1、1,物理競(jìng)賽 輔導(dǎo)講座 力學(xué)部分,2,全國(guó)部分地區(qū)大學(xué)生物理競(jìng)賽,競(jìng)賽按下列五個(gè)組分別報(bào)名和評(píng)獎(jiǎng): A. 物理類組； B. 非物理類A組； C. 非物理類B組； D. 文科、經(jīng)管類組； E. 農(nóng)學(xué)、林學(xué)、醫(yī)學(xué)專業(yè)組。,北京大學(xué)，清華大學(xué)、北京郵電大學(xué)、北理工良鄉(xiāng)校區(qū)和北航沙河校等等,考點(diǎn),每年一屆，今年：第30屆,12月第2個(gè)星期日下午2：004：30（2.5小時(shí)）,時(shí)間,3,我校往屆獲得的成績(jī),4,參考書,5,一、理論的補(bǔ)充內(nèi)容,6,知識(shí)點(diǎn)一： 與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心相關(guān)的內(nèi)容 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 質(zhì)心坐標(biāo)系 柯尼希定理 剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本方程,7,一. 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心,質(zhì)點(diǎn)系（含剛體）的質(zhì)心C，是一個(gè)假想

2、的質(zhì)點(diǎn)。它的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，它的坐標(biāo)定義為：,即,(1),(1),對(duì)于給定的質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)心坐標(biāo)取決于坐標(biāo)系的選擇。但它的相對(duì)位置不因此而變。,8,當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)排成一直線時(shí)，質(zhì)心坐標(biāo)公式成為,9,C,C,C,C,對(duì)于質(zhì)量對(duì)稱分布的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心就在它的對(duì)稱中心。舉例如下：,10,二. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,（2）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即得質(zhì)心加速度：,（4）,即質(zhì)心動(dòng)量就是系統(tǒng)動(dòng)量。,11,（6）式可寫成：,(6）或（7）是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。它在形式上與一個(gè)單質(zhì)點(diǎn)的牛頓方程相同。注意內(nèi)力對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)不起作用。合外力為零時(shí)，質(zhì)心加速度為零，質(zhì)心動(dòng)量守恒（即系統(tǒng)動(dòng)量守恒）。,（7）,因系統(tǒng)

3、內(nèi)力滿足牛頓第三定律，內(nèi)力之和應(yīng)為零，故有,（6）,12,在一般情況下，物體受力后，質(zhì)心按,（7）,產(chǎn)生質(zhì)心加速度。若合力作用線不通過(guò)質(zhì)心，物體將同時(shí)受一對(duì)質(zhì)心的力矩 的作用，得到繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角加速度 ：,（8）,13,三.質(zhì)心坐標(biāo)系 以質(zhì)心為原點(diǎn)的平動(dòng)坐標(biāo)系稱為質(zhì)心坐標(biāo)系（C系）。質(zhì)心坐標(biāo)系在質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)中具有極其重要的作用。,與觀測(cè)儀器相連的坐標(biāo)系稱為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系（L系）。一般地說(shuō)，L系適用于測(cè)定數(shù)據(jù)，C系適用于理論分析。,14,四. 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的分解,此中ui是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)在C系中的速率。（8）稱為柯尼希定理。證明從略。在許多情況下，用（8）式計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能極其方便。,（8）,在任何坐標(biāo)系L中

