1、.專題圓錐曲線中的探索性問題1(2016 標全國乙課 )在直角坐標系xoy 中，直線 l ：y t(t 0)交 y 軸于點 m ，交拋物線c：y2 2px(p0)于點 p，m 關(guān)于點 p 的對稱點為n ，連接 on 并延長交c 于點 h .(1) 求 |oh |； (2)除 h 以外，直線 mh 與 c 是否有其他公共點？說明理由|on|x2 y22(2016 四川 )已知橢圓 e：a2 b2 1(ab0) 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線 l： y x 3 與橢圓 e 有且只有一個公共點 t.(1)求橢圓 e 的方程及點 t 的坐標；(2)設(shè) o 是坐標原點，直線 l平

2、行于 ot，與橢圓 e 交于不同的兩點a、b，且與直線 l 交于點 p.證明：存在常數(shù) ，使得 |pt|2 |pa| |pb |，并求 的值高考必會題型題型一定值、定點問題例1 已知橢圓 c：x2y21(ab0) 經(jīng)過點 (0，3)，離心率為1，直線 l 經(jīng)過橢圓 c 的右焦b22a2點 f 交橢圓于 a、b 兩點(1)求橢圓 c 的方程；(2) 若直線 l 交 y 軸于點 m，且 ma af ， mb bf，當直線 l 的傾斜角變化時，探求 ;.的值是否為定值？若是，求出 的值；否則，請說明理由變式訓(xùn)練1已知拋物線y2 2px(p0)，過點 m(5， 2)的動直線l 交拋物線于a， b 兩點

3、，當直線 l 的斜率為 1 時，點 m 恰為 ab 的中點(1) 求拋物線的方程；(2) 拋物線上是否存在一個定點p，使得以弦ab 為直徑的圓恒過點p，若存在，求出點p 的坐標，若不存在，請說明理由題型二定直線問題例 2在平面直角坐標系xoy 中，過定點c(0， p)作直線與拋物線x2 2py(p0) 相交于 a， b 兩點(1) 若點 n 是點 c 關(guān)于坐標原點 o 的對稱點， 求 anb 面積的最小值；(2) 是否存在垂直于 y 軸的直線 l，使得 l 被以 ac 為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，請說明理由;.變式訓(xùn)練 2 橢圓 c 的方程為x2y2a2b

4、2 1(ab0) ， f1、f 2分別是它的左、右焦點，已知橢圓c 過點 (0,1)，且離心率2 2 e 3 .(1) 求橢圓 c 的方程；(2) 如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點分別為a、 b，直線 l 的方程為 x 4，p 是橢圓上異于 a、 b的任意一點，直線pa、 pb 分別交直線 l 于 d、 e 兩點，求 f 1df 2e的值；(3) 過點 q(1,0)任意作直線 m(與 x 軸不垂直 )與橢圓 c 交于 m、n 兩點，與 l 交于 r 點，rm ， rn ynq，求證： 4x4y 5 0.xmq題型三存在性問題例 3(1) 已知直線ya 交拋物線y x2 于 a， b 兩點若該拋物線上存

5、在點c，使得 acb為直角，則a 的取值范圍為_223，以橢圓的左頂點(2) 如圖，已知橢圓c： x2 y2 1(ab0)的離心率為t 為圓心作圓 t：ab2(x 2)2 y2 r2 (r 0)，設(shè)圓t 與橢圓 c 交于點 m， n.;. t 的方程；求橢圓 c 的方程；求 tmtn的最小值，并求此時圓設(shè)點 p 是橢圓 c 上異于 m ，n 的任意一點，且直線mp， np 分別與 x 軸交于點 r， s，o為坐標原點試問：是否存在使s poss por 最大的點 p？若存在，求出點p 的坐標；若不存在，請說明理由變式訓(xùn)練 3 (2015 四川 )如圖，橢圓 e： x2 y21(a b 0)的離

6、心率是a22b2 2，點 p(0,1)在短軸 cd 上，且 pc pd 1.(1) 求橢圓 e 的方程；(2) 設(shè) o 為坐標原點，過點 p 的動直線與橢圓交于 a，b 兩點是否存在常數(shù) ，使得 oa ob 的值；若不存在，請說明理由papb為定值？若存在，求;.高考題型精練x2y21.(2015 陜西 )如圖，橢圓e：a2 b2 1(a b 0)經(jīng)過點 a(0 ， 1)，且2離心率為2 .(1) 求橢圓 e 的方程；(2) 經(jīng)過點 (1,1)，且斜率為k 的直線與橢圓e 交于不同的兩點p， q(均異于點a)，證明：直線 ap 與 aq 的斜率之和為2.22f(1,0)，且點 p(1， 32

