1、一一. . 三角公式三角公式 1.1. 倍角公式與半角公式倍角公式與半角公式 sin2x 2sin xcosx;cos2x cos2x sin2x 2cos2x 11 2sin2x 1cosx 2cos2 x, 或 或cos2 2 1cosx 2sin2 x, 2 x1cosx 22 22 或或 sin2 x 1cosx 2.2. 三角函數(shù)定義與恒等式三角函數(shù)定義與恒等式 sin = =對(duì)邊對(duì)邊/ /斜邊斜邊; ; cos = =鄰邊鄰邊/ /斜邊斜邊; ; tan = =對(duì)邊對(duì)邊/ /鄰邊鄰邊; ; sin2x cos2x 1;sec2x tan2x1, sin x ; secx 1 tan

2、 x cosxcosx tan2x sec2x1 3.3. 特殊角的三角與反三角函數(shù)值特殊角的三角與反三角函數(shù)值 , , 三角函數(shù)在四個(gè)象限三角函數(shù)在四個(gè)象限 中的符號(hào)中的符號(hào) a r c t a n ( ) ； a r c t a n ( ) e ,e 0，ln() ,ln0 - 1 - 1 - 3. 誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式 sin() cos; 2 sin() sin ; sin() sin; cos() sin ; 2 t a n () 2 c;o t cos() cos ; c o s() c os; tan() tan t a n ( ) t an 二代數(shù)公式二代數(shù)公式 n(n1) 1(

3、(等差數(shù)列求和公式等差數(shù)列求和公式) ) 1 23n 2 2 21aa 式，式， a 1) ) 或或 2 an1 1an 1a ( (等比數(shù)列求和公等比數(shù)列求和公 an1 (a 1)(an1 an2 a 1) 3 3(a b)2 a2 2ab b2 ( (和差的平方公式和差的平方公式) ) (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a2b2 (a b)(a b) ( (和差的立方公式和差的立方公式) ) ( (平方差公式平方差公式) ) ( (立方和、立方差公立方和、立方差公 a3b3 (a b)(a2ab b2) 式式) ) 4 4指數(shù)運(yùn)算指數(shù)運(yùn)算: : abac abc; ;ab/ac

4、 abc; ;(ab)c abc ; ; (ab)c acbc; ;(a/b)c ac/bc; ;a01; ;a11/ a 5 5 對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)運(yùn)算: : log a (bc) log a b log a c ; ; 2 log a b log a blog a c ; ; c log a 1 log a b b b lneblog a bc clog a b; ;b log a ab; ; 特別特別 log a 1 0; ;log a a 1; ; 特別特別 ln1 0， ，lne 1; 6. 6.基本不等式：基本不等式： a b 2a b x a a x a (其中 a 0) a,b 0

5、x y x y , a2b2 2ab x y x y ,也 可 寫 成 當(dāng)時(shí) 成 立 - 2- 2- 7.7.一一 元元 二二 次次 方方 程程 bb24ac x 1,2 2a ax2bxc 0 求求 根根 公公 式式 : :有有 解解 三極限三極限 四四. . 平面解析幾何平面解析幾何 1 1 直線方程直線方程: : 軸上截距為軸上截距為b);); y y 0 k(x x 0 ) ( (點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式: : 過點(diǎn)過點(diǎn) (x 0 , y 0 ), , y k xb ( (斜截式斜截式: :斜率為斜率為 k , , y 斜率為斜率為 k); ); xy 1 ( ( 截距式截距式: : x 與與 y

6、 軸軸 ab 上截距分別為上截距分別為 a與 與b) ) axby c 0 （一般式）（一般式） 3 兩直線垂直兩直線垂直 它們的斜率為負(fù)倒數(shù)關(guān)系它們的斜率為負(fù)倒數(shù)關(guān)系 2. 2.二次曲線二次曲線: : 圓圓: : x2 y2 R2 k 1 1/ k 2 。 (圓心為圓心為 (0,0) , ,半徑為半徑為 R ); (圓心為圓心為 (x 0 , y 0 ), ,半 半 徑為徑為 R ) 半圓半圓: : 為為 a ); ); (x x 0 )2(y y 0 )2 R2 y a2 x2 ( (上半圓，圓心為上半圓，圓心為 (0,0) , ,半徑半徑 y 2ax x2 ( (上半圓上半圓, , 圓心

