1、本章整合,答案:(1)幾何(2)運(yùn)算(3)單調(diào)性(4)極值(5)最大(小)值(6)面積(7)路程(8)定義(9)幾何(10)物理,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問(wèn)題 1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線的斜率,即k=f (x0).這使得導(dǎo)數(shù)與解析幾何有了密切的聯(lián)系,一般地,與曲線的切線有關(guān)的問(wèn)題,都可以借助導(dǎo)數(shù)來(lái)解決. 2.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問(wèn)題,務(wù)必要注意所給點(diǎn)是否在曲線上,若點(diǎn)在曲線上,則函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是曲線在該點(diǎn)切線的斜率,如果所給點(diǎn)不在已知曲線上,則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)

2、,再結(jié)合兩點(diǎn)連線的斜率公式建立聯(lián)系求解. 3.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面,在解決問(wèn)題時(shí),除了充分利用導(dǎo)數(shù)工具外,還要注意和解析幾何中有關(guān)的知識(shí)加以聯(lián)系,例如:兩點(diǎn)連線的斜率公式、直線方程的各種形式等.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,【例1】 (1)函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)x=5處的切線方程是 y=-x+8,則f(5)+f(5)等于() A.1B.2C.0D. (2)曲線y=x(3ln x+1)在點(diǎn)(1,1)處的切線的方程為. 解析:(1)由題意知f(5)=-5+8=3,f(5)=-1,故f(5)+f(5)=2. (2)點(diǎn)(1,1)在曲線上,又y=3ln x+

3、1+x =3ln x+4,所以切線斜率為k=3ln 1+4=4,故所求切線方程為y-1=4(x-1),即4x-y-3=0. 答案:(1)B(2)4x-y-3=0,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,變式訓(xùn)練1若曲線y=ax2-ln x在點(diǎn)(1,a)處的切線平行于x軸,則a=.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下: (1)確定f(x)的定義域; (2)求導(dǎo)數(shù)f(x); (3)由f(x)0(或f(x)0時(shí),f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù);當(dāng)f(x)0時(shí)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù). 2.已知f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(遞減),等價(jià)

4、于 f(x)0(0)在區(qū)間I上恒成立,由此可根據(jù)不等式恒成立求得函數(shù)解析式中所含參數(shù)的取值范圍. 3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其實(shí)質(zhì)就是解不等式,不等式的解集就是單調(diào)區(qū)間,但要注意兩點(diǎn):一是不能忽視函數(shù)的定義域,應(yīng)在定義域的前提下解決問(wèn)題;二是注意單調(diào)區(qū)間的寫(xiě)法,如果一個(gè)函數(shù)有多個(gè)增區(qū)間(或減區(qū)間),一般不能將這幾個(gè)增(減)區(qū)間用符號(hào)“”連接起來(lái).,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,【例2】 已知函數(shù)f(x)=x2-4x+(2-a)ln x,aR. (1)當(dāng)a=8時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若f(x)在2,+)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍; (3)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的

5、取值范圍. 分析:(1)將a的值代入,確定定義域,求導(dǎo)數(shù),然后解不等式即得;(2)轉(zhuǎn)化為f(x)0在2,+)恒成立求解;(3)轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0在定義域上有解進(jìn)行處理.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=ex(ax2-2x+2),其中 a0. (1)若曲線y=f(x)在x=2處的切線與直線x+e2y-1=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值; (2)討論f(x)的單調(diào)性.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟: (1)確定

6、函數(shù)f(x)的定義域; (2)解方程f(x)=0的根; (3)檢驗(yàn)f(x)=0的根的兩側(cè)f(x)的符號(hào). 若左正右負(fù),則f(x)在此根處取得極大值; 若左負(fù)右正,則f(x)在此根處取得極小值; 否則,此根不是f(x)的極值點(diǎn).,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,2.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值、最小值的方法與步驟: (1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)將求得的極值與f(a),f(b)相比較,其中最大的一個(gè)值為最大值,最小的一個(gè)值為最小值. 特別地,當(dāng)f(x)在a,b上單調(diào)時(shí),其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取得;當(dāng)f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí),若在這一點(diǎn)處f(x

7、)有極大(或極小)值,則可以判定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(或最小)值,這里(a,b)也可以是(-,+).,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,【例3】 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間-2,2上的最大值和最小值. 分析:(1)根據(jù)條件可得f(1)=0,f(1)=-1,求出a,b的值得到函數(shù)解析式,然后再利用導(dǎo)數(shù)解不等式得到單調(diào)區(qū)間;(2)按照求最值的步驟求解即可.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,(2)由(1),當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化