7、已知橢圓 c：x2 y2 1(ab0)的右焦點為)在橢圓 c 上， o 為坐標ab2原點(1)求橢圓 c 的標準方程；(2)設(shè)過定點 t(0,2) 的直線 l 與橢圓 c 交于不同的兩點a，b，且 aob為銳角，求直線l 的斜率 k 的取值范圍；22p，作圓 o： x2 y2 4的兩條切線，切(3)過橢圓 c1： x2 y1 上異于其頂點的任一點ab2533點分別為m， n(m， n 不在坐標軸上 )，若直線 mn 在 x 軸， y 軸上的截距分別為m，n，證明：11 為定值3m2n2223 (2016 山東 )已知橢圓 c： x2 y2 1(ab 0)的長軸長為4，焦距為ab22.;.(1)

8、 求橢圓 c 的方程；(2) 過動點 m(0，m)(m0)的直線交 x 軸于點 n，交 c 于點 a，p(p 在第一象限 )，且 m 是線段 pn 的中點過點p 作 x 軸的垂線交c 于另一點q，延長 qm 交 c 于點 b.設(shè)直線 pm ， qm 的斜率分別為k， k，證明 k 為定值；k求直線 ab 的斜率的最小值x2y24已知橢圓 c：a2 b2 1(ab0)的右焦點為 f(1,0)，短軸的一個端點 b 到 f 的距離等于焦距(1) 求橢圓 c 的方程；(2) 過點 f 的直線 l 與橢圓 c 交于不同的兩點 m，n，是否存在直線 l，使得 bfm 與 bfn 的面積比值為 2？若存在，

9、求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由圓錐曲線中的探索性問題1 (2016 課標全國乙 )在直角坐標系xoy 中，直線l ：y t(t 0)交 y 軸于點 m，交拋物線c：y2 2px(p0) 于點 p，m 關(guān)于點 p 的對稱點為n，連接 on 并延長交c 于點 h .(1) 求 |oh |； (2)除 h 以外，直線 mh 與 c 是否有其他公共點？說明理由|on|22解 (1) 由已知得 m(0， t)， p t ， t ，又 n 為 m 關(guān)于點 p 的對稱點，故nt ， t， on 的方2ppp2t22t2程為 y t x，代入 y2 2px 整理得 px2 2t2x 0，解得 x1

10、 0， x2 p，因此 h p， 2t .|oh |所以 n 為 oh 的中點，即 |on|2.(2) 直線 mh 與 c 除 h 以外沒有其他公共點，理由如下：直線mh 的方程為 y t p x，即 x2t;.2t p (y t)代入 y22px 得 y2 4ty 4t2 0，解得 y1 y2 2t，即直線mh 與 c 只有一個公共點，所以除h 以外，直線mh 與 c 沒有其他公共點x2 y22(2016 四川 )已知橢圓 e：a2 b2 1(ab0) 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線l： y x 3 與橢圓 e 有且只有一個公共點 t.(1) 求橢圓 e 的方程及點

11、t 的坐標；(2) 設(shè) o 是坐標原點，直線l平行于 ot，與橢圓 e 交于不同的兩點 a、b，且與直線 l 交于點 p.證明：存在常數(shù) ，使得 |pt|2 |pa| |pb |，并求 的值22解 (1) 由已知，得 a2b，則橢圓 e 的方程為x 2 y2 1.2bbx2 y2由方程組2b2 b2 1，222得 3x 12x (18 2b) 0. 方程 的判別式為 24(b 3)，由y x 3， 0，得 b2 3，此時方程 的解為 x 2，所以橢圓x2y2e 的方程為6 3 1.點 t 的坐標為 (2,1)1(2) 由已知可設(shè)直線 l 的方程為 y 2x m(m0) ，12mx 2 3 ，y

12、 2x m，2m2m28 2由方程組可得2mp 點坐標為23， 13，|pt| 9m .y x 3，y1 3 .x2y26 3 1，22設(shè)點 a，b 的坐標分別為a(x ，y)，b(x ，y )由方程組可得 3x 4mx (4m11221y 2x m， 16(9 2m2)，由323212) 0. 方程 的判別式為0，解得2mb0) 經(jīng)過點 (0，3)，離心率為a2b22點 f 交橢圓于a、b 兩點 (1)求橢圓 c 的方程；;.的傾斜角變化時，探求 (2) 若直線 l 交 y 軸于點 m，且 ma af ， mb bf，當直線 l的值是否為定值？若是，求出 的值；否則，請說明理由解(1) 依題