7、為圓心為 (a,0), ,半徑 半徑 為為 a ) ) 橢圓橢圓: : x2y2 1 a2b2 x2y2 2 1； 2ab 雙曲線雙曲線: : 拋物線拋物線: : y x2( (開口向上 開口向上); ); y2 x( (開口向右 開口向右); ); y x ( (開口向右，僅取上半支開口向右，僅取上半支) ) 五五. .基本初等函數(shù)及其圖象基本初等函數(shù)及其圖象( (重點(diǎn)記住下列函數(shù)及其圖象重點(diǎn)記住下列函數(shù)及其圖象) ) 1 1冪函數(shù)：冪函數(shù)： y x:y x2, y x3,y 11 , y 2 , y x xx 2 2指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)： y ax, ex （ a 0,a 1） ）. . 底

8、數(shù)底數(shù) a 1單調(diào)遞增 單調(diào)遞增; ; 0 a 1單調(diào)遞減 單調(diào)遞減. . -3-3- 4 3 3對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)： y log a x, ln x. . 底數(shù) 底數(shù) a 1單調(diào)遞增 單調(diào)遞增; ; 0 a 1單調(diào) 單調(diào) 遞減遞減. . 4 4三角函數(shù)：三角函數(shù)： y sinx,cosx,tanx,cotx y arcsin x,arccos x,arctan x 5 5反三角函數(shù)：反三角函數(shù)： 六六. .排列與組合公式排列與組合公式 1. 1. 排列排列 m n時(shí) 時(shí) P n m n(n1)(nm1) 321 規(guī)定規(guī)定（全排列）（全排列） P n n n! n(n1) 0!1 5 P n

9、mn(n1)(nm1)n! 2. 2. 組合組合 C 規(guī)定規(guī)定C n 01 m!m!m!(nm)! m n - 4 - 4 - A thesis submitted to XXX in partial fulfillment of the requirement for the degree of Master of Engineering 高等數(shù)學(xué)公式 導(dǎo)數(shù)公式：導(dǎo)數(shù)公式： 基本積分表：基本積分表： 三角函數(shù)的有理式積分：三角函數(shù)的有理式積分： 2u1u2x2du sin x ，cosx ，u tg，dx 21u21u21u2 一些初等函數(shù)：一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：兩個(gè)重要極限： exe

10、x 雙曲正弦:shx 2 exex 雙曲余弦:chx 2 shxexex 雙曲正切:thx chxexex arshx ln(xx21） archx ln(xx21) 11 x arthx ln 21 x 三角函數(shù)公式：三角函數(shù)公式： 誘導(dǎo)公式：誘導(dǎo)公式： lim sin x 1 x0 x 1 lim(1)x e 2.718281828459045. x x 6 函數(shù) 角 A - 90- 90+ 180- 180+ 270- 270+ 360- 360+ sincostg -tg ctg ctg -ctg tg -ctg ctg tg -ctg ctg -sincos cos cos sin

11、sin -sin-ctg-tg -cos-tg -sin-costg -cos-sinctg -cossin -sincos sincos -tg tg -ctg-tg 和差角公式：和差角公式：和差化積公式：和差化積公式： sin() sincoscossin cos() coscos sin sin tgtg tg() 1tgtg ctgctg 1 ctg() ctgctg 倍角公式：倍角公式： sinsin 2sin 22 sinsin 2cossin 22 coscos 2coscos 22 coscos 2sinsin 22 cos sin2 2sincos cos2 2cos2112

12、sin2 cos2sin2 ctg21 ctg2 2ctg 2tg tg2 1tg2 半角公式：半角公式： sin33sin4sin3 cos3 4cos33cos 3tgtg3 tg3 13tg2 sin tg 2 1cos1cos cos 222 1cos1cossin1cos1cossin ctg 1cossin1cos21cossin1cos abc 2R 余弦定理：余弦定理：c2 a2b22abcosC sin AsinBsinC 2 正弦定理：正弦定理： 反三角函數(shù)性質(zhì)：反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx 2 arccosxarctgx 2 arcctgx 7 高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（高