8、情況如下表所示:,由表中數(shù)據(jù)知,函數(shù)f(x)在x=2處取得最大值2,在 x=-2處取得最小值-10,函數(shù)f(x)在閉區(qū)間-2,2上的最大值為2,最小值為-10.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)= (2a+1)x2+(a2+a)x. (1)若函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值,求a的值; (2)若a0,求f(x)在 0,1 上的最大值. 解:(1)f(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)=(x-a)x-(a+1). 當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:,a+1=2,a=1.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,專題三,專題四,

9、專題五,專題四利用導(dǎo)數(shù)研究方程與不等式問(wèn)題 用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題主要是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解不等式,比較大小,證明不等式等;用導(dǎo)數(shù)研究方程問(wèn)題,主要是指根據(jù)方程,構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù),研究得到函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值情況,從而結(jié)合函數(shù)圖象來(lái)研究方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題、大小問(wèn)題等.這是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一,是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,分析:(1)將a,b的值代入,然后研究函數(shù)的極值,并結(jié)合單調(diào)性求出最值;(2)方程有唯一實(shí)數(shù)解,即相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),可先研究函數(shù)的極值情況,并結(jié)合圖象分析,得到m的值.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,

10、專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,變式訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=ln x+ -2. (1)若f(x)在 2,5 上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)若f(x)0對(duì)任意x0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題五定積分與微積分基本定理 1.利用微積分基本定理求定積分,其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù),求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算,要注意掌握一些常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 2.在直角坐標(biāo)系中,由曲線f(x),直線x=a,x=b(ab)和x軸圍成的曲邊梯形的面積的求法分為以下幾種情況:,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題

11、一,專題二,專題三,專題四,專題五,【例5】 函數(shù)f(x)=x3-x2+x+1在點(diǎn)(1,2)處的切線與函數(shù)g(x)=x2圍成的圖形的面積為. 分析:先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,再根據(jù)定積分的幾何意義求出面積.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,答案:D,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1.(2015天津,文11)已知函數(shù)f(x)=axln x,x(0,+),其中a為實(shí)數(shù),f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f(1)=3,則a的值為. 解析:因?yàn)閒(x)=axln x,所以f(x)=aln x+ax =a(l

12、n x+1).由f(1)=3得a(ln 1+1)=3,所以a=3. 答案:3 2.(2016山東,理10)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是() A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3 解析:當(dāng)y=sin x時(shí),y=cos x,因?yàn)閏os 0cos =-1,所以在函數(shù)y=sin x圖象存在兩點(diǎn)x=0,x=使條件成立,故A正確;函數(shù)y=ln x,y=ex,y=x3的導(dǎo)數(shù)值均非負(fù),不符合題意,故選A. 答案:A,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,3.(2016全國(guó)

13、甲,理16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=.,答案:1-ln 2,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,4.(2016全國(guó)丙,理15)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),-x0, 則f(-x)=ln x-3x. 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=ln x-3x, 所以f(x)= -3,f(1)=-2. 故所求切線方程為y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1. 答案:y=-2x-1,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考

14、點(diǎn)七,答案:A,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,7.(2016北京,理18)設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.,解:(1)因?yàn)閒(x)=xea-x+bx, 所以f(x)=(1-x)ea-x+b. 解得a=

15、2,b=e.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)與1-x+ex-1同號(hào). 令g(x)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1. 所以,當(dāng)x(-,1)時(shí),g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增. 故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-,+)上的最小值, 從而g(x)0,x(-,+). 綜上可知,f(x)0,x(-,+). 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)研究極值和最值 8.(20

16、15陜西,理12)對(duì)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a為非零整數(shù)),四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的,則錯(cuò)誤的結(jié)論是() A.-1是f(x)的零點(diǎn) B.1是f(x)的極值點(diǎn) C.3是f(x)的極值 D.點(diǎn)(2,8)在曲線y=f(x)上,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,答案:A,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)五利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題 10.(2015江蘇

17、,17)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為 20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù) (其中a,b為常數(shù))模型. (1)求a,b的值; (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t. 請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出其定義域; 當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短

18、?求出最短長(zhǎng)度.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)六利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)、方程、不等式綜合問(wèn)題,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,12.(2016全國(guó)乙,理21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn). (1)求a的取值范圍; (2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明x1+x20,則當(dāng)x(-,1)時(shí),f(x)0, 所以f(x)在(-,1)單調(diào)遞減,在(1,+)單調(diào)遞增.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)五,考點(diǎn)六,考點(diǎn)七,13.(2016全國(guó)丙,理21)設(shè)函數(shù)f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中0,記|f(x)|的最大值為A. (1)求f(x); (2)求A; (3)證明|f