1、.函數(shù)的奇偶性的歸納總結考綱要求： 了解函數(shù)的奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性的方法。教學目標： 1、理解函數(shù)奇偶性的概念；2 、掌握判斷函數(shù)的奇偶性的類型和方法；3 、掌握函數(shù)的奇偶性應用的類型和方法；4 、培養(yǎng)學生觀察和歸納的能力，培養(yǎng)學生勇于探索創(chuàng)新的精神。教學重點： 1、理解奇偶函數(shù)的定義；2 、掌握判斷函數(shù)的奇偶性的類型和方法，并探索其中簡單的規(guī)律。教學難點： 1、對奇偶性定義的理解；2 、較復雜函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)奇偶性的某些應用。教學過程：一、知識要點：1、函數(shù)奇偶性的概念f ( x) ，如果對于函數(shù)定義域內任意一個x ，都有 f (x)f (x) ，一般地，對于函數(shù)

2、那么函數(shù) f ( x) 就叫做偶函數(shù)。一般地，對于函數(shù)f (x) ，如果對于函數(shù)定義域內任意一個x ，都有 f (x)f (x) ,那么函數(shù)f ( x) 就叫做奇函數(shù)。理解：(1)奇偶性是針對整個定義域而言的，單調性是針對定義域內的某個區(qū)間而言的。這兩個概念的區(qū)別之一就是，奇偶性是一個“整體 ”性質，單調性是一個“局部 ”性質；(2)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。2、按奇偶性分類，函數(shù)可分為四類：奇函數(shù)非偶函數(shù)、偶函數(shù)非奇函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、亦奇亦偶函數(shù).3、奇偶函數(shù)的圖象：.奇函數(shù)圖象關于原點成中心對稱的函數(shù)，偶函數(shù)圖象關于 y 軸對稱的函數(shù)。4、函數(shù)奇偶性的性質：具有奇偶性

3、的函數(shù)，其定義域關于原點對稱（也就是說， 函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關于原點對稱）。常用的結論：若f(x)是奇函數(shù)，且x 在 0 處有定義，則f(0) 0。奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同，最值相反。 奇函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b(0 ab)上單調遞增（減） ，則 f(x)在區(qū)間 b, a上也是單調遞增（減） ；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反，最值相同。 偶函數(shù)f(x)在區(qū)間 a,b （ 0 ab）上單調遞增（減） ，則 f(x)在區(qū)間 b, a上單調遞減（增）任意定義在r 上的函數(shù)f(x)都可以唯一地表示成一個奇函數(shù)與一個

4、偶函數(shù)的和。若函數(shù)g(x)， f(x)， fg(x) 的定義域都是關于原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u) 都是奇函數(shù)時， y=fg(x)是奇函數(shù)； u=g(x)， y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時，y= fg(x) 是偶函數(shù)。復合函數(shù)的奇偶性特點是：“ 內偶則偶，內奇同外” .5、判斷函數(shù)奇偶性的方法：、定義法：對于函數(shù)f ( x) 的定義域內任意一個x，都有fxf x 或 fx1f x或 fxf x0 函數(shù) f （ x）是偶函數(shù)；對于函數(shù)f ( x) 的定義域內任意一個x，都有 fxf x 或 fx1或f xfxf x0函數(shù) f （ x）是奇函數(shù)；判斷函數(shù)奇偶性的步驟：、判斷定義

5、域是否關于原點對稱；、比較f (x) 與 f ( x) 的關系。、扣定義，下結論。、圖象法： 圖象關于原點成中心對稱的函數(shù)是奇函數(shù)；圖象關于 y 軸對稱的函數(shù)是偶 函數(shù)。，、運算法：幾個與函數(shù)奇偶性相關的結論：奇函數(shù) +奇函數(shù) =奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù) =偶函數(shù)；奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)。若 f ( x) 為偶函數(shù)，則f (x)f ( x)f (| x |) 。二、典例分析1、給出 函數(shù)解析式判斷其奇偶性：分析：判斷函數(shù)的奇偶性，先要求定義域，定義域不關于原點對稱的是非奇非偶函數(shù)，若定義域關于原點對稱，再看 f( x)與 f(x)的關系 .【例 1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(

6、1). f ( x) x 22 x 1 ;(2) .f ( x)x 22 , xxx30 ;xx3解： f ( x ) 函數(shù)的定義域是 (，) ， f ( x ) x22 x 1 ，f ( x ) ( x )22 x 1x 22 x 1f ( x ) ， f ( x ) x22 x1 為偶函數(shù)。（法 2圖象法）：畫出函數(shù)f ( x )x 22 x 1 的圖象如下：由函數(shù) f ( x ) x 22 x 1 的圖象可知，.f ( x )x22 x1 為偶函數(shù)。說明：解答題要用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，選擇題、填空題可用圖象法判斷函數(shù)的奇偶性。(2) . 解：由 x 3 0 ，得 x( ， 3 (3