13、階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（LeibnizLeibniz）公式：）公式： (uv)(n) k(nk)(k)C n uv k0 n u(n)vnu(n1)v n(n1) (n2) n(n1)(nk 1) (nk)(k)uvuvuv(n) 2!k! 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用： 拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ()(ba) f (b) f (a)f () 柯西中值定理： F(b)F(a)F() 曲率：曲率： 當(dāng)F(x) x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 弧微分公式：ds 1 y2dx,其中ytg 平均曲率： K .:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s：MM弧長(zhǎng)。 s

14、y d M點(diǎn)的曲率：K lim. 23s0 sds (1 y ) 直線：K 0; 1 半徑為a的圓：K . a 定積分的近似計(jì)算：定積分的近似計(jì)算： b 矩形法：f (x) a b ba (y 0 y 1 y n1) n ba 1 (y 0 y n ) y 1 y n1 n2 ba (y 0 y n )2(y 2 y 4 y n2 )4(y 1 y 3 y n1 ) 3n 梯形法：f (x) a b 拋物線法：f (x) a 定積分應(yīng)用相關(guān)公式：定積分應(yīng)用相關(guān)公式： 功：W F s 水壓力：F p A m m 引力：F k1 2 2,k為引力系數(shù) r b 1 函數(shù)的平均值： y f (x)dx

15、 ba a 1 2均方根：f (t)dt ba a b 8 空間解析幾何和向量代數(shù)：空間解析幾何和向量代數(shù)： 空間2點(diǎn)的距離：d M 1M2 (x 2 x 1 )2(y 2 y 1 )2(z 2 z 1 )2 向量在軸上的投影： Pr j u AB AB cos,是AB與u軸的夾角。 Pr j u (a 1 a 2 ) Pr ja 1 Pr ja 2 ab a b cos a xbx a yby a zbz ,是一個(gè)數(shù)量, 兩向量之間的夾角： cos i c ab a x b x j a y b y a xbx a yby a zbz a x a y a z b x b y b z 22222

16、2 k a z , c a b sin.例：線速度：v wr. b z a y b y c y a z b z ab c cos,為銳角時(shí)， c z a x 向量的混合積： abc (ab)c b x c x 代表平行六面體的體積。 平面的方程： 1、點(diǎn)法式：A(x x 0 ) B(y y 0 )C(z z 0 ) 0，其中n A,B,C,M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2、一般方程：Ax ByCz D 0 xyz 3、截距世方程： 1 abc 平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：d Ax 0 By 0 Cz 0 D A2 B2C2 x x 0 mt x xy y 0 z z 0 空間直線

17、的方程：0t,其中s m,n, p;參數(shù)方程： y y0nt mnp z z pt 0 二次曲面： x2y2z2 1、橢球面： 2 2 2 1 abc x2y2 2、拋物面： z（ , p,q同號(hào)） 2p2q 3、雙曲面： x2y2z2 單葉雙曲面： 2 2 2 1 abc x2y2z2 雙葉雙曲面： 2 2 2 （馬鞍面）1 abc 9 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 全微分：dz zzuuu dxdydu dxdydz xyxyz 全微分的近似計(jì)算：z dz f x (x,y)x f y (x,y)y 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法： dzz uz v z fu(t),v(t) dtu t

18、v t zz uz v z fu(x,y),v(x,y) xu xv x 當(dāng)u u(x,y)，v v(x,y)時(shí)， uuvv du dxdydv dxdy xyxy 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式： F x FFdydyd2y 隱函數(shù)F(x,y) 0， ， 2 (x)(x) dxF y xF y yF y dxdx F y F x zz 隱函數(shù)F(x,y,z) 0， ， xF z yF z F F(x,y,u,v) 0 (F,G) u 隱函數(shù)方程組：J G G(x,y,u,v) 0(u,v) u u1 (F,G)v1 (F,G) xJ(x,v)xJ(u,x) u1 (F,G)v1 (F,G) yJ(y,v)