4、，系統(tǒng)的動(dòng)能恒可分解為質(zhì)心在L系中的動(dòng)能與系統(tǒng)在C系中的動(dòng)能之和：,系統(tǒng)在L系中的動(dòng)能,系統(tǒng)質(zhì)心C在L系中的動(dòng)能,系統(tǒng)在C系中的動(dòng)能,15,例. 計(jì)算沿平面直線滾動(dòng)的均質(zhì)實(shí)心輪子的動(dòng)能Ek。已知輪子半徑為R，質(zhì)量為M, 滾動(dòng)角速度為.,解：在地面坐標(biāo)系（L系）中，輪子質(zhì)心速度為,質(zhì)心在L系中的動(dòng)能為,輪子在C系中作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為,輪子在L系中的動(dòng)能為,16,五. 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng),C,C,過(guò)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸垂直圖面,上圖顯示剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)其上一個(gè)截面的運(yùn)動(dòng)。該截面過(guò)質(zhì)心C，并保持在屏幕平面內(nèi)。同時(shí)，剛體繞過(guò)質(zhì)心C且垂直于圖面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的這種運(yùn)動(dòng)方式稱為平面平行運(yùn)動(dòng)。,C,質(zhì)心C

5、的軌跡,17,C,C,C,剛體的這種運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。,（7）,（8）,質(zhì)心C的軌跡,隨質(zhì)心的平動(dòng)規(guī)律與質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同：,即,18,可見(jiàn)，剛體的平面運(yùn)動(dòng)滿足3個(gè)獨(dú)立投影方程。,（9）,是剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律為,合外力矩,以沿平面直線滾動(dòng)的輪子為例：,平動(dòng)方程,轉(zhuǎn)動(dòng)方程,19,知識(shí)點(diǎn)二： 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本方程 角動(dòng)量定理,20,轉(zhuǎn)軸,剛體角位移的大小,剛體初始位置,剛體末位置,剛體角位移矢量,剛體角速度矢量,轉(zhuǎn)軸,外力 在轉(zhuǎn)軸的垂直平面內(nèi),外力對(duì)O點(diǎn)的矩,外力的作用點(diǎn),o,o,21,剛體的角加速度矢量,由于轉(zhuǎn)軸方向不變，上述關(guān)系可簡(jiǎn)寫成投影關(guān)

6、系：,剛體的角速度矢量,角坐標(biāo):,角速度:,角加速度:,剛體的角位移,剛體角速度的增量,22,角動(dòng)量在轉(zhuǎn)軸上的投影是： L= mvr = mr2,m,o,z,對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的質(zhì)點(diǎn)， 恒有 ，因而,質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：,23,剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上所有質(zhì)點(diǎn)繞轉(zhuǎn)軸的角速度為一共同量。 按照質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定義p=mv，質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量L= mr2 也可視為慣量與角速度的乘積，mr2就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以字符J記之：J=mr2，它體現(xiàn)了質(zhì)點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的大小。 剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：,L,A,r,dm,24,（5）稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)

7、量定理，又稱剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。,當(dāng)（5）中外力矩M=0時(shí)，剛體角動(dòng)量L=J=常值。此即剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)下的角動(dòng)量守恒定律。它類似于平動(dòng)問(wèn)題中的動(dòng)量守恒定律。,25,外力矩M=0時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量L=J=常值，是一條應(yīng)用極廣的定律。,離心節(jié)速器,26,平行軸定理,d,LC,L,若剛體對(duì)過(guò)其質(zhì)心C的軸LC的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 為已知，則該剛體對(duì)另一平行軸L的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：,此處d為兩平行軸間的垂距。證明從略。,質(zhì)心C,平行軸,27,已知均質(zhì)圓盤繞過(guò)中心C的垂直軸LC的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:,則該圓盤對(duì)過(guò)邊緣的垂直軸L的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：,平行軸定理應(yīng)用舉例：,28,解：,1）過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：,挖去部分的質(zhì)量,第二十屆大學(xué)生

8、物理競(jìng)賽：,29,2）過(guò)新質(zhì)心點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：,首先找出新質(zhì)心位置,作如圖坐標(biāo)系,令挖后質(zhì)心坐標(biāo)為 XC，有：,挖前質(zhì)心坐標(biāo)：,30,平行軸定理：,本題結(jié)束,R/6,31,垂直軸定理 如右圖所示, 對(duì)于勻質(zhì)薄剛體，x、y軸在剛體內(nèi)且相互垂直, z軸垂直于剛體.則剛體對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其對(duì) x、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。,32,垂直軸定理應(yīng)用舉例,x,y,z,a,b,已知矩形均質(zhì)薄剛體，邊長(zhǎng)各為a,b, 對(duì)x軸與y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各為：,由垂直軸定理知，剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：,33,已知圓盤初始角速度 , 圓盤與水平板之間的摩擦系數(shù)為. 求：（1）圓盤所受摩擦力矩； （2）圓盤放在平板上經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間后