13、意得 b3， e c1222x2y2a2， a b c ， a2， c 1， 橢圓 c 方程為4 3 1.(2) 直線 l 與 y 軸相交于點 m，故斜率存在，又f 坐標為 (1,0)，設(shè)直線 l 方程為yk( x1)，求得 l 與 y 軸交于 m(0， k)，設(shè) l 交橢圓 a(x ， y )， b(x ， y )，1122由yk x1 ，消去 y 得(32 22212 0， x1 28k2，x1 24k2 124k)x 8kx4k，x2y2 x x 3 4k23 4k24 3 1，x1，同理 x2，又由 ma af， (x1111，y k)(1 x ， y )， 1 x1 x128k22

14、4k2 12 12x1 x22x1x23 4k2 3 4k28xx12122 3.1228k4k 121 x 1 x1 x xx x13 4k23 4k2當直線 l 的傾斜角變化時， 的值為定值 83.點評(1)定點問題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x， y 當作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于 x， y 的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點(2) 定值問題的求解策略在解析幾何中， 有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就是 “ 定值 ” 問題，解決這類問題常通過取特殊值，先確定 “

15、定值 ” 是多少，再進行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值變式訓(xùn)練1已知拋物線y2 2px(p0)，過點 m(5， 2)的動直線l 交拋物線于a， b 兩點，當直線 l 的斜率為 1 時，點 m 恰為 ab 的中點(1) 求拋物線的方程；(2)拋物線上是否存在一個定點p，使得以弦ab 為直徑的圓恒過點p，若存在，求出點p 的坐標，若不存在，請說明理由解(1) 當直線 l 的斜率為 1 時，直線l 的方程為x y 3 0，即 x 3 y，;.y y2代入 y2 2px(p0)得 y2 2py 6p 0，1y2 4x.2 p

16、 2， p 2，拋物線的方程為(2) 設(shè)直線 l 的方程為 x m(y 2) 5，代入 y24x 得 y2 4my 8m 20 0，22yy12設(shè)點 a( 4 ， y1)， b( 4 ， y2)，則 y1 y2 4m， y1y2 8m 20，2 2222y0y1y0y2y0假設(shè)存在點 p( 4 ， y0) 總是在以弦 ab 為直徑的圓上，則 papb ( 4 4 )( 4 4 )( y1 y0)(y2 y0) 0，當 y1 y0 或 y2 y0 時，等式顯然成立；當 y1 y0 或 y2 y0 時，則有 (y1 y0)( y2 y0) 16，即 4my0 y20 8m20 16，(4m y0

17、2)(y0 2) 0，解得 y0 2， x0 1，所以存在點p(1,2)滿足題意題型二定直線問題例 2在平面直角坐標系xoy 中，過定點c(0， p)作直線與拋物線x2 2py(p0) 相交于 a， b 兩點(1) 若點 n 是點 c 關(guān)于坐標原點 o 的對稱點， 求 anb 面積的最小值；(2) 是否存在垂直于 y 軸的直線 l，使得 l 被以 ac 為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，請說明理由解方法一(1) 依題意，點n 的坐標為 (0， p)，可設(shè) a(x1， y1)， b( x2， y2)，x2 2py，直線 ab 的方程為 y kx p，與 x2 2p

18、y 聯(lián)立得消去 y 得 x2 2pkx 2p20.y kxp，1由根與系數(shù)的關(guān)系得x1 x2 2pk， x1x2 2p2.于是 sabn sbcn s acn 22p|x1 x2|p|x1 2| p122 4x124p2k2 8p22p22 2， 當 k 0 時，(sabn )min 2 2 xx xx pkp2.(2) 假設(shè)滿足條件的直線 l 存在，其方程為 y a，ac 的中點為 o ， l 與以 ac 為直徑的圓相交于點p， q， pq 的中點為 h，x1y1 p1122122則 oh pq，o 點的坐標為 ( 2 ，2) |o p|2|ac|2x1 y1 p2y1 p ，|o h| a