19、yJ(u,y) 微分法在幾何上的應(yīng)用：微分法在幾何上的應(yīng)用： F v F u G G u v F v G v x (t) x xy y 0 z z 0 空間曲線y (t)在點(diǎn)M(x 0 ,y 0 ,z 0 )處的切線方程：0 (t )(t ) (t 0 ) 00 z (t) 在點(diǎn)M處的法平面方程： (t 0 )(x x 0 ) (t 0 )(y y 0 ) (t 0 )(z z 0 ) 0 F y F z F z F x F x F(x,y,z) 0 若空間曲線方程為：,則切向量T , GGG x GG yz zx G(x,y,z) 0 曲面F(x,y,z) 0上一點(diǎn)M(x 0 ,y 0 ,z

20、 0 )，則： 1、過此點(diǎn)的法向量：n F x (x 0 ,y 0 ,z 0 ),F y (x 0 ,y 0 ,z 0 ),F z (x 0 ,y 0 ,z 0 ) x x 0 y y 0 z z 03、過此點(diǎn)的法線方程： F x (x 0 ,y 0 ,z 0 )F y (x 0 ,y 0 ,z 0 )F z (x 0 ,y 0 ,z 0 ) F y G y 2、過此點(diǎn)的切平面方程：F x (x 0 ,y 0 ,z 0 )(x x 0 ) F y (x 0 ,y 0 ,z 0 )(y y 0 ) F z (x 0 ,y 0 ,z 0 )(z z 0 ) 0 10 方向?qū)?shù)與梯度：方向?qū)?shù)與梯度

21、： fff 函數(shù)z f (x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向l的方向?qū)?shù)為： cossin lxy 其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。 f f 函數(shù)z f (x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf (x,y) i j xy f 它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是： grad f (x,y)e，其中e cosi sin j，為l方向上的 l 單位向量。 f 是gradf (x,y)在l上的投影。 l 多元函數(shù)的極值及其求法：多元函數(shù)的極值及其求法： 設(shè)f x (x 0 ,y 0 ) f y (x 0 ,y 0 ) 0，令：f xx (x 0 ,y 0 ) A,f xy (x 0 ,y 0 ) B,f yy (

22、x 0 ,y 0 ) C A 0,(x 0 ,y 0 )為極大值 2AC B 0時(shí)， A 0,(x0,y0)為極小值 2則：值 AC B 0時(shí)，無極 AC B2 0時(shí),不確定 重積分及其應(yīng)用：重積分及其應(yīng)用： f (x,y)dxdy f (rcos,rsin)rdrd D D 曲面z f (x,y)的面積A D z z 1 y dxdy x 2 2 平面薄片的重心：x M x M x(x,y)d D (x,y)d D D ,y M y M y(x,y)d D (x,y)d D D 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于x軸I x y2(x,y)d,對(duì)于y軸I y x2(x,y)d 平面薄片（位于xoy平面）

23、對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a 0)的引力：F F x ,F y ,F z ，其中： F x f D (x,y)xd (x y a ) 222 2 ，F(xiàn) y f 3 D (x,y)yd (x y a ) 222 2 ，F(xiàn) z fa 3 D (x,y)xd (x y a ) 22 3 2 2 柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)： 11 x rcos 柱面坐標(biāo)：f (x,y,z)dxdydz F(r,z)rdrddz, y rsin, z z 其中：F(r,z) f (rcos,rsin,z) x rsincos 2球面坐標(biāo)： y rsinsin，dv rdrsinddr r sindrd

24、d z rcos 2r(,) f (x,y,z)dxdydz F(r,)r 2sindrdddd 00 F(r,)r 0 2sindr 重心：x 1 M xdv,y 1 M ydv,z 1 M zdv，其中M x dv 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I x (y2 z2)dv，I y (x2 z2)dv，I z (x2 y2)dv 曲線積分：曲線積分： 第一類曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）： x (t) 設(shè)f (x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,(t ),則： y (t) L x tf (x,y)ds f(t),(t) 2(t)2(t)dt()特殊情況： y (t) 12 第二類曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）：

