1、第六章信號(hào)的矢量空間分析 6.1 引言,信號(hào)表示式與多維矢量之間存在許多形式上的類(lèi)似，信號(hào)用多維矢量描述便于對(duì)信號(hào)的性能、信號(hào)分析與處理進(jìn)行更深入的研究。,本章主要內(nèi)容,利用矢量空間方法研究信號(hào)理論的基本概念； 信號(hào)的正交函數(shù)分解； 相關(guān)函數(shù)； 能量譜和功率譜； 相關(guān)、正交概念的應(yīng)用：匹配濾波器，碼分復(fù)用技術(shù)。,6.2 信號(hào)矢量空間的基本概念,一線性空間,定義：是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。,例:,二范數(shù),常用范數(shù),這里sup表示信號(hào)的最小上界，對(duì)于定義在閉區(qū)間內(nèi)的 信號(hào)，sup表示其幅度值。

2、,(3)常用的范數(shù),三內(nèi)積,直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩矢量相對(duì)位置關(guān)系,利用范數(shù)符號(hào)，將矢量長(zhǎng)度分別寫(xiě)作,于是,上式表明：給定的矢量長(zhǎng)度，標(biāo)量乘積式反映了兩矢量 之間相對(duì)位置的“校準(zhǔn)”情況。即,多維,三維,推廣,信號(hào)空間,對(duì)于L空間或l空間，信號(hào)x與其自身的內(nèi)積運(yùn)算為,內(nèi)的兩連續(xù)信號(hào)的內(nèi)積,四柯西施瓦茨不等式,Cauchy-Schwarz不等式,6.3 信號(hào)的正交函數(shù)分解,將任意信號(hào)分解為單元信號(hào)之和，從而考查信號(hào)的特性。,簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析與運(yùn)算， 總響應(yīng)=單元響應(yīng)之和。,信號(hào)分解的目的,誤差矢量,系數(shù),兩矢量正交,怎樣分解，能得到最小的誤差分量？,方式不是惟一的：,一矢量的正交分解,正交分解,空間中任一矢

3、量可分解為x,y,z三方向矢量。,平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。,一個(gè)三維空間矢量 ，必須用三個(gè)正交的矢量來(lái)表示，如果用二維矢量表示就會(huì)出現(xiàn)誤差：,二正交函數(shù),誤差,系數(shù),三正交函數(shù)集,分解原則是誤差函數(shù)方均值最小,理解,兩周期信號(hào)在同一周期內(nèi)(同區(qū)間內(nèi))正交的條件是c12=0，即：,總結(jié),兩個(gè)信號(hào)不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一信號(hào)。,對(duì)一般信號(hào)在給定區(qū)間正交，而在其他區(qū)間不一定滿足正交。,四.復(fù)變函數(shù)的正交特性,則此復(fù)變函數(shù)集為正交函數(shù)集。,6.4 完備正交函數(shù)集、帕塞瓦爾定理,一完備正交函數(shù)集,二帕塞瓦爾定理,物理意義： 一個(gè)信號(hào)所含有的能量（功率）恒等于此信號(hào)在完備正交函

4、數(shù)集中各分量能量（功率）之和。,信號(hào)的能量,基底信號(hào)的能量,各信號(hào)分量的能量,數(shù)學(xué)本質(zhì)：矢量空間信號(hào)正交變換的范數(shù)不變性。,6.5 相關(guān),在一個(gè)周期內(nèi)，R消耗的能量,平均功率可表示為,設(shè)i(t)為流過(guò)電阻R的電流，v(t)為R 上的電壓,瞬時(shí)功率為,一能量信號(hào)和功率信號(hào),定義,討論上述兩個(gè)式子，只可能出現(xiàn)兩種情況： (有限值) (有限值) 滿足式的稱為能量信號(hào)，滿足式稱功率信號(hào)。,定義：一般說(shuō)來(lái)，能量總是與某一物理量的平方成正比。令R = 1 ，則在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)，實(shí)信號(hào)f(t)的,平均功率,能量,一般規(guī)律,一般周期信號(hào)為功率信號(hào)。,非周期信號(hào)，在有限區(qū)間有值，為能量信號(hào)。,還有一些非周期信號(hào)，

