1、第 二 章 簡單線性回歸模型,引例：居民收入與消費(fèi)有何種關(guān)系？,西方經(jīng)濟(jì)學(xué)理論代表福利經(jīng)濟(jì)學(xué) 家凱恩斯(Keyness)認(rèn)為: 隨著收入的增加,消費(fèi)也會(huì)增加。 收入直接制約著消費(fèi),而收入分 配的嚴(yán)重不均,不僅會(huì)使社會(huì)中 產(chǎn)生不安因素,而且還大大影響 消費(fèi)需求的提高。 居民收入與消費(fèi)相關(guān)密切程度如何？ 居民收入和消費(fèi)有著何種數(shù)量關(guān)系? 怎樣根據(jù)收入的變動(dòng)來估計(jì)消費(fèi)的變動(dòng)?,顯然，對(duì)居民消費(fèi)起決定性影響作用的有“居民的可支配收入”，“對(duì)未來收入的預(yù)期”以及“物價(jià)水平”等因素。為了不使問題復(fù)雜化, 我們先對(duì)最簡單的單一變量間數(shù)量關(guān)系加以討論“居民消費(fèi)”(Y)與“居民可支配收入”(X)有怎樣的數(shù)量關(guān)系

2、呢？ 能否用某種線性或非線性關(guān)系式 Y= f ( X ) 去表現(xiàn)這種數(shù)量關(guān)系呢?具體該怎樣去表現(xiàn)呢?,需要研究經(jīng)濟(jì)變量之間數(shù)量關(guān)系的方法,為什么先討論簡單線性回歸模型呢？,在計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中，只有兩個(gè)變量且為線性的回歸模型最簡單，稱為簡單線性回歸模型。簡單線性回歸的原理可以直接用代數(shù)式去表述，較為直觀，更容易理解和接受。 先討論 簡單線性回歸模型，然后很容易拓展到多元的情況。 本章主要討論的問題 : 回歸分析的基本概念 線性回歸模型參數(shù)的估計(jì) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn) 回歸方程的擬合優(yōu)度回歸模型預(yù)測(cè),第一節(jié) 回歸分析與回歸函數(shù) 一、相關(guān)分析與回歸分析 1、經(jīng)濟(jì)變量之間的相互關(guān)系 性質(zhì)上可能有三種

3、情況: 確定性的函數(shù)關(guān)系 Y=f (X) 可用數(shù)學(xué)方法計(jì)算 例如： 個(gè)人收入與所得稅之間的關(guān)系,經(jīng)濟(jì)變量之間的相互關(guān)系,不確定的統(tǒng)計(jì)關(guān)系相關(guān)關(guān)系 Y= f（X,） (為隨機(jī)變量) 可用統(tǒng)計(jì)方法分析 例如：收入與消費(fèi)之間的關(guān)系,沒有關(guān)系 不用分析 例如： 收入與天氣的關(guān)系,2、相關(guān)關(guān)系, 相關(guān)關(guān)系的描述 最直觀的描述方式坐標(biāo)圖（散布圖、散點(diǎn)圖）,函數(shù)關(guān)系(線性),相關(guān)關(guān)系(線性),沒有關(guān)系,相關(guān)關(guān)系(非線性),相關(guān)關(guān)系的類型, 從涉及的變量數(shù)量看 簡單相關(guān) 多重相關(guān)（復(fù)相關(guān)） 從變量相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式看 線性相關(guān)散布圖接近一條直線 非線性相關(guān)散布圖接近一條曲線 從變量相關(guān)關(guān)系變化的方向看 正相關(guān)

4、變量同方向變化，同增同減 負(fù)相關(guān)變量反方向變化，一增一減 不相關(guān),3、相關(guān)程度的度量相關(guān)系數(shù),如果 和 總體的全部數(shù)據(jù)都已知， 和 的方差和 協(xié)方差也已知，則 X和Y的總體線性相關(guān)系數(shù)： 其中： -X 的方差 -Y的方差 -X和Y的協(xié)方差 如果只知道 和 的樣本觀測(cè)值，則 X和Y的樣本線性相關(guān)系數(shù)： 其中： 和 分別是變量X和Y的樣本觀測(cè)值， 和 分別是變量 X 和Y 樣本值的平均值。,特點(diǎn)： 線性相關(guān)系數(shù)(包括總體和樣本相關(guān)系數(shù))只反映變量間的線性相關(guān)程度，不能說明非線性相關(guān)關(guān)系。 X和Y 都是相互對(duì)稱的隨機(jī)變量， ， 注意： 對(duì)于特定的總體來說， 和 的分布是既定的，總體相關(guān)系數(shù) 是客觀存