25、x (t) 設(shè)L的參數(shù)方程為，則： y (t) P(x,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dt L 兩類曲線積分之間的關(guān)系：PdxQdy (PcosQcos)ds，其中和分別為 LL L上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。 QPQP 格林公式： ()dxdy PdxQdy格林公式： ()dxdy PdxQdy xyxy DLDL QP1 當(dāng)P y,Q x，即： 2時(shí)，得到D的面積：Adxdy xdy ydx xy2 LD 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件： 1、G是一個(gè)單連通區(qū)域； 2、P(x,y)，Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意

26、方向相反！ 二元函數(shù)的全微分求積： QP 在時(shí)，PdxQdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中： xy (x,y) QP 。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng) xy u(x,y) (x0,y0) P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常設(shè)x 0 y 0 0。 曲面積分：曲面積分： 22對(duì)面積的曲面積分： f (x,y,z)ds fx,y,z(x,y) 1 z (x,y) z (x,y)dxdy xy Dxy 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy，其中： 號(hào)；R(x,y,z)dxdy Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正 Dxy 號(hào)

27、；P(x,y,z)dydz Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正 Dyz Q(x,y,z)dzdx Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)。 Dzx 兩類曲面積分之間的關(guān)系：PdydzQdzdx Rdxdy (PcosQcos Rcos)ds 高斯公式：高斯公式： 13 ( PQR )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (PcosQcos Rcos)ds xyz 高斯公式的物理意義 通量與散度： PQR 散度：div,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生 的流體質(zhì)量，若 div 0,則為消失. xyz 通量：Ands A n ds (PcosQcos Rcos)ds， 因此，

28、高斯公式又可寫 成：divAdv A n ds 斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系： ( RQPRQP )dydz()dzdx()dxdy PdxQdy Rdz yzzxxy cos y Q cos z R dydzdzdxdxdycos 上式左端又可寫成： xyzx PQRP RQPRQP 空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：， ， yzzxxy ijk 旋度：rotA xyz PQR 向量場(chǎng)A沿有向閉曲線的環(huán)流量：PdxQdy Rdz Atds 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)： 1qn 等比數(shù)列： 1qq q 1q (n1)n 等差數(shù)列： 123n 2 111 調(diào)

29、和級(jí)數(shù)： 1是發(fā)散的 23n 2n1 級(jí)數(shù)審斂法：級(jí)數(shù)審斂法： 14 1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）： 1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 設(shè)： limnu n，則 1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 n 1時(shí)，不確定 2、比值審斂法： 1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 U 設(shè)： limn1，則1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 n U n 1時(shí)，不確定 3、定義法： s n u 1 u 2 u n ;lims n存在，則收斂；否則發(fā)散。 n 交錯(cuò)級(jí)數(shù)u 1 u 2 u 3 u 4 (或u 1 u 2u3 ,u n 0)的審斂法 萊布尼茲定理： u n u n1 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足s u 1,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rn u n1 。 limu 0，那么級(jí)數(shù)收斂

30、且其和 nn 絕對(duì)收斂與條件收斂：絕對(duì)收斂與條件收斂： (1)u 1 u 2 u n ，其中u n為任意實(shí)數(shù)； (2)u 1 u 2 u 3 u n 如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)； 如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。 1(1)n 調(diào)和級(jí)數(shù)： n 發(fā)散，而 n 收斂； 1 級(jí)數(shù)： n2 收斂； 時(shí)發(fā)散 1 p級(jí)數(shù)： np p 1時(shí)收斂 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 15 1 x 1時(shí)，收斂于1 x 1 x x2 x3 xn x 1時(shí)，發(fā)散 對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a 0 a 1x a2 x2a n xn，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全 x R時(shí)收斂 數(shù)軸上都收斂，則必存在

31、R，使x R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。 x R時(shí)不定 1 0時(shí)，R 求收斂半徑的方法：設(shè)lim a n1，其中a n，an1是(3)的系數(shù)，則 0時(shí)，R n a n 時(shí)，R 0 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)： f (x 0 )f(n)(x 0 ) 2函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：f (x) f (x 0 )(x x 0 )(x x 0 ) (x x 0 )n 2!n! f(n1)() 余項(xiàng)：R n (x x 0 )n1, f (x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是： limR n 0 n (n1)! f (0) 2 f(n)(0) nx 0 0時(shí)即為麥克勞林公式：f (x) f (0) f (0)

