1、第四章 分層抽樣,4.1 估值法(一),4.2 估值法(二) 組合比估計(jì)和回歸估計(jì),4.3 樣本量的分配,4.4 與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣之比較,4.5 如何適當(dāng)分層,4.6 后分層估計(jì)和定額抽樣,分層抽樣的提法,估值法(一),4.1 估值法(一),分層抽樣的提法,分層抽樣的步驟,分層：,抽樣：,從每層抽取一個(gè)樣本構(gòu)成總的樣本,采用分層抽樣的理由,可同時(shí)對(duì)子總體進(jìn)行參數(shù)估計(jì),便于組織實(shí)施,可根據(jù)各層特點(diǎn)采用不同抽樣方式,可使樣本在總體中分布均勻,從而具有更好代表性,適當(dāng)分層可提高參數(shù)估計(jì)的精度,(Stratified sampling),分層抽樣的提法,分層抽樣的問題,如何分層,如何確定各層樣本量,如何

2、估值,記號(hào),估 值 法(一),估 值 法(一),估 值 法(一),估 值 法(一),例1 調(diào)查某地區(qū)居民的奶制品消費(fèi)支出，以居民戶為抽樣單元.根據(jù)經(jīng)濟(jì)收入水平將居民劃分為4層,每層抽取樣本量為10的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,調(diào)查數(shù)據(jù)如下表,試估計(jì)該地區(qū)居民奶制品的月消費(fèi)總支出及其置信度為95%的置信區(qū)間.,例2 對(duì)某地區(qū)的居民擁有家庭電腦的情況進(jìn)行調(diào)查，以居民為抽樣單位，根據(jù)收入水平將居民戶劃分為4層，每層按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取10戶。調(diào)查數(shù)據(jù)如表。,估計(jì)該地區(qū)居民擁有家庭電腦的比例及抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤。,估 值 法(一),例3 已知某公司一般職員及高級(jí)管理人員剛進(jìn)入公司時(shí)的工資總額分別為5523965元、25416

3、60元，欲通過抽樣調(diào)查估計(jì)當(dāng)前該公司職員的工資總額Y。抽樣按照一般職員與高管層進(jìn)行分層隨機(jī)抽取。一般職員共390人，抽取15人；高管層共84人，抽取10名。調(diào)查數(shù)據(jù)如表。,給出Y的分別比估計(jì)量，估計(jì)其精度,估 值 法(一),練習(xí)1 為調(diào)查某地區(qū)住戶的平均家庭成員數(shù)，將該地去分為城市和鄉(xiāng)村2層，每層按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取10戶。調(diào)查數(shù)據(jù)如表。,估計(jì)該地區(qū)住戶的平均家庭成員數(shù)及其95%的置信區(qū)間。,估 值 法(一),組合比估計(jì),4.2 組合比估計(jì)和回歸估計(jì),組合回歸估計(jì),組合比估計(jì),有輔助變量X用于估值分析的，先分別對(duì)各層進(jìn)行簡(jiǎn)單估計(jì)，再用比估值法獲得目標(biāo)指標(biāo)量的估計(jì),組合比估計(jì)的含義,(Ratio

4、 combined),組合比估計(jì),定理4.2.1 對(duì)分層抽樣的組合比估計(jì),有,估值定理,組合比估計(jì),例3續(xù)：給出Y的組合比估計(jì)量，估計(jì)其精度，與分別比估計(jì)進(jìn)行比較,組合比估計(jì),分別比估計(jì)與組合比估計(jì)的比較,分別回歸估計(jì),分別回歸估計(jì),組合回歸估計(jì),組合回歸估計(jì),組合回歸估計(jì),組合回歸估計(jì),分別回歸估計(jì)與組合回歸估計(jì)的比較,比估計(jì)與回歸估計(jì)小結(jié),當(dāng)Y與X高度相關(guān)時(shí)，采用比估計(jì)和回歸估計(jì)都是有效的。在選擇估計(jì)方法時(shí)，有以下原則： （1）由于分別估計(jì)（分別比或者分別回歸估計(jì)）要求各層的樣本量都比較大，所以當(dāng)某些層的樣本量不夠大時(shí)，建議采用聯(lián)合估計(jì)。 （2）當(dāng)回歸系數(shù)需要由樣本進(jìn)行估計(jì)時(shí)，回歸估計(jì)是有

5、偏的，尤其當(dāng)樣本量較小的時(shí)候，采取聯(lián)合比估計(jì)更好。 （3）如果各層的樣本量都比較大，每層的比估計(jì)或回歸估計(jì)有效，此時(shí)用分別比估計(jì)，方差更小。 （4）如果各層的樣本量不大，各層的Ri差異較小，采用聯(lián)合估計(jì)。 （5）如果各層的Ri之間的差別不是太大，而且并不是每層的樣本量都相當(dāng)大，采用聯(lián)合估計(jì)。 （6）如果各層的回歸系數(shù)都接近于1，則可采用差估計(jì)。,例3（續(xù)） 已知某公司一般職員及高級(jí)管理人員剛進(jìn)入公司時(shí)的工資總額分別為5523965元、2541660元，欲通過抽樣調(diào)查估計(jì)當(dāng)前該公司職員的工資總額Y。抽樣按照一般職員與高管層進(jìn)行分層隨機(jī)抽取。一般職員共390人，抽取15人；高管層共84人，抽取10