5、也是非能量信號(hào)。 如u(t)是功率信號(hào)； 而tu(t)為非功率非能量信號(hào); (t)是無(wú)定義的非功率非能量信號(hào)。,數(shù)學(xué)本質(zhì):,相關(guān)系數(shù)是信號(hào)矢量空間內(nèi)積與范數(shù)特征的具體表現(xiàn)。,物理本質(zhì):,相關(guān)與信號(hào)能量特征有著密切聯(lián)系。,1相關(guān)系數(shù),由兩個(gè)信號(hào)的內(nèi)積所決定：,二相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù),由柯西施瓦爾茨不等式，得,所以,2相關(guān)函數(shù),f1(t)與f2(t)是能量有限信號(hào) f1(t)與f2(t)為實(shí)函數(shù) f1(t)與f2(t)為復(fù)函數(shù) f1(t)與f2(t)是功率有限信號(hào) f1(t)與f2(t)為實(shí)函數(shù) f1(t)與f2(t)為復(fù)函數(shù),分如下幾種情況討論：,(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號(hào), f1

6、(t)與f2(t)為實(shí)函數(shù):,相關(guān)函數(shù)定義:,可以證明：,的偶函數(shù),相關(guān)函數(shù)：,同時(shí)具有性質(zhì)：,(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號(hào), f1(t)與f2(t)為復(fù)函數(shù):,相關(guān)函數(shù)：,自相關(guān)函數(shù)：,(2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號(hào), f1(t)與f2(t)為實(shí)函數(shù):,相關(guān)函數(shù)：,自相關(guān)函數(shù)：,(2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號(hào), f1(t)與f2(t)為復(fù)函數(shù):,兩者的關(guān)系,即,三相關(guān)與卷積的比較,說(shuō)明,相關(guān)與卷積類(lèi)似，都包含移位，相乘和積分三個(gè)步 驟，差別在于卷積運(yùn)算需要反褶，而相關(guān)不需要反褶。,四相關(guān)定理,若已知,則,若,則自相關(guān)函數(shù)為,說(shuō)明,1.相關(guān)定理表明：兩信號(hào)

7、互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于其中第一個(gè)信號(hào)的變換與第二個(gè)信號(hào)變換取共軛兩者之積。 2.自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于原信號(hào)幅度譜的平方。,6.6 能量譜和功率譜,能量譜與功率譜,1.能量譜,由相關(guān)定理知,所以,又能量有限信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是,有下列關(guān)系,帕塞瓦爾方程,定義,能量譜密度（能譜）,所以有,所以能譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。,是功率有限信號(hào),定義,f(t)的功率密度函數(shù)(功率譜）,2功率譜,利用相關(guān)定理有：,即,功率有限信號(hào)的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換。,6.9 碼分復(fù)用、碼分多址(CDMA)通信,一定義,碼分：利用一組正交碼序列來(lái)區(qū)分各路信號(hào)。,碼分復(fù)用：利用自相關(guān)函數(shù)抑制互相關(guān)函數(shù)的特性來(lái)選取正交信號(hào)碼組中的所需信號(hào)，因此也稱為正交復(fù)用。,二碼分復(fù)用的理論依據(jù),三碼分復(fù)用的原理,解調(diào),解調(diào)輸出g1(t),說(shuō)明,碼分復(fù)用的同步解調(diào)過(guò)程從本質(zhì)上講是利用了相關(guān)運(yùn)算，求相關(guān)函數(shù)的運(yùn)算包含相乘和積分，而低通相當(dāng)于實(shí)現(xiàn)積分功能，完全不同于頻分復(fù)用或時(shí)分復(fù)用。,四碼分復(fù)用的優(yōu)點(diǎn),碼分復(fù)用具有抗干擾性能好； 復(fù)用系統(tǒng)容量靈活； 保密性好； 接收設(shè)備易于簡(jiǎn)化等。 目前在無(wú)線移動(dòng)通信系統(tǒng)中具有很好的應(yīng)用前景。,五碼分復(fù)用的應(yīng)用碼分多址通信,碼分多址通信（CDMA:Code Division Multiple Access） 假設(shè)在移動(dòng)通信系統(tǒng)的小區(qū)范圍內(nèi)k