32、xx x 2!n! 一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)： m(m1) 2 m(m1)(mn1) nx x (1 x 1) 2!n! 2n1x3x5x sinx x(1)n1( x ) 3!5!(2n1)! (1 x)m1mx 歐拉公式：歐拉公式： eixeix cosx 2 eix cosxisinx或 ixix sinx e e 2 三角級(jí)數(shù)：三角級(jí)數(shù)： a 0 f (t) A 0 A n sin(nt n ) (a n cosnxb n sinnx) 2 n1n1 其中，a 0 aA 0，an A n sin n，bn A n cos n，t x。 正交性： 1,sin x,cos

33、x,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在, 上的積分0。 傅立葉級(jí)數(shù)：傅立葉級(jí)數(shù)： 16 a 0 f (x) (a n cosnxb n sinnx)，周期 2 2 n1 1 (n 0,1,2) an f (x)cosnxdx 其中 b 1 f (x)sinnxdx(n 1,2,3) n 112 1 2 2 835 1112 2 2 224246 正弦級(jí)數(shù)：a n 0，b n 余弦級(jí)數(shù)：b n 0，a n 1112 1 2 2 2 （相加） 6234 1112 1 2 2 2 （相減） 12234 f (x)sinnxdxn 1,2,3f (x) b 0 2 n

34、sinnx是奇函數(shù) 2 0 f (x)cosnxdxn 0,1,2f (x) a 0a n cosnx是偶函數(shù) 2 周期為周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)： 17 a 0 nxnx f (x) (a n cosb n sin)，周期 2l 2 n1 ll l 1nx dx(n 0,1,2) an f (x)cos l l l 其中 l 1nx b f (x)sindx(n 1,2,3) n l l l 微分方程的相關(guān)概念：微分方程的相關(guān)概念： 一階微分方程：y f (x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy 0 可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy

35、f (x)dx的形式，解法： g(y)dy f (x)dx得：G(y) F(x)C稱為隱式通解。 dyy f (x,y) (x,y)，即寫成的函數(shù)，解法： dxx ydydududxduy 設(shè)u ，則u x，u (u)， 分離變量，積分后將代替u， xdxdxdxx(u)ux 齊次方程：一階微分方程可以寫成 即得齊次方程通解。 一階線性微分方程：一階線性微分方程： dy 1、一階線性微分方程： P(x)y Q(x) dx P(x)dx 當(dāng)Q(x) 0時(shí),為齊次方程，y Ce P(x)dx P(x)dx 當(dāng)Q(x) 0時(shí)，為非齊次方程，y (Q(x)edxC)e dy 2、貝努力方程： P(x)

36、y Q(x)yn， (n 0,1) dx 全微分方程：全微分方程： 如果P(x,y)dxQ(x,y)dy 0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即： uu du(x,y) P(x,y)dxQ(x,y)dy 0，其中： P(x,y)，Q(x,y) xy u(x,y) C應(yīng)該是該全微分方程的通解。 二階微分方程：二階微分方程： f (x) 0時(shí)為齊次 d2ydy P(x)Q(x)y f (x)， 2dxdx f (x) 0時(shí)為非齊次 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法： (*)y pyqy 0，其中p,q為常數(shù)； 求解步驟： 1、寫出特征方程： ()r2 pr q 0，

37、其中r2，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y, y, y的系數(shù)； 2、求出()式的兩個(gè)根r 1,r2 18 3、根據(jù)r 1,r2的不同情況，按下表寫出(*)式的通解： r 1 ，r 2的形式 兩個(gè)不相等實(shí)根(p 4q 0) 兩個(gè)相等實(shí)根(p 4q 0) 一對(duì)共軛復(fù)根(p 4q 0) 2 2 2 (*)式的通解 y c 1e r 1x c 2e r2x y (c 1 c 2 x)er1x y ex(c 1 cosxc 2 sinx) r 1 i，r 2 i 4q p2p ， 22 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 y pyqy f (x)，p,q為常數(shù) f (x) exP