9、停止轉(zhuǎn)動(dòng)？,例題,R,m,圓盤側(cè)視圖,34,r,r+dr,R,解（1）: 將圓盤分解成許多寬為dr的同心圓環(huán)。圓環(huán)面積為dS=2rdr, 圓盤單位面積質(zhì)量為=m/R2, 園環(huán)質(zhì)量為 dm=dS, 園環(huán)受的摩擦力為df =gdm, 摩擦力矩為,負(fù)號(hào)表示力矩的方向與初始角速度方向相反。,dS,圓盤俯視圖,35,答(1): 對(duì) r 積分，得總摩擦力矩：,解(2): 將總摩擦力矩的值代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律（角動(dòng)量定理）中：,分離變量：,36,設(shè)t=t1時(shí)刻圓盤停止，便有：,答（2）： t=t1=3R/4g 時(shí)圓盤停止。,37,將轉(zhuǎn)動(dòng)定律 代入上式右方，得元功,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,定義力矩M的元功：,此處 為定軸

10、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能。(6)式表明：力矩的元功轉(zhuǎn)化為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的元增量此稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理的微分形式。,(6),38,動(dòng)能定理的積分形式是：,即，外力矩作的總功等于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能的增量。,(7),（7）式僅適用于J不變的場(chǎng)合。當(dāng)J改變時(shí)，（7）應(yīng)改為：,(8),39,沖擊力問(wèn)題,沖擊力的特點(diǎn)是力F很大而作用時(shí)間極短。因而積分值（沖量）,既不是無(wú)限大，也不是無(wú)限小，而是有限非零值。當(dāng) 已知時(shí)，按動(dòng)量定理,（1）,（2）,（2）是動(dòng)量定理的積分形式，適用于沖擊力造成剛體平動(dòng)的場(chǎng)合。,沖擊力的沖量,動(dòng)量增量,40,（3）,（3）是角動(dòng)量定理的積分形式，適用于沖擊力造成剛體旋轉(zhuǎn)的場(chǎng)合。,沖量矩

11、,角動(dòng)量增量,將（2）改寫成：,沖擊力矩問(wèn)題,沖擊力問(wèn)題的一個(gè)共同特點(diǎn)是，在力作用時(shí)間內(nèi)，剛體的動(dòng)量或角動(dòng)量有明顯改變，但剛體的位移則可以忽略不計(jì)。原因是，前者是時(shí)間的同級(jí)小量，而后者是時(shí)間的二級(jí)小量。,41,沖擊力矩例題,O,m,l,A,一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒AO，支點(diǎn)在棒端O點(diǎn)。開(kāi)始時(shí)，棒自由懸掛。以不變的沖力 打擊它的下端點(diǎn)A，力作用的時(shí)間為。若棒原先靜止，求打擊后瞬間棒的角動(dòng)量L以及棒的最大偏角。,解.打擊前，棒的角動(dòng)量為零。沖擊力對(duì)棒上O點(diǎn)的矩為：,沖擊力作用點(diǎn),按角動(dòng)量定理，有,C,懸掛點(diǎn),打擊后瞬間棒的角速度,42,O,m,l,F,O,m,打擊后瞬間棒的角速度為：,打擊后棒