5、在的特定數(shù)值。 總體的兩個(gè)變量 和 的全部數(shù)值通常不可能直接觀測(cè)，所以總體相關(guān)系數(shù)一般是未知的。 樣本相關(guān)系數(shù) 是隨抽樣而變動(dòng)的隨機(jī)變量，是總體相關(guān)系數(shù)的樣本估計(jì)值。,對(duì)相關(guān)系數(shù)的正確理解和使用,只是相關(guān)分析還不能達(dá)到經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析的目的,相關(guān)分析的局限: 相關(guān)系數(shù)只能反映變量間的線性相關(guān)程度，不能確 定變量間的因果關(guān)系 相關(guān)系數(shù)只能說明兩個(gè)變量線性相關(guān)的方向和程度,不 能說明相關(guān)關(guān)系具體接近哪條直線,也就不能說明一個(gè) 變量的變動(dòng)會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)變量變動(dòng)的具體數(shù)量規(guī)律。 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)心的問題： 是經(jīng)濟(jì)變量間的因果關(guān)系以及隱藏在隨機(jī)性后面的具 體統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 在這方面回歸分析方法可以發(fā)揮更為重要的作用。

6、,4、回歸分析,回歸的古典意義： 高爾頓遺傳學(xué)的回歸概念 ( 父母身高與子女身高的關(guān)系) 子女的身高有向人的平均身高回歸的趨勢(shì) 回歸的現(xiàn)代意義： 一個(gè)被解釋變量對(duì)若干個(gè) 解釋變量依存關(guān)系的研究 回歸的目的（實(shí)質(zhì)）： 由固定的解釋變量去估計(jì) 被解釋變量的平均值,注意明確幾個(gè)概念（為深刻理解“回歸”） 被解釋變量Y的條件分布和條件概率： 當(dāng)解釋變量X取某固定值時(shí)（條件），Y的值不確定，Y的不同取值會(huì)形成一定的分布，這是Y的條件分布。 X取某固定值時(shí)，Y取不同值的概率稱為條件概率。 被解釋變量Y的條件期望： 對(duì)于X 的每一個(gè)取值， 對(duì)Y所形成的分布確 定其期望或均值，稱 為Y的條件期望或條件均 值，

7、用 表示。 注意:Y的條件期望是隨X的變動(dòng)而變動(dòng)的,Y,X,回歸線：對(duì)于每一個(gè)X的取值 ，都有Y的條件期望 與之對(duì)應(yīng)，代表Y的條件期望的點(diǎn)的軌跡形成的直線或曲線稱為回歸線。 回歸函數(shù)：被解釋變量Y 的條件期望 隨 解釋變量X的變化而有規(guī)律 的變化，如果把Y的條件期 望表現(xiàn)為 X 的某種函數(shù) ， 這個(gè)函數(shù)稱為回歸函數(shù)。 回歸函數(shù)分為：總體回歸函數(shù)和樣本回歸函數(shù),X,Y,舉例: 假如已知由100個(gè)家庭構(gòu)成的總體的數(shù)據(jù) (單位:元),二、總體回歸函數(shù)（PRF）,16,家庭消費(fèi)支出的條件期望與家庭收入的關(guān)系的圖形:,對(duì)于本例的總體，家庭消費(fèi)支出的條件期望 與家庭收入 基本是線性關(guān)系, 可以把家庭消費(fèi)

8、支出的條件均值表示為家庭收入的線性函數(shù)：,17,1. 總體回歸函數(shù)的概念 前提：假如已知所研究的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的總體的被解釋變量Y 和解釋變量X的每個(gè)觀測(cè)值（通常這是不可能的?。?，那 么，可以計(jì)算出總體被解釋變量Y的條件期望 ， 并將其表現(xiàn)為解釋變量X的某種函數(shù) 這個(gè)函數(shù)稱為總體回歸函數(shù)（PRF） 本質(zhì): 總體回歸函數(shù)實(shí)際上表現(xiàn)的是特定總體中被解釋變 量隨解釋變量的變動(dòng)而變動(dòng)的某種規(guī)律性。 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的根本目的是要探尋變量間數(shù)量關(guān)系的規(guī)律,也 就是要去尋求總體回歸函數(shù)。,18,條件期望表現(xiàn)形式 例如Y的條件期望 是解 釋變量X的線性函數(shù)，可表示為： 個(gè)別值表現(xiàn)形式（隨機(jī)設(shè)定形式） 對(duì)于一定的 ，Y的

9、各個(gè)別值 并不一定等于條件期望，而 是分布在 的周圍，若令各個(gè) 與條件期望 的 偏差為 ，顯然 是個(gè)隨機(jī)變量 則有,2.總體回歸函數(shù)的表現(xiàn)形式,PRF,3.如何理解總體回歸函數(shù),作為總體運(yùn)行的客觀規(guī)律，總體回歸函數(shù)是客觀存在 的，但在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)研究中總體回歸函數(shù)通常是未知的， 只能根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)去設(shè)定。 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中“計(jì)量”的根本目的就是要尋求總體 回歸函數(shù)。 我們所設(shè)定的計(jì)量模型實(shí)際就是在設(shè)定總體回歸函 數(shù)的具體形式。 總體回歸函數(shù)中 Y 與 X 的關(guān)系可以是線性的，也可以 是非線性的。,19,20,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中,線性回歸模型的“線性” 有兩種解釋： 就變量而言是線性的 Y的條件