38、 m (x)型，為常數(shù)； f (x) exP l (x)cosx P n (x)sinx型 三角公式匯總?cè)枪絽R總 一、任意角的三角函數(shù)一、任意角的三角函數(shù) 22在角的終邊上任取一點(diǎn)，記：，P(x, y)r x y 正弦：sin 正切：tan 正割：sec yx 余弦：cos rr xy 余切：cot yx r x 余割：csc r y 注：我們還可以用單位圓中的有向線段表示任意角的三角函數(shù)：如圖，與單 位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線。 二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系：sincsc1，cossec1，tancot1。

39、商數(shù)關(guān)系：tan sincos ，cot。 cossin 19 平方關(guān)系：sin2 cos21，1 tan2 sec2，1 cot2 csc2。 三、誘導(dǎo)公式三、誘導(dǎo)公式 2k(k Z)、2的三角函數(shù)值，等于的 同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 （口訣：函數(shù)名不 變，符號(hào)看象限） 2 、 2 、 33 、的三角函數(shù)值，等于的異名函數(shù)值， 22 前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 （口訣：函數(shù)名改變，符號(hào)看象 限） 四、和角公式和差角公式四、和角公式和差角公式 sin() sincos cossin sin() sincoscossin cos() coscossins

40、in cos() coscossinsin tan() tan() tan tan 1 tantan tan tan 1 tantan 五、二倍角公式五、二倍角公式 sin2 2sincos cos2 cos2sin2 2cos211 2sin2() tan2 2tan 1 tan2 二倍角的余弦公式()有以下常用變形： （規(guī)律：降冪擴(kuò)角，升冪縮角） 1 cos2 2cos21cos2 2sin2 1sin2 (sin cos)21sin2 (sincos)2 cos2 1cos21cos2sin21sin2 ，sin2，tan。 2sin21cos22 六、萬能公式（可以理解為二倍角公式的另

41、一種形式）六、萬能公式（可以理解為二倍角公式的另一種形式） 1 tan22tan2tan cos2sin2tan2，。 2221 tan 1 tan1 tan 20 萬能公式告訴我們，單角的三角函數(shù)都可以用半角的正切來表示。 七、和差化積公式七、和差化積公式 sinsin 2sin 2 cos sin 2 2 2 sinsin 2cos 2 coscos 2cos 2 cos coscos 2sin 2 sin 2 了解和差化積公式的推導(dǎo)，有助于我們理解并掌握好公式： sin sincos cossin sin 222222 sin sin sincoscossin 2 2222 2 兩式相加

42、可得公式，兩式相減可得公式。 cos cos coscossinsin 2 2222 2 cos coscossinsin cos 222222 兩式相加可得公式，兩式相減可得公式。 八、積化和差公式八、積化和差公式 sincos cossin coscos 1 sin()sin() 2 1 sin()sin() 2 1 cos()cos() 2 sinsin 1 cos()cos() 2 我們可以把積化和差公式看成是和差化積公式的逆應(yīng)用。 九、輔助角公式九、輔助角公式 asin x bcosx a2b2sin(x )（） 21 其中：角的終邊所在的象限與點(diǎn)(a,b)所在的象限相同， sin

43、b a2b2 ，cos a a2b2 ，tan b 。 a 十、正弦定理十、正弦定理 abc 2R（R為ABC外接圓半徑） sin AsinBsinC 十一、余弦定理十一、余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2b2 2abcosC 十二、三角形的面積公式十二、三角形的面積公式 S ABC 底高 S ABC absinC bcsin A casinB（兩邊一夾角） S ABC abc （R為ABC外接圓半徑） 4R a b c r（r為ABC內(nèi)切圓半徑） 2 1 2 1 2 1 2 1 2 S ABC S ABC p(pa)(p b)(pc) 海

44、侖公式（其中p y sincos o xy0 sincos y sincos0 a b c ） 2 x sincos A(2,2) sincos0 x o sincos0 A(2,2) xy0 22 十三誘導(dǎo)公式十三誘導(dǎo)公式 sin（2k+）=sin cos（2k+）=cos tan（2k+）=tan cot（2k+）=cot sec（2k+）=sec csc（2k+）=csc sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）=tan cot（+）=cot sec(+)=-sec csc(+)=-csc sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan cot（）=cot s