12、的初動(dòng)能：,由機(jī)械能守恒求出棒的最大偏角：,打擊后棒得到的角動(dòng)量為,重心C提升高度,C,C,C,重心,棒受打擊后瞬間的動(dòng)能,43,剛體定軸旋轉(zhuǎn)中的機(jī)械能守恒例題,t=0時(shí)刻,t時(shí)刻,C,C,L,水 平 軸,均勻細(xì)棒AB質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng), 可繞過(guò)A端的水平軸旋轉(zhuǎn)。將棒置于水平位置，然后將B端放開(kāi)任其自由落下。求細(xì)棒的角速度和角加速度與角位移的關(guān)系。,A,A,B,B,B,質(zhì)心C下降了(L/2)sin ,44,C,C,L,勢(shì)能改變量：,動(dòng)能改變量：,機(jī)械能守恒定律：,水平軸,t=0時(shí)刻,t時(shí)刻,質(zhì)心C下降了(L/2)sin ,45,將（2）對(duì) t 求導(dǎo)：注意 ， 有：,（4）,解出：,（3）,（2）

13、,即：,（1）,也可用轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到,46,典型難題：彈簧與非彈性碰撞,光滑水平面上有一輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)為k。它一端固定，另端系一質(zhì)量為m的滑塊。最初滑塊靜止時(shí)，彈簧呈自然長(zhǎng)度L0 ,今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0 沿水平方向并垂直于彈簧軸線射向滑塊并留在其中，使滑塊在水平面內(nèi)滑動(dòng)。當(dāng)彈簧長(zhǎng)度被拉伸至L時(shí)，求滑塊速度的大小v和方向角。,47,(1),解得：,子彈射入滑塊可視為沖擊過(guò)程。它是完全非彈性碰撞過(guò)程，歷時(shí)很短，可認(rèn)為子彈停留在滑塊中后，滑塊才攜子彈開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)其初速為u. 由動(dòng)量守恒定律，有：,48,(2),彈簧恢復(fù)力恒指向O點(diǎn)，它對(duì)O點(diǎn)的力矩恒為零，因而系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：,(3

14、),在以后的運(yùn)動(dòng)中，起作用的力只有彈簧恢復(fù)力，它是保守力，因而系統(tǒng)機(jī)械能守恒：,(2)(3)兩式中只有v與兩個(gè)未知量，可聯(lián)立求解。,49,（5）,聯(lián)立解出v和：,(4),50,萬(wàn)有引力系統(tǒng),51,萬(wàn)有引力有心力的一種：,有心力：力的方向永遠(yuǎn)沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線,萬(wàn)有引力定律：任何兩物體間都存在相互吸引力，其方向沿兩物體的連線，大小與兩物體的質(zhì)量成正比，與兩物體間的距離成反比。,G:萬(wàn)有引力常數(shù)：G=6.6710-11 Nm2 kg-2,物體1的質(zhì)量,物體2的質(zhì)量,兩體間距離,52,：沿矢徑方向的單位矢量。模恒為1,方向指向被研究對(duì)象，即：,研究m1時(shí)， 指向m1，,研究m2時(shí)， 指向m2。,53,如

15、討論在地球表面物體m的運(yùn)動(dòng)：,地球的質(zhì)量5.98x1024kg,地球的半徑6378.137 km,g是地球表面的重力加速度，數(shù)值為：,高空：物體所受重力仍遵循平方反比規(guī)律。,54,有心力場(chǎng)中物體的運(yùn)動(dòng)，天體運(yùn)動(dòng)：,有心力是保守力：,有心力場(chǎng)中物體由A點(diǎn)移到B點(diǎn)，有心力做功W：,取極坐標(biāo)系,55,萬(wàn)有引力場(chǎng)中的勢(shì)能：在引力場(chǎng)中把物體由 r 處移到無(wú)窮遠(yuǎn)處的過(guò)程中引力所做的功。,V（r）恒為負(fù)值,56,有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量守恒：,因?yàn)椋河赊D(zhuǎn)動(dòng)定律：,57,面積定律：在萬(wàn)有引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的物體其矢徑在單位面積內(nèi)掃過(guò)的面積相等。角動(dòng)量守恒的推論,S1= S2,58,萬(wàn)有引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道（馬

