會(huì)變?yōu)閷?duì)稱於零的吊

4、鐘型分配，且分配的型態(tài)固定(不因標(biāo)準(zhǔn)差的大小而有不同)，此通稱為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配(Standard Normal Distribution) 大約有68%的z分?jǐn)?shù)會(huì)對(duì)稱分佈在+1之間， 大約有95%的z分?jǐn)?shù)會(huì)對(duì)稱分佈在+ 2之間， 而幾乎所有的z分?jǐn)?shù)會(huì)對(duì)稱分佈在+ 3之間,保齡球成績(jī)的資料,0,1,2,3,-1,-2,-3,68%,99.7%,95%,謝比契夫(Chebyshev) 不等式,若原資料的分佈非對(duì)稱，則至少有 的資料會(huì)落在 期望值+z倍標(biāo)準(zhǔn)差 之間， 但z須大於1,例:(起薪的資料) 若起薪分配的期望值=2,940，標(biāo)準(zhǔn)差=165.65，則至少有 75%畢業(yè)學(xué)生的起薪會(huì)在 2,940+

5、2(165.65)=(2,608.7, 3,105.65) 之間 89%畢業(yè)學(xué)生的起薪會(huì)在 2,940+3(165.65)=(2,443.05, 3,436.95) 之間 94%畢業(yè)學(xué)生的起薪會(huì)在 2,940+4(165.65)=(2,277.40, 3,602.60) 之間,離群值(Outliers),Z分?jǐn)?shù)可用來(lái)檢查資料集裡是否有離群值: 一般而言，若Z分?jǐn)?shù)的絕對(duì)值大於3，則稱對(duì)應(yīng)的資料值為離群值 離群值可能是錯(cuò)誤的資料，也可能是較特殊的資料 如果是錯(cuò)誤的資料，須訂正或移除後，才進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析 如果是特殊的資料，則可比較移除與不移除下的兩種分析結(jié)果，折衷或採(cǎi)其中之一較合理的結(jié)果,箱型圖(Bo

6、x Plot),五個(gè)統(tǒng)計(jì)量: Min, Q1, Q2, Q3, Max 繪製圖型的步驟: 由Q1, Q3劃一個(gè)箱型 以Q2將箱型分成兩部分 由箱型兩邊各劃一條平行直線，向外延伸到Min與Max 在箱型兩邊向外 1.5倍IQR 處，各劃一條垂直直線 在箱型兩邊向外 3倍IQR 處，各劃一條垂直直線 Q1, Q2, Q3大約將所有資料平分成四份,起薪資料的箱型圖,Min=2,710 Q1=2,865 Q2=2,905 Q3=3,000 Max=3,325 IQR=135 Q1-1.5 IQR=2,663 Q3+1.5 IQR=3,203,共變異數(shù)(Covariance)與相關(guān)係數(shù)(Correlat

7、ion Coefficient),量測(cè)兩量化變數(shù)之間線性關(guān)聯(lián)程度的量數(shù) 例如: 廣告次數(shù) vs. 銷售金額 溫度 vs. 餅乾的脆度 若觀察資料的序?qū)?呈現(xiàn)狹長(zhǎng)的帶狀分佈，則表示兩變數(shù)具有線性關(guān)聯(lián)，分布越集中，越有關(guān)聯(lián) 計(jì)算公式: 母體共變異數(shù): 樣本共變異數(shù): 母體相關(guān)係數(shù): 樣本相關(guān)係數(shù):,例: 廣告次數(shù)(x) vs. 銷售金額(y),相關(guān)係數(shù)是無(wú)單位的，且係數(shù)值一定會(huì)介於+1與-1之間；正的係數(shù)表示正向的相關(guān)，負(fù)的係數(shù)表示負(fù)向的相關(guān)，係數(shù)值越接近+1，相關(guān)程度越高 係數(shù)值接近零 ，表示無(wú)明顯的線性相關(guān)，但並不表示無(wú)其他非線性函數(shù)的關(guān)係， 例如:,相關(guān)係數(shù)等於0，但兩變數(shù)有拋物線的關(guān)係,相關(guān)係