45、ec(-)=sec csc(-)=-csc sin（）=sin cos（）=-cos tan（）=tan cot（）=cot sec(-)=-sec csc(-)=csc sin（-）=sin cos（-）=cos tan（-）=tan cot（-）=cot sec(-)=-sec csc(-)=csc sin（2）=sin cos（2）=cos tan（2）=tan cot（2）=cot sec(2-)=sec csc(2-)=-csc 公式一： 設(shè) 為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等 k 是整數(shù) 公式二： 設(shè) 為任意角， + 的三角函數(shù)值與 的三角函數(shù)值之間的關(guān) 系 公式三： 任

46、意角 與 - 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān) 系 公式五： 利用公式四和三角函數(shù)的奇偶性可以得到-與的三角函數(shù) 值之間的關(guān)系 公式六： 利用公式一和公式三可以得到 2- 與 的三角函數(shù)值之間的 關(guān)系 23 公式七： /2 及 3/2 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系 sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+）=cot cot（/2+）=tan sec(/2+)=-csc csc(/2+)=sec sin（/2）=cos cos（/2）=sin tan（/2）=cot cot（/2）=tan sec(/2-)=csc cs

47、c(/2-)=sec sin（3/2+）=cos cos（3/2+）=sin tan（3/2+）=cot cot（3/2+）=tan sec(3/2+)=csc csc(3/2+)=-sec sin （3/2） =cos cos （3/2） =sin tan（3/2）=cot cot（3/2）=tan sec(3/2-)=-csc csc(3/2-)=-sec 下面的公式再記一次，大家： 四、和角公式和差角公式四、和角公式和差角公式 sin() sincos cossin sin() sincoscossin cos() coscossinsin cos() coscossinsin tan(

48、) tan() tan tan 1 tantan tan tan 1 tantan 五、二倍角公式五、二倍角公式 sin2 2sincos cos2 cos2sin2 2cos211 2sin2() 24 tan2 2tan 1 tan2 二倍角的余弦公式()有以下常用變形： （規(guī)律：降冪擴(kuò)角，升冪縮角） 1 cos2 2cos21cos2 2sin2 1sin2 (sin cos)21sin2 (sincos)2 cos2 1 cos21cos2sin21sin2 ，sin2，tan。 2sin21 cos22 希臘字母 希臘字母在現(xiàn)代已經(jīng)超越了希臘民族的局限而成為了國際性的符號(hào)(自然科 學(xué)

49、的、社會(huì)科學(xué)的)，尤其在土木工程，材料學(xué)、土力學(xué)、水力學(xué)及相應(yīng)設(shè)計(jì)課程 里作為科學(xué)符號(hào)多而雜，初學(xué)者很難對(duì)其讀音和書寫準(zhǔn)確掌握，所以本文編輯了 希臘字母有關(guān)歷史和讀音、書寫，以便初學(xué)和自學(xué)者在掌握這些符號(hào)的基本讀寫 后盡快能熟悉其在專業(yè)中的意義！ 希臘語是印歐語系獨(dú)立的一支，作為古希臘文明的載體，作為文學(xué)、哲學(xué)、 科學(xué)、宗教等眾多領(lǐng)域使用的語言，它的燦爛光輝舉世罕見。古希臘語是極少數(shù) 至今仍然在世界范圍內(nèi)被學(xué)習(xí)和使用的古典語言之一?！跋ＥD”的中文名字不是 來自英語 Greece，而是來自 Hellas 這個(gè)詩歌語匯。此舉與希臘這個(gè)藝術(shù)的國度 是多么相稱??！ 講希臘語的民族在大約 4000 年前從巴爾干半島來到希臘半島及附 近地區(qū)。他們的語言分化為 4 種方言:伊奧里亞、愛奧尼亞、阿卡迪亞-塞浦路斯 和多利安方言。著名的荷馬史詩伊利亞特和奧德賽是大約公元 前 9 世紀(jì)的作品，使用的是愛奧尼亞方言。由愛奧尼亞方言發(fā)展為雅典語古 希臘語的主要形式和共同語 Koine 的基礎(chǔ)。圣經(jīng)的舊約全書在公元前3- 公元前 2 世紀(jì)譯為 Koine；新約全書則是直接用 K