16、文蔚書上冊(cè)p133)：,角動(dòng)量,能量,e: 離心率。,力心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,59,情形1：能量E0時(shí)， e1, 軌道為橢圓。此情形m的動(dòng)能無(wú)法克服引力而飛到無(wú)窮遠(yuǎn)，m被束縛在m周圍。,情形2：能量E0時(shí)， e1, 軌道為拋物線 此情形m的動(dòng)能足以克服引力而飛到無(wú)窮遠(yuǎn)，m遠(yuǎn)離m飛去，不再返回。,兩種情形：,情形1： E0 e1,情形2： E0 e1,60,近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)：,近地點(diǎn)， Ek最大，v最快， Ep最低。,遠(yuǎn)地點(diǎn)， Ek最小，v最慢， Ep最高。,在橢圓方程中分別令 =0 和 得近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)：,近地點(diǎn)：,遠(yuǎn)地點(diǎn)：,61,橢圓半長(zhǎng)軸,還可以利用半長(zhǎng)軸r近和r遠(yuǎn)的關(guān)系消去A得到：,橢圓

17、半焦距,c,橢圓半短軸,b,62,人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，宇宙速度：,第一宇宙速度：若使人造地球衛(wèi)星沿地球表面的正圓形軌道飛行，衛(wèi)星發(fā)射時(shí)的初始速度v必須不小于某特定值。,正圓形軌道要求：,離心率：,地球表面的重力加速度,軌道方程：,此公式也可由“向心力=引力”推得,63,把g=9.81m/s2,R=6400km代入公式得：,v1稱為第一宇宙速度（環(huán)繞速度），人造地球衛(wèi)星初始速度必須大于v1才能維持環(huán)繞地球飛行，否則落回地面。,64,第二宇宙速度：若使人造地球衛(wèi)星離開(kāi)地球成為人造行星，必須使離心率e 1，這要求衛(wèi)星能量 E 0, 令：,v2稱為第二宇宙速度，人造地球衛(wèi)星初始速度大于v2時(shí)，離開(kāi)地球

18、成為人造行星。 v2又叫逃逸速度。如：美國(guó)“旅行者”火星探測(cè)器。,當(dāng)v1 v v2 時(shí)，人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)。,65,第二十七屆大學(xué)生物理競(jìng)賽：,填空 : 1.,66,第二十一屆大學(xué)生物理競(jìng)賽：,填空 : 1.,67,第二十一屆大學(xué)生物理競(jìng)賽：,填空 : 1.,解：設(shè)火箭起初在地球束縛軌道上運(yùn)動(dòng)，軌跡為一橢圓，其總能量為：,火箭速度增加 時(shí)，火箭總能量增量為：,當(dāng) 的大小給定時(shí)，若使 E 達(dá)到最大，第一項(xiàng)必須達(dá)到最大。這要求： v 和 cos 取最大，即： 1）火箭在近地點(diǎn) 2） 與 同向,本題結(jié)束,68,第二十一屆大學(xué)生物理競(jìng)賽：,二、計(jì)算題，13.,69,2R,M,碰前衛(wèi)星速度（圓軌道）：,碰撞為完全非彈性，動(dòng)量守恒,m,70,碰后能量,碰后星體作橢圓運(yùn)動(dòng),橢圓半長(zhǎng)軸,而在碰撞點(diǎn)處，,故碰撞點(diǎn)為近日點(diǎn),再由,導(dǎo)出,說(shuō)明什么？,71,（2）反方向相碰,此時(shí)，與從后面碰撞相反，此時(shí)星體速度損失，軌道高度下降，碰點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn)。,從后面碰撞,從前面碰撞,本題結(jié)束,E,a,e,72,第二十八屆大學(xué)生物理競(jìng)賽：,計(jì)算