1、第四章 習(xí)題課,2,主要內(nèi)容： 一.空間解析幾何 二.多元函數(shù)的極限和連續(xù) 三.偏導(dǎo)數(shù)與全微分 四.復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則,一.空間解析幾何,面,面,面,空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限,空間的點,有序數(shù)組,特殊點的表示:,坐標(biāo)軸上的點,坐標(biāo)面上的點,空間兩點間的距離,特殊地：若兩點分別為,曲面方程,定義：在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)有曲面S與三元方程,則稱方程F(x,y,z)=0為曲面 S的方程。,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形。,2）不在曲面 S上的點的坐標(biāo)均不滿足方 程F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=0 ,若滿足,平面和球面,設(shè)有三元一次方程,此方程稱為平面的一般方程.,（1）平

2、面,特殊情形, 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示,通過原點的平面;, 當(dāng) A = 0 時,平面平行于 x 軸;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D = 0 表示,平行于 y 軸的平面;,平行于 z 軸的平面;,平行于 xOy 面 的平面;,平行于 yOz 面 的平面；,平行于 zOx 面 的平面.,將,代入所設(shè)方程得,平面的截距式方程,（2）球面,解,根據(jù)題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點時方程為,定義,柱面與旋轉(zhuǎn)曲面,觀察柱面的形成過程:,

3、平行于定直線并沿定曲線C 移動的直線L所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線L 叫柱面的母線.,1、柱面,播放,柱面舉例,拋物柱面,平面,橢圓柱面.,2、旋轉(zhuǎn)曲面,定義 以一條平面曲線C 繞其平面上的一條直線L 旋轉(zhuǎn)所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸,播放,旋轉(zhuǎn)過程中的特征：,如圖,將 代入,將 代入,得方程,（2）圓錐面,（1）球面,（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面,相應(yīng)地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面性狀的截痕法：,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全

4、貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,二次曲面,（一）橢球面,橢球面與三個坐標(biāo)面的交線：,（二）拋物面,（ 與 同號）,橢圓拋物面,（ 與 同號）,雙曲拋物面（馬鞍面）,用截痕法討論：,設(shè),圖形如下：,（三）雙曲面,單葉雙曲面,（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得中心在原點 的橢圓.,雙葉雙曲面,空間曲線,北京工商大學(xué),7-4-25,2009.2.6,此為空間曲線的一般方程,空間曲線C可看作,特點：,曲線上的點都滿足方程,滿足方程的點都在曲線上,不在曲線上的點不能,同時滿足兩個方程.,空間兩曲面的交線.,(1),二.多元函數(shù)的極限和連續(xù),（1）鄰域,多元函數(shù)的概念,（2）區(qū)域,例如，,即為開集,

5、內(nèi)點.,內(nèi)點：,開集：,開集.,邊界點：,邊界點.,連通：,連通的.,開區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域,例如，,例如，,閉區(qū)域：開區(qū)域及其邊界的并集。,對于點集 E，如果存在正數(shù) K，使一切點 PE 與某一點 A 間的距離 |AP| 不超過 K，即,對于一切點 PE 成立，則稱 E 為有界點集。 否則稱為無界點集.,有界閉區(qū)域；,無界開區(qū)域,例如，,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),二元函數(shù)的定義,與一元函數(shù)相類似，對于定義域約定：,定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集.,例 求 的定義域,解,所求定義域為,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,多元函數(shù)的極限,定義（描述性）：設(shè)函數(shù) 在點

6、的某一個領(lǐng)域內(nèi)有定義（點 可除外。如果當(dāng) 無限趨于 時，函數(shù) 無限的趨于一個常數(shù)A,則稱A是函數(shù) 當(dāng) 時的極限，記作：,說明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似,（4）二重極限的幾何意義：, 0，P0 的去心 鄰域,在,內(nèi)，函數(shù),的圖形總在平面,及,之間。,注意： 是指 P 以任何方式趨于P0 .,一元中,多元中,例 設(shè),解,但取,其值隨 k 的不同而變化。,不存在,故,確定極限不存在的方法：,41,定義,多元函數(shù)的連續(xù)性,43,所以函數(shù)在原點不連續(xù).,例函數(shù)在單位圓,上各點是否連續(xù)？,若在單位圓上任何點都不連續(xù),間斷

7、點,函數(shù)的間斷點的判定（只要滿足下列一條）：,注意：二元函數(shù)可能在某些孤立點處間斷，也可能 在曲線上的所有點處均間斷。,例如，,因此，,多元初等函數(shù)： 由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四 則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表 示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。,一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域,在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點求極限可用“代入法”：,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在 D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取 得介于這兩值之間的任何值至少一

8、次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,三.偏導(dǎo)數(shù)與全微分,偏導(dǎo)數(shù)的定義,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),如三元函數(shù) 在 處,一階偏導(dǎo)數(shù)的計算,53,注意：,看成二者之商.,54,例 求z=x2+3x y+y2在點(1，2)處的偏導(dǎo)數(shù),解,55,解,56,在對x求導(dǎo)就有,得證.,57,定理1,函數(shù)z=f(x,y)在其一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時一定可微.,定理2,函數(shù)z=f(x,y)在可微點連續(xù).,定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù),連續(xù)，則它可微,且其全微分為,全增量的概念,全微分,全微分的定義,60,解 由定義知,所以,得,61,解 因為,所以,多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系,四

9、.復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則,復(fù)合函數(shù)的微分法(鏈?zhǔn)椒▌t),64,設(shè)z=f(u，v)，而u=j(x，y)，v=y(x，y)，則復(fù)合函數(shù),z=f j(x，y)，y(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)為：,二、全微分形式不變性,（1）如果 u，v 是自變量，結(jié)論顯然。,（2）如果 u，v 是中間變量，,有全微分：,事實上，,全微分形式不變形的實質(zhì)： 無論 z 是自變量 u，v 的函數(shù)或中間變量 u，v 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.,多元函數(shù)求導(dǎo)法,顯示結(jié)構(gòu),隱式結(jié)構(gòu),1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu),(畫變量關(guān)系圖),自變量個數(shù) = 變量總個數(shù) 方程總個數(shù),自變量與因變量由所求對象判定,2. 正確使用求導(dǎo)法則,“分段用乘,分叉

10、用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”,注意正確使用求導(dǎo)符號,3. 利用一階微分形式不變性,思考與練習(xí),1. 討論二重極限,解法1,解法2 令,解法3 令,時, 下列算法是否正確?,分析:,解法1,解法2 令,此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點的情況,此法排除了沿曲線趨于原點的情況.,此時極限為 1 .,第二步,未考慮分母變化的所有情況,解法3 令,此法忽略了 的任意性,極限不存在 !,由以上分析可見, 三種解法都不對,因為都不能保證,自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點 .,特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限,但要注意在定義域內(nèi) r , 的變化應(yīng)該是任意的.,同時還可看到,本題極限實際上不存在 .,提示: 利用,故 f 在 (0,0) 連續(xù);,知,在點(0,0) 處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可微 .,2. 證明:,而,所以 f 在點(0,0)不可微 !,例. 已知,求出 的表達(dá)式.,解法1