7、，+).x 3定義域不關于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù).【例 2】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1).f ( x)4 x 2;(2) .f ( x )3sin(32x );(3).f ( x)1x 0x332x 21。解：(1). 由4x20，解得2x2x33x0 且 x60定義域為 2x 0 或0 x2，則 f ( x )4x 24x 2x3 3; .x f ( x )4 ( x )24 x 2f ( x ) ; .xx f ( x )4x 2為奇函數(shù) .33x說明：對于給出 函數(shù)解析式較復雜時， 要在函數(shù)的定義域不變情況下， 先將函數(shù)解析式變形化簡，然后再進行判斷。(2). 函數(shù) f ( x )

8、3sin( 32 x ) 定義域為 r，32 f ( x )2 x )3cos2 x ，3sin(2 f (x)3cos 2(x )3cos 2 xf ( x) ， 函數(shù) f ( x)3sin( 32 x ) 為偶函數(shù)。2(3).由x0，解得x0 ， 函數(shù)定義域為xr x 0, x1 ，x 210x1又 f ( x )1x 0110， f (x) 0 ，x21x 21 f ( x)f ( x) 且 f ( x )f ( x ) ，所以 f ( x )1x 0110既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。x21x 21【例 3】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：x(1 x) , ( x0)(1).f ( x )log 0.

9、5 ( xx 21)； (2).f ( x )0 ,( x0)x(1x) , ( x0)解： (1) .定義域為 r， f (x )f ( x )log 0.5 (x( x )21)log 0.5 ( xx 21)log 0.5 ( x 21)x )log 0.5 10 ， f ( x)= f(x)，所以 f(x) 為奇函數(shù)。.給出函數(shù)解析式判斷其奇偶性， 一般是直接找f (x )與f ( x )關系，但當直說明：接找 f ( x ) 與 f ( x) 關系困難時， 可用定義的變形式： f xf x0 函數(shù) f（x）是偶函數(shù)； fx f x 0函數(shù) f （x）是奇函數(shù)。(2) . 函數(shù)的定義域

10、為 r，當 x0時，x0 , f (x )(x )(1x)x(1 x )f ( x ) ;當 x0 時，x0 , f (x )0f ( x ) ;當 x0時，x0 , f (x )(x ) 1( x )x(1 x )f ( x).綜上可知，對于任意的實數(shù)x，都有 f ( x )f ( x ) ，所以函數(shù)f ( x )說明：分段 函數(shù)判斷奇偶性，必分 段來 判斷，只有各 段為同一結果時性。分段 函數(shù)判斷奇偶性，也可用圖象法。2、抽象 函數(shù)判斷其奇偶性：【例 4】 已知函數(shù)f ( x ) ( xr 且 x0) , 對任意的非零實數(shù)x1 , x2f ( x1 x 2 )f ( x1 )f ( x 2

11、 ) , 判斷函數(shù)f ( x ) ( xr 且 x0) 的奇偶性。為奇函數(shù)。函數(shù)才有奇偶, 恒有解：函數(shù)的定義域為(, 0) u (0 ,) ，令 x1x21 ，得 f (1)0 ，令 x1x21 ，則 2 f ( 1)f (1) ,f ( 1)0 ,取 x11 , x2x ，得 f (x )f ( 1)f ( x) ,f (x )f ( x ) ,故 函數(shù) f ( x ) ( xr 且 x0) 為偶函數(shù)。3、函數(shù)奇偶性的應用：(1) . 求字母的值：【例 5】已知函數(shù)f ( x)ax 21z ) 是奇函數(shù)，又 f (1)2 ， f (2)3 ，bx( a ,b , c求 a , b , c

12、的值 .c解：由 f ( x )f ( x) 得 bxc(bxc) ， c0 。又 f (1)2 得 a12 b ，而 f (2)3 得 4a 13 ，2b 4a13 ，解得1a 2。a1又 az ， a0 或 a1 .若a0，則b1z，應舍去；若a 1，則b1=1 z.2z b a1, b1, c0 。說明：本題從函數(shù)的奇偶性入手，利用函數(shù)的思想( 建立方程或不等式，組成混合組) ，使問題得解 . 有時也可用特殊值，如f( 1)= f(1)，得 c =0。(2) . 解不等式：【例 6】若 f(x)是偶函數(shù)，當x 0，+)時， f(x)=x 1，求 f(x1) 0 的解集。分析：偶函數(shù)的圖象

13、關于y 軸對稱，可先作出f(x)的圖象，利用數(shù)形結合的方法 .解：畫圖可知f(x) 0 的解集為 x 1 x 1， f(x1)0 的解集為 x 0 x 2.答案： x 0 x2.說明：本題利用數(shù)形結合的方法解題較快、簡捷.本題也可先求f(x)的表達式，再求f(x1) 的表達式，最后求不等式的解也可得到結果.(3) . 求函數(shù)解析式：【例 7】已知 f(x)是 r 上的奇函數(shù)，且x ( ，0)時， f(x)= xlg(2 x) ，求 f(x).分析：先設x0，求 f(x)的表達式，再合并.解： f(x) 為奇函數(shù)， f(0)=0.當 x 0 時， x 0， f( x)=xlg(2+x)，即 f(