10、期望（均值）是X的線性函數(shù) 就參數(shù)而言是線性的 Y的條件期望（均值）是參數(shù)的線性函數(shù) 例如： 對(duì)變量、參數(shù)均為“線性” 對(duì)參數(shù)“線性”，對(duì)變量”非線性” 對(duì)變量“線性”，對(duì)參數(shù)”非線性” 注意：在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，線性回歸模型主要指就參數(shù)而言是“線性”的,因?yàn)橹灰獙?duì)參數(shù)而言是線性的,都可以用類似的方法去估計(jì)其參數(shù),都可以歸于線性回歸。,“線性”的判斷,三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)u,概念 在總體回歸函數(shù)中，各 個(gè) 的值與其條件期望 的偏差 有很重 要的意義。若只有 影響Y， 與 不應(yīng)有偏差。 若偏差 存在，說明還有其他影響因素， 實(shí)際代表了排除在模型以外的所有因素對(duì) Y 的影響。 性質(zhì) 是其期望為 0 有一定分

11、布的隨機(jī)變量 重要性：隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的性質(zhì)決定著計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析結(jié) 果的性質(zhì)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法的選擇,21,引入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 的原因,是未知影響因素的代表(理論的模糊性) 是無法取得數(shù)據(jù)的已知影響因素的代表(數(shù)據(jù)欠缺) 是眾多細(xì)小影響因素的綜合代表(非系統(tǒng)性影響) 模型可能存在設(shè)定誤差(變量、函數(shù)形式的設(shè)定） 歸并誤差(不同種類糧食不合理的歸并為“糧食產(chǎn)量”） 模型中變量可能存在觀測(cè)誤差(變量數(shù)據(jù)不符合實(shí)際) 變量可能有內(nèi)在隨機(jī)性(人類經(jīng)濟(jì)行為的內(nèi)在隨機(jī)性),22,四、樣本回歸函數(shù)（SRF）,樣本回歸線： 對(duì)于X的一定值，取得Y 的樣本觀測(cè)值，可計(jì)算其條件 均值，樣本觀測(cè)值條件均值的軌跡，稱為樣本回歸線。

12、樣本回歸函數(shù)： 如果把被解釋變量Y的樣本條件 均值 表示為解釋變量X的某種 函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為樣本回歸函 數(shù)（SRF）。,23,X,Y,SRF,24,樣本回歸函數(shù)如果為線性函數(shù)，可表示為 其中： 是與 相對(duì)應(yīng)的 Y 的樣本條件均值 和 分別是樣本回歸函數(shù)的參數(shù) 個(gè)別值（實(shí)際值）形式： 被解釋變量Y的實(shí)際觀測(cè)值 不完全等于樣本條件均值 ，二者之差用 表示， 稱為剩余項(xiàng)或殘差項(xiàng)： 則 或,樣本回歸函數(shù)的函數(shù)形式,條件均值形式：,對(duì)樣本回歸的理解,如果能夠通過某種方式獲得 和 的數(shù)值，顯然: 和 是對(duì)總體回歸函數(shù)參數(shù) 和 的估計(jì) 是對(duì)總體條件期望 的估計(jì) 在概念上類似總體回歸函數(shù)中的 ，可視 為對(duì)

13、的估計(jì)。,25,對(duì)比： 總體回歸函數(shù) 樣本回歸函數(shù),樣本回歸函數(shù)的特點(diǎn),樣本回歸線隨抽樣波動(dòng)而變化: 每次抽樣都能獲得一個(gè)樣本，就可以擬合一條樣本回歸 線，（SRF不唯一) Y SRF1 SRF2 樣本回歸函數(shù)的函數(shù)形式 應(yīng)與設(shè)定的總體回歸函數(shù)的 函數(shù)形式一致。 X 樣本回歸線只是樣本條件均值的軌跡，還不是總體回歸 線，它至多只是未知的總體回歸線的近似表現(xiàn)。,26,樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系,SRF PRF A X,27,28,目的： 計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的目標(biāo)是尋求總體回歸函數(shù)。即用樣本回歸函數(shù)SRF去估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。 由于樣本對(duì)總體總是存在代表性誤差，SRF 總會(huì) 過高或過低估計(jì)PR

14、F。 要解決的問題： 尋求一種規(guī)則和方法，使其得到的SRF的參數(shù) 和 盡可能“接近”總體回歸函數(shù)中的參數(shù) 和 的真實(shí)值。這樣的“規(guī)則和方法”有多種，如矩估計(jì)、極大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)等。其中最常用的是最小二乘法。,回歸分析的目的,第二節(jié) 簡單線性回歸模型的最小二乘估計(jì),用樣本去估計(jì)總體回歸函數(shù)，總要使用特定的方法，而任 何估計(jì)參數(shù)的方法都需要有一定的前提條件假定條件 一、簡單線性回歸的基本假定 為什么要作基本假定？ 只有具備一定的假定條件，所作出的估計(jì)才具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。 因?yàn)槟Ｐ椭杏须S機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，估計(jì)的參數(shù)是隨機(jī)變量，顯然參數(shù)估計(jì)值的分布與擾動(dòng)項(xiàng)的分布有關(guān)，只有對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)的分布作出假定，才

15、能比較方便地確定所估計(jì)參數(shù)的分布性質(zhì)，也才可能進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)等統(tǒng)計(jì)推斷。 假定分為：對(duì)模型和變量的假定對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的假定,29,1.對(duì)模型和變量的假定,如對(duì)于 假定模型設(shè)定是正確的（變量和模型無設(shè)定誤差） 假定解釋變量X在重復(fù)抽樣中取固定值。 假定解釋變量X是非隨機(jī)的，或者雖然X是隨機(jī)的， 但與擾動(dòng)項(xiàng)u是不相關(guān)的。(從變量X角度看) 注意: 解釋變量非隨機(jī)在自然科學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究中容易 滿足,經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域變量的觀測(cè)是被動(dòng)不可控的，X非隨機(jī) 的假定不容易滿足。,30,2.對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)u的假定,假定1：零均值假定: 在給定X的條件下， 的條件期望為零 假定2：同方差假定: 在給定X的條件下，的條件

16、方差為某個(gè)常數(shù),31,32,假定3：無自相關(guān)假定: 隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 的逐次值互不相關(guān) 假定4：解釋變量 是非隨機(jī)的，或者雖然 是隨 機(jī)的但與擾動(dòng)項(xiàng) 不相關(guān) (從隨機(jī)擾動(dòng) 角度看),33,假定5：對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)分布的正態(tài)性假定， 即假定 服從均值為零、方差為 的正態(tài)分布 （說明：正態(tài)性假定不影響對(duì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，所以有時(shí)不列入基本假定，但這對(duì)確定所估計(jì)參數(shù)的分布性質(zhì)是需要的。且根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本容量趨于無窮大時(shí)， 的分布會(huì)趨近于正態(tài)分布。所以正態(tài)性假定有合理性） 注意: 并不是參數(shù)估計(jì)的每一具體步驟都要用到所有的假定,但對(duì)全部假定有完整的認(rèn)識(shí),對(duì)學(xué)習(xí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的原理是有益的。,在對(duì) 的基本假定下

17、Y 的分布性質(zhì),由于 其中的 和 是非隨機(jī)的，因此 的分布性質(zhì)決定了 的分布性質(zhì)。 對(duì) 的一些假定可以等價(jià)地表示為對(duì) 的假定： 假定1：零均值假定 假定2：同方差假定 假定3：無自相關(guān)假定 假定5：正態(tài)性假定,34,二、普通最小二乘法（OLS） （rdinary Least Squares),1. OLS的基本思想： 對(duì)于 不同的估計(jì)方法可以得到不同的樣本回歸參數(shù) 和 ，所估計(jì)的 也就不同。 理想的估計(jì)方法應(yīng)使估計(jì)的 與真實(shí)的 的差(即剩余 )總的來說越小越好 因 可正可負(fù)，總有 ，所以可以取 最 小，即 在觀測(cè)值Y和X確定時(shí)， 的大小決定于 和 。,35,2. 正規(guī)方程和估計(jì)式,用克萊姆法則

18、求解得以觀測(cè)值表現(xiàn)的OLS估計(jì)式：,36,取偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，可得正規(guī)方程,或整理得,即,37,為表達(dá)得更簡潔，或者用離差形式OLS估計(jì)式： 容易證明 由正規(guī)方程： 注意：其中： 本課程中大寫的 和 均表示觀測(cè)值； 小寫的 和 均表示觀測(cè)值的離差 而且由 樣本回歸函數(shù)可用離差形式寫為,用離差表現(xiàn)的OLS估計(jì)式,3. OLS回歸線的數(shù)學(xué)性質(zhì) 可以證明：（見教材P33P34證明） (證明過程用到OLS正規(guī)方程的結(jié)論，但與基本假定無關(guān)),回歸線通過樣本均值 估計(jì)值 的均值等于實(shí) 際觀測(cè)值 的均值 剩余項(xiàng) 的均值為零,38,(由OLS第一個(gè)正規(guī)方程直接得到),(由OLS正規(guī)方程 兩邊同除n得到),被解

19、釋變量估計(jì)值 與剩余項(xiàng) 不相關(guān),解釋變量 與剩余項(xiàng) 不相關(guān),由OLS正規(guī)方程有:,(注意:紅色的項(xiàng)為0),4. OLS估計(jì)式的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),回顧第1章：參數(shù)估計(jì)式的優(yōu)劣需要有評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn) 參數(shù)無法通過觀測(cè)直接確定，只能通過樣本估計(jì)，但因 存在抽樣波動(dòng)，參數(shù)估計(jì)值不一定等于總體參數(shù)的真實(shí)值。 參數(shù)估計(jì)方法及所確定的估計(jì)式不一定完備，不一定 能得到總體參數(shù)的真實(shí)值，需要對(duì)估計(jì)方法作評(píng)價(jià)與選擇。 比較不同估計(jì)方法的估計(jì)結(jié)果時(shí)，需要有一定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 基本要求：參數(shù)估計(jì)值應(yīng)盡可能地接近總體參數(shù)的真實(shí)值 估計(jì)準(zhǔn)則：“盡可能地接近” 原則 決定于參數(shù)估計(jì)式的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：無偏性、有效性、一致性等。,40,41,(1)

20、 無偏性,前提：重復(fù)抽樣中估計(jì)方法固定、樣本數(shù)不變、經(jīng) 重復(fù)抽樣的觀測(cè)值,可得一系列參數(shù)估計(jì)值 , 的分布稱為 的抽樣分布，其密度函數(shù)記為 如果 稱 是參數(shù)的無偏估計(jì)式，否則 則稱 是有偏的估計(jì)，其偏倚為 （見圖2）,42,概 率 密 度 估計(jì)值 偏倚,圖2,43,(2)有效性,前提：樣本相同、用不同的方法估計(jì)參數(shù)，可以找到若干 個(gè)不同的無偏估計(jì)式 目標(biāo): 努力尋求其抽樣分布具有最小方差的估計(jì)式 （見圖3） 既是無偏的同時(shí)又具有最小方差特性的估計(jì)式，稱為最佳 （有效）估計(jì)式。,44,概 率 密 度,圖 3,估計(jì)值,(3)漸近性質(zhì)（大樣本性質(zhì)）,思想:當(dāng)樣本容量較小時(shí)，有時(shí)很難找到方差最小的無偏

21、估計(jì)， 需要考慮樣本擴(kuò)大后的性質(zhì)（估計(jì)方法不變,樣本數(shù)逐步增大） 一致性： 當(dāng)樣本容量 n 趨于無窮大時(shí)，如果估計(jì)式 依概率收斂于總體參數(shù)的真實(shí)值，就稱這個(gè)估計(jì)式 是 的一致估計(jì)式。即 或 （漸近無偏估計(jì)式是當(dāng)樣本容量變得足夠大時(shí)其偏倚趨于零的 估計(jì)式） (見圖4) 漸近有效性：當(dāng)樣本容量 n 趨于無窮大時(shí)，在所有的一致估計(jì) 式中，具有最小的漸近方差。,45,46,概 率 密 度 估計(jì)值,圖 4,4.分析OLS估計(jì)式的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),先明確幾點(diǎn): 由OLS估計(jì)式可以看出 都由可觀測(cè)的樣本值 和 唯一表示。 因存在抽樣波動(dòng)，OLS估計(jì) 是隨機(jī)變量 OLS估計(jì)式是點(diǎn)估計(jì)式,47,OLS估計(jì)是否符合“盡可

22、能地接近總體參數(shù)真實(shí)值”的要求呢?,1、 線性特征 是Y的線性函數(shù),2、 無偏特性 可以證明 （證明見教材P37）,48,OLS估計(jì)式的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)高斯定理,3、 最小方差特性 （證明見教材P68附錄21） 可以證明：在所有的線性無偏估計(jì)中，OLS估計(jì) 具有最小方差 （注意:無偏性和最小方差性的證明中用到了基本假定1-假定4） 結(jié)論（高斯定理）： 在古典假定條件下，OLS估計(jì)式是最佳線性無偏估計(jì)式（BLUE）,49,第三節(jié) 擬合優(yōu)度的度量,概念： 樣本回歸線是對(duì)樣本數(shù)據(jù)的 一種擬合。 不同的模型（不同函數(shù)形式) 可擬合出不同的回歸線 相同的模型用不同方法估計(jì) 參數(shù)，可以擬合出不同的回歸線 擬合的回

23、歸線與樣本觀測(cè)值總是有偏離。樣本回歸 線對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)劣程度稱為擬合優(yōu)度 如何度量擬合優(yōu)度呢？ 擬合優(yōu)度的度量建立在對(duì) Y 的總變差分解的基礎(chǔ)上,50,一、總變差的分解,分析Y的觀測(cè)值 、估計(jì)值 與平均值 有以下關(guān)系 將上式兩邊平方加總，可證得（提示：交叉項(xiàng) ） （TSS） （ESS） （RSS） 或者表示為 總變差 （TSS）：被解釋變量Y的觀測(cè)值與其平均值的離差平 方和（總平方和）(說明 Y 的變動(dòng)程度） 解釋了的變差 （ESS）：被解釋變量Y的估計(jì)值與其平均值的 離差平方和（回歸平方和） 剩余平方和 （RSS）：被解釋變量觀測(cè)值與估計(jì)值之差的平方 和（未解釋的平方和）,51,Y

24、X,52,變差分解的圖示(以某一個(gè)觀測(cè)值為例),二、可決系數(shù),以TSS同除總變差等式兩邊： 或 定義：回歸平方和（解釋了的變差ESS） 在總變 差（TSS） 中所占的比重稱為可決系數(shù)，用 或 表示:,53,或,可決系數(shù)的作用,可決系數(shù)越大，說明在總變差中由模型作出了解釋的部分占的比重越大，模型擬合優(yōu)度越好。反之可決系數(shù)越小，說明模型對(duì)樣本觀測(cè)值的擬合程度越差。 可決系數(shù)的特點(diǎn)： 可決系數(shù)取值范圍： 隨抽樣波動(dòng)，樣本可決系數(shù) 是隨抽樣而變 動(dòng)的隨機(jī)變量 可決系數(shù)是非負(fù)的統(tǒng)計(jì)量,54,可決系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的數(shù)值關(guān)系,聯(lián)系：數(shù)值上可決系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方,55,可決系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的區(qū)別,區(qū)別： 可決系

25、數(shù) 相關(guān)系數(shù) 就模型而言 就兩個(gè)變量而言 說明解釋變量對(duì)被解釋 說明兩變量線性依存程度 變量的解釋程度 度量的不對(duì)稱的因果關(guān)系 度量的對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系 取值 0 1 取值 -1r1 有非負(fù)性 可正可負(fù),56,運(yùn)用可決系數(shù)時(shí)應(yīng)注意：, 可決系數(shù)只是說明列入模型的所有解釋變量對(duì) 被解釋變量的聯(lián)合的影響程度，不說明模型中每個(gè)解 釋變量的影響程度（在多元中） 如果回歸的主要目的是經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)分析，不能只追 求高的可決系數(shù)，而是要得到總體回歸系數(shù)可信的 估計(jì)量。可決系數(shù)高并不一定每個(gè)回歸系數(shù)都可信任。 如果研究的主要目的只是為了預(yù)測(cè)被解釋變量的值， 不是為了正確估計(jì)回歸系數(shù)，一般可考慮有較高的可 決系數(shù)。,5

26、7,58,第四節(jié) 回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn),為什么要作區(qū)間估計(jì)？ 運(yùn)用OLS法可以估計(jì)出參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值，但OLS估計(jì)只是通過樣本得到的點(diǎn)估計(jì)，它不一定等于真實(shí)參數(shù)，還需要尋求真實(shí)參數(shù)的可能范圍，并說明其可靠性。 為什么要作假設(shè)檢驗(yàn)？ OLS 估計(jì)只是用樣本估計(jì)的結(jié)果，是否可靠？ 是否抽樣的偶然結(jié)果呢？還有待統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。 區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)都是建立在確定參數(shù)估計(jì)值 概率分布性質(zhì)的基礎(chǔ)上。,59,一、OLS估計(jì)的分布性質(zhì) 基本思想 是隨機(jī)變量，必須確定其分布性質(zhì)才可能進(jìn)行區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn) 怎樣確定 的分布性質(zhì)呢? 是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，決定 了 也是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量； 是 的線性函

27、數(shù)，決定了 也服從正態(tài)分布 正態(tài) 正態(tài) 正態(tài) 只要確定 的期望和方差，即可確定 的分布性質(zhì),線性特征,60, 的期望： (已證明是無偏估計(jì)） 的方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差 (證明見P38，要求看懂！) (標(biāo)準(zhǔn)誤差是方差的平方根) 注意：以上各式中 均未知，但是個(gè)常數(shù)，其余均是已 知的樣本觀測(cè)值，這時(shí) 和 都不是隨機(jī)變量。,的期望和方差,61,基本思想： 是 的方差，而 不能直接觀測(cè)，只能從由樣本得到的 去獲得有關(guān) 的某些信息，去對(duì) 作出估計(jì)。 可以證明（見附錄2.2)其無偏估計(jì)為 (n-2為自由度, 即可自由變化的樣本觀測(cè)值個(gè)數(shù)) 注意區(qū)別： 是未知的確定的常數(shù)； 是由樣本信息估計(jì)的，是個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)隨機(jī)

28、擾動(dòng)項(xiàng)方差 的估計(jì),62,對(duì) 作標(biāo)準(zhǔn)化變換,為什么要對(duì) 作標(biāo)準(zhǔn)化變換? 在 正態(tài)性假定下，由前面的分析已知 但在對(duì)一般正態(tài)變量 作實(shí)際分析時(shí)，要具體確定 的取值及對(duì)應(yīng)的概率，要通過正態(tài)分布密度函數(shù)或 分布函數(shù)去計(jì)算是很麻煩的，為了便于直接利用“標(biāo) 準(zhǔn)化正態(tài)分布的臨界值”，需要對(duì) 作標(biāo)準(zhǔn)化變換。 標(biāo)準(zhǔn)化的方式：,分布函數(shù),分布函數(shù),63,在 已知時(shí)對(duì) 作標(biāo)準(zhǔn)化變換，所得Z統(tǒng)計(jì)量為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。,1. 已知時(shí)，對(duì) 作標(biāo)準(zhǔn)化變換,注意:這時(shí) 和 都不是隨機(jī)變量(X、 、 都是非隨機(jī)的）,64,條件： 當(dāng) 未知時(shí)，可用 （隨機(jī)變量）代替 去估計(jì)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。這時(shí)參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差是個(gè)隨機(jī)變量。 樣本

29、為大樣本時(shí),作標(biāo)準(zhǔn)化變換所得的統(tǒng)計(jì)量Zk，也可以 視為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量（根據(jù)中心極限定理）。 樣本為小樣本時(shí)，,用估計(jì)的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差對(duì) 作標(biāo)準(zhǔn)化變換，所得的統(tǒng) 計(jì)量用t表示，這時(shí)t將不再服從正態(tài)分布，而是服從 t 分布（注意這時(shí)分母是隨機(jī)變量） ：,2. 未知時(shí)，對(duì) 作標(biāo)準(zhǔn)化變換,二、回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì),基本思想： 對(duì)參數(shù)作出的點(diǎn)估計(jì)是隨機(jī)變量，雖然是無偏估計(jì)，但 還不能說明這種估計(jì)的可靠性和精確性。如果能找到包含 真實(shí)參數(shù)的一個(gè)范圍，并確定這樣的范圍包含參數(shù)真實(shí)值 的可靠程度，將是對(duì)真實(shí)參數(shù)更深刻的認(rèn)識(shí)。 方法：如果在確定參數(shù)估計(jì)式概率分布性質(zhì)的基礎(chǔ)上，可 找到兩個(gè)正數(shù)和 ，能使得 這樣的區(qū)間包

30、含真實(shí) 的概率為 ，即 這樣的區(qū)間稱為所估計(jì)參數(shù)的置信區(qū)間。 討論：“如果已經(jīng)得出了 的特定估計(jì)值,并確定了某個(gè)置信區(qū)間，這說明真實(shí)參數(shù)落入這個(gè)區(qū)間的概率為1- 。這種說法對(duì)嗎?,65,怎樣正確理解置信區(qū)間?,注意： 是未知但確定的數(shù)， 是隨抽樣而變化的隨機(jī)區(qū)間。 從重復(fù)抽樣的觀點(diǎn)看，每次抽樣都可構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，象這樣構(gòu)造的區(qū)間，平均來說有（ ）比例的次數(shù)包含 的真實(shí)值。但對(duì)特定樣本，一但估計(jì)出特定的 ，區(qū)間 就不再是隨機(jī)的，而是特定的，這時(shí)它或者包含 （包含的概率為1），或者不包含 （包含的概率為0）。,問題： 是給定的，如何去尋找合適的 呢?,67,樣本容量充分大,樣本容量較小,總體方差 已

31、知,總 體 方 差 未 知,Z將接近 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,服從 t 分布,三 種 情 況,基本思想:利用 標(biāo)準(zhǔn)化后統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)去尋求 :,置信區(qū)間：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì) (分三種情況尋找合適的 ),（1） 當(dāng)總體方差 已知時(shí)( Z 服從正態(tài)分布) 取定 （例如 =0.05），查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得與 對(duì) 應(yīng)的臨界值z(mì) (例如z為1.96)，則標(biāo)準(zhǔn)化變量Z*（統(tǒng)計(jì)量） 因?yàn)?或 即,68,（2）當(dāng)總體方差 未知，而樣本容量充分大時(shí),方法：可用無偏估計(jì) 去代替未知的 ， 由于樣本容量充分大，標(biāo)準(zhǔn)化變量Z*（統(tǒng)計(jì)量）將 接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 注意:這里的“ ”，表示“估計(jì)的”, 這時(shí)區(qū)間估計(jì)的方

32、式也可利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 只是這時(shí),69,（3）當(dāng)總體方差 未知，且樣本容量較小時(shí),方法：用無偏估計(jì) 去代替未知的 ， 由于樣本容量較小，“標(biāo)準(zhǔn)化變量” t （統(tǒng)計(jì)量）不再 服從正態(tài)分布，而服從 t 分布。 這時(shí)可用 t 分布去建立參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間。選定， 查 t 分布表得顯著性水平為 ，自由度為n-2的臨界值 (n-2) ，則有 即,70,例1:研究某市城鎮(zhèn)居民人均鮮蛋需求量Y(公斤)與人均可支配收入X(元,1980年不變價(jià)計(jì))的關(guān)系 設(shè)定模型: 1995-2005年樣本數(shù)據(jù): 估計(jì)參數(shù)：,計(jì)算可決系數(shù) 例1:由前面的估計(jì)結(jié)果可計(jì)算出 由數(shù)據(jù)Y 可計(jì)算出: 則,估計(jì)結(jié)果:,估計(jì) ： 給定 查

33、df=n-2=9的t分布臨界值 參數(shù)區(qū)間估計(jì): 若給定 查df=9的t分布臨界值,73,若給定 則,若給定 則,則,74,74,統(tǒng)計(jì)量 t,計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量為:,相對(duì)于顯著性水平 的臨界值為: （單側(cè)）或 （雙側(cè)）,基本概念回顧: 臨界值與概率、大概率事件與小概率事件,0,（大概率事件）,（小概率事件）,目的：簡單線性回歸中，檢驗(yàn)X對(duì)Y是否真有顯著影響,三、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),75,雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn),76,76,1. 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,在某種條件下，在一次抽樣中，大概率事件出現(xiàn)被認(rèn)為是合理的，而小概率事件被認(rèn)為基本不會(huì)發(fā)生，如果小概率事件竟然發(fā)生了，認(rèn)為是不合理的。 在事先作出的某種原假設(shè)成立

34、的條件下，利用樣本構(gòu)造適當(dāng)統(tǒng)計(jì)量（一次抽樣的結(jié)果），并確定統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。給定顯著性水平，構(gòu)造一個(gè)小概率事件。如果在一次抽樣中該小概率事件竟然發(fā)生，就認(rèn)為原假設(shè)不真實(shí)，從而拒絕原假設(shè)，不拒絕備擇假設(shè)。反之，如果大概率事件發(fā)生，則不拒絕原假設(shè)。,77,2. 回歸系數(shù)的檢驗(yàn)方法,確立假設(shè)：原假設(shè)為 備擇假設(shè)為 (本質(zhì)：檢驗(yàn) 是否為0，即檢驗(yàn) 是否對(duì)Y有顯著影響) (1)當(dāng)已知 或樣本容量足夠大時(shí) 可利用正態(tài)分布作Z檢驗(yàn) 給定 , 查正態(tài)分布表得臨界值 Z 如果 （大概率事件發(fā)生）則不拒絕原假設(shè) 如果 或 （小概率事件發(fā)生）則 拒絕原假設(shè),78,(2) 當(dāng) 未知，且樣本容量較小時(shí),只能用 去代替

35、，可利用 t分布作 t 檢驗(yàn)：,給定 , 查 t 分布表得 如果 或者 （小概率事件發(fā)生） 則拒絕原假設(shè) 而不拒絕備擇假設(shè) 如果 （大概率事件發(fā)生） 則不拒絕原假設(shè),用 P 值判斷參數(shù)的顯著性,假設(shè)檢驗(yàn)的 p 值： p 值是基于既定的樣本數(shù)據(jù)所計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量，原假設(shè)可以被拒絕的最高顯著性水平。 統(tǒng)計(jì)分析軟件中通常都給出了檢驗(yàn)的 p 值,P,統(tǒng)計(jì)量 t,相對(duì)于計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量 :,相對(duì)于顯著性水平 的臨界值: 或,注意： t檢驗(yàn)是比較 和 用P值檢驗(yàn)是比較 和 p,與 相對(duì)應(yīng),與 P 相對(duì)應(yīng),80,用 P 值判斷參數(shù)顯著性的方法,方法：將給定的顯著性水平 與 p 值比較： 若 值，則在顯著性水平 下拒

36、絕原假設(shè) ，即認(rèn)為 對(duì) Y 有顯著影響 若 值，則在顯著性水平 下不拒絕原假設(shè) ，即認(rèn)為 對(duì) Y 沒有顯著影響 規(guī)則：當(dāng) 時(shí)，P值越小，越能拒絕原 假設(shè),81,舉例：對(duì)例1參數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 給定 查df=9的 t分布臨界值 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 判斷:因 拒絕 說明 顯著不為0， X對(duì)Y 確有顯著影響 用P值檢驗(yàn): （需要確定與 對(duì)應(yīng)的P值） 由 ，df=9，查 t 分布表知道P0.0005(t= 4.781時(shí) ) 因t=5.00時(shí)的P值 0.0005 則在顯著性水平 下更應(yīng)拒絕原假設(shè) 即認(rèn)為 對(duì) Y 有顯著影響,一、極大似然估計(jì)的思想： 舉例：對(duì)一種藥物，藥劑師認(rèn)為有效率為70%。生產(chǎn)該藥物的公司聲稱

37、:有效率為90%，誰的說法更可信呢? 統(tǒng)計(jì)學(xué)家抽取10個(gè)病人，發(fā)現(xiàn)有8人被治愈 若真實(shí)概率為P=0.7時(shí): 產(chǎn)生“10個(gè)病人有8個(gè)治愈” 結(jié)果的概率為:(實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有“治愈”和“未治愈”是二項(xiàng)分布),第五節(jié) 簡單線性回歸模型的極大似然估計(jì),82,若真實(shí)概率為P=0.9時(shí)，產(chǎn)生“10個(gè)病人有8個(gè)治愈” 結(jié)果的概率為:,統(tǒng)計(jì)