19、 y1 p 1|2a y1 p|， |ph|2 |o p|2 |o h|22214(y21p2) 14(2ay1 p)2 (ap2)y1 a( p a)， |pq|2 (2|ph |)2;.ppp 4( a2)y1 a(pa) 令 a 2 0，得 a 2，此時 |pq| p 為定值，故滿足條件的直線l 存在，p其方程為y2，即拋物線的通徑所在的直線方法二(1)前同方法一，再由弦長公式得|ab|1 k2|x1x2| 1 k2 x1x2 2 4x1x2 1 k2 4p2k2 8p22p 1 k2 k2 2，2p1又 由 點 到 直 線 的 距 離 公 式 得d 2. 從 而s abn 2d|ab|

20、 1k12p 1k2 k2 2 2p21 k22p22時， (s2k 2. 當 k 0) 2 2p . abn min(2) 假設(shè)滿足條件的直線 l 存在，其方程為 y a，則以 ac 為直徑的圓的方程為(x 0)(x x1) (y p)(y y1) 0，將直線方程y a 代入得 x2x1x (a p)( a y1)0，2p則 x1 4(a p)( a y1) 4( a2)y1 a( p a) 設(shè)直線 l 與以 ac 為直徑的圓的交點為p(x3 ，y3)，q(x4， y4)，p則有 |pq| |x3 x4 |4 a2 y1 a p a ppp2a 2 y1 a p a .令 a2 0，得 a

21、2，此時 |pq| p 為定值，p故滿足條件的直線l 存在，其方程為y 2，即拋物線的通徑所在的直線點評 (1)定直線由斜率、截距、定點等因素確定(2)定直線為特殊直線 x x0， y y0 等橢圓 c 的方程為 x22變式訓(xùn)練 22 y21(ab0) ， f 1、 f2 分別是它的左、右焦點，已知橢圓ab22c 過點 (0,1)，且離心率 e3 .(1) 求橢圓 c 的方程； (2)如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點分別為a、 b，直線 l 的方程為 x 4， p是橢圓上異于a、b 的任意一點， 直線 pa、pb 分別交直線 l 于 d、e 兩點， 求f1d f2e的值；(3) 過點 q(1,0)任意

22、作直線 m(與 x 軸不垂直 )與橢圓 c 交于 m、n 兩點，與 l 交于 r 點，rm ， rn ynq，求證： 4x4y 5 0.xmq;.c22(1) 解由題意可得b 1，a3 ，2a 3，橢圓 c 的方程為 x9 y2 1.(2) 解 設(shè) p(x0， y0)，則直線 pa、pb 的方程分別為yy0(x 3)， y y0(x 3)，x 3x 300將 x 4 分別代入可求得d， e 兩點的坐標分別為d(4，7y0)， e(4，y0)x0 3x0 37y0y由(1) 知， f 1(4 2 2，0212) (4 2 2，)( 2 2， 0)， f (2 2， 0)， fd f ex0 3x

23、0 3227y0，又 點 p( x ， y )在橢圓 c 上， x028 29 y 1?000x0 92165y02 9， f d f e9 .12x0 9(3) 證明設(shè) m(x1， y1 )， n(x2，y2)， r(4， t)，由 rm xmq得 (x1 4， y1 t) x(1 x1， y1)，4 xx1，1 x(x 1)，代入橢圓方程得(4 x)2 9t29(1 x)2，t1y 1 x 消去 t，得 x y 5，同理由 rn ynq得 (4 y)2 9t2 9(1 y)2， 44x 4y 5 0.題型三存在性問題例 3(1) 已知直線 ya 交拋物線 y x2 于 a， b 兩點若該拋

24、物線上存在點c，使得 acb為直角，則 a 的取值范圍為 _解析以 ab 為直徑的圓的方程為 x2( y a) 2 a，由y x2，得 y2 (1 2a)yx2 y a 2 a，a0，a2 a 0.即 (y a)y (a 1) 0，由已知解得 a1.a 1 0，223，以橢圓的左頂點(2) 如圖，已知橢圓 c： x2 y2 1(ab0)的離心率為t 為圓心作圓 t：ab2(x 2)2 y2 r2 (r 0)，設(shè)圓 t 與橢圓 c 交于點 m， n.求橢圓 c 的方程；求 t 的方程；tm tn的最小值，并求此時圓;.設(shè)點 p 是橢圓 c 上異于 m ，n 的任意一點，且直線mp， np 分別與 x 軸交于點r， s，o為坐標原點試問：是否存在使s poss por 最大的點 p？若存在，求出點p 的坐標；若不存在，請說明理由c3解 由題意知a2，222解之，得 a 2， c3，由 c a b ，得 b 1，a 2，x2故橢圓 c 的方程為4 y2 1. 點 m 與點 n 關(guān)于 x 軸對稱，22