14、x)=xlg(2+x)，f(x)= xlg(2+x) (x 0). f ( x )x lg(2x) ( x0) 。x lg(2x) ( x0)說明：注意自變量在區(qū)間上的轉化，分段函數(shù)的處理和分類討論的思想緊密相連。三、鞏固訓練：一、選擇題1.若 y=f(x)在 x 0， +)上的表達式為y=x(1 x)，且 f(x) 為奇函數(shù)，則x ( ， 0時 f(x)等于a. x(1 x)b.x(1+x)c. x(1+x)exd.x(x 1)2.已知四個函數(shù)：y log 21x ，y1 ， y=3 x+3-x， y=lg(3 x+3 -x).1xex1其中為奇函數(shù)的是a. b.c.d.3.已知 y=f(x

15、) 是定義在 r 上的奇函數(shù)， 當 x0時，f(x)=x22x，則在 r 上 f(x)的表達式為a. x(x 2)b. x（ x 2）c. x(x 2)d.x（ x 2）二、填空題4.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函數(shù)，且定義域為a 1， 2a，則 a=_，b=_.1a(x r 且 x 0)為奇函數(shù)，則 a=_.5.若 f ( x )2x16.已知 f(x)=ax7 bx+2 且 f(5)=17 ，則 f(5)=_.7.已知 f (x) 是定義在 ( 3,3) 上的奇函數(shù)，當 0 x3 時，f ( x) 的圖像如右圖所示，那么不等式f ( x) cos x0 的解集是 _三、解答

16、題1f ( x )18.已知 g ( x )且 x=ln f(x)，判定 g(x) 的奇偶2f ( x )性。9.已知函數(shù) f(x)滿足 f(x+y)+ f(xy)=2f(x) f(y)(x、y r)，且 f(0) 0，試證 f(x)是偶函數(shù) .10.設函數(shù) f ( x ) 是偶函數(shù)，函數(shù) g( x) 是奇函數(shù)，且 f ( x ) g( x )3，求 f ( x) 和x3g( x ) 的解析表達式。11.已知 f(x) x5+ax3-bx-8， f(-2) 10，求 f(2) 。12.已知 f ( x ) 、g( x) 都是定義在 r 上的奇函數(shù)，若f ( x)af ( x )bg ( x )

17、2 在區(qū)間(0 ,13.已知求實數(shù)) 上的最大值為5，求 f ( x) 在區(qū)間 (, 0) 上的最小值。f ( x ) 是奇函數(shù)，在區(qū)間( 2 , 2) 上單調遞增，且有 f (2 a)f (1 2a) 0 ，a 的取值范圍。.四、鞏固訓練參考答案：一、選擇題1. 解析： x ( ， 0， x0，f( x)=( x)(1+x) ， f(x)= x(1+x). f(x)=x(1+x). 答案： b2. 提示：可運用定義，逐個驗算 .答案： d3. 解析：設 x 0，則 x 0， f(x)是奇函數(shù)， f(x)= f( x)= ( x)2 2(x) = x2 2x. f ( x )x 22x ( x

18、0) ，即 f(x)= x（ |x|2），故答案： b 。x 22x ( x0)二、填空題4. 解析：定義域關于原點對稱，故a1=2a， a1 ，3又對于 f(x)有 f(x)=f(x)恒成立， b=0. 答案： 1， 0。35. 解析：特值法： f( 1)=f(1)，1a(1111a) ， a。212121答案：。6. 解析：整體思想： f( 5)=a(5)7 b( 5)+2=17 (a57 5b)=15， f(5)=a57b5+2= 15+2= 13. 答案： 13 。7. 解析： f ( x) 是定義在 ( 3,3) 上的奇函數(shù)， 補充其圖像如圖，又 不等式 f (x)cos x0 同解

19、于f ( x ) 0或cos x0f ( x ) 0，解得x3 ，或x1 或 0x1 ，cos x022不等式 f ( x) cos x0 的解集是, 1u 0 , 1 u, 3 ，答案：22,1u 0 , 1u, 3 。22三、解答題8. 解：由 x=ln f(x)得 f(x)=ex. g ( x )1 f ( x )11 ex 11 (exe x ) 。2f ( x )2ex2又 g ( x )1 (e xex )1 (exe x )g( x ) ， g(x) 為奇函數(shù)。229. 證明：令 x=y=0，有 f(0)+f(0)=2f2(0). f(0) 0， f(0)=1. 令 x=0， f(y)+f( y)=2f(0) f(y)=2f(y). f(y)=f(y). f(x)是偶函數(shù) .歸納：賦值法 (代入特殊值 )在處理一般函數(shù)問題時經常用到 .10. 解： f ( x)g( x)3l (1) ， f (x )g(x)3，x3x3又函數(shù)f ( x ) 是偶函數(shù)，函數(shù)g( x ) 是奇函數(shù)，f (x )f ( x) ， g(x)g( x ) ，.上式化為3l (2)，解 (1),(