6、名。調(diào)查數(shù)據(jù)如表。,給出Y的分別回歸估計(jì)量、聯(lián)合回歸估計(jì)以及差估計(jì)，同時(shí)估計(jì)其精度。,估 值 法(一),等額樣本量,按比例分配,4.3 樣本量的分配,奈曼最優(yōu)分配,考慮費(fèi)用的最優(yōu)分配,等額樣本量,各層的樣本量相等,特點(diǎn)：實(shí)施方便，便于管理,例1 對(duì)各鄉(xiāng)收入數(shù)據(jù)，采用分層抽樣，各層采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，計(jì)劃抽取8個(gè)鄉(xiāng)，按照下列樣本量分配方式，確定各層的樣本量,(1)等額分配,(2)按比例分配,(3)Neyman最優(yōu)分配,按比例分配,若總體總值或均值的一個(gè)無偏估計(jì)量可以表示成樣本總值或均值的常數(shù)倍，這種估計(jì)量稱為自加權(quán)估計(jì)量,(proportional allocation),適用于Ni已知而其他信息

7、很少的情形,奈曼(Neyman)最優(yōu)分配,考慮費(fèi)用的最優(yōu)分配,例 某市有甲、乙兩個(gè)地區(qū)，現(xiàn)要進(jìn)行家庭收入的調(diào)查。令n=500，已知甲地區(qū)共有20000戶居民，乙地區(qū)共有50000戶居民；甲地區(qū)和乙地區(qū)居民收入標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)分別為s1=2500,s2=2000；同時(shí)對(duì)甲地和乙地每戶的平均抽樣費(fèi)用之比為2:3，請(qǐng)分別計(jì)算出甲地和乙地進(jìn)行比例分配、一般最優(yōu)分配（考慮費(fèi)用因素）以及奈曼最優(yōu)分配的樣本量。,分層抽樣的精度,層權(quán)誤差,4.4 與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣之比較,分層抽樣的精度,=,+,層 權(quán) 誤 差,例 題 與 練 習(xí),分層的思路,D-H方法,4.5 如何適當(dāng)分層,分層的思路,最小.若采用奈曼最優(yōu)分配,忽略

8、抽樣比，則使,最小.,D-H 方 法,Y的概率密度函數(shù),V的近似表達(dá)式,D-H 方 法,適當(dāng)?shù)姆謱咏缦?為一常數(shù),達(dá)到最小值.,D-H 方 法,例1 以某地區(qū)2001年企業(yè)出口數(shù)據(jù)中截取的904個(gè)企業(yè)構(gòu)成的總體為例，說明分層的操作程序.,練習(xí) 表列出了美國(guó)13435家銀行組成的總體內(nèi)銀行貸款中工業(yè)貸款占的百分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布.將13435家銀行分為5層.,分層時(shí)一般只能調(diào)查與Y相關(guān)的輔助變量，很少用 到Y(jié)本身，因而分層界限值無需十分精細(xì),用輔助變量分層時(shí)，輔助變量引起的誤差會(huì)使分層 過細(xì)失去意義，經(jīng)驗(yàn)表明使用五或六個(gè)層是適宜的,后分層估計(jì),定額抽樣,4.6 后分層估計(jì)和定額抽樣,后分層估計(jì),后分層

9、估計(jì)的背景,要調(diào)查某地區(qū)居民對(duì)某一問題的意向，以年齡為輔助變量分層,要調(diào)查某校學(xué)生每月的話費(fèi)支出，以家庭收入水平為輔助變量分層,現(xiàn)實(shí)有些情況下,缺少層內(nèi)抽樣框，無法實(shí)施分層抽樣，此時(shí)可采用后分層估計(jì),后分層估計(jì)的含義,對(duì)總體實(shí)施不分層簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，在調(diào)查中明確每個(gè)樣本單元屬于哪個(gè)層,將全部單元在調(diào)查后按分層變量分入各層，按分層抽樣估值,后分層估計(jì),估值定理,后分層估計(jì)的精度低于按比例分層估計(jì)的精度,但當(dāng)n很大時(shí)，兩者精度差別不大.,后分層估計(jì),例 某地市對(duì)載貨汽車進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查目標(biāo)量為當(dāng)月 全地市發(fā)生的總運(yùn)量Y.對(duì)總共19730輛貨車抽取一個(gè)178輛車的樣本,由于單車運(yùn)量與車核定標(biāo)識(shí)噸位(X)密切相關(guān),為提高精度,對(duì)樣本采用后分層,相關(guān)數(shù)據(jù)如表.估計(jì)Y及該估計(jì)的精度.,采用后分層應(yīng)注意“事后層”數(shù)目不宜多.,定 額 抽 樣,定額抽樣的含義,適用于有輔助變量用于分層而按此輔助變量分層抽樣不現(xiàn)實(shí)的情況,按分層比例抽取樣本量:抽樣過程中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與典型抽樣結(jié)合，在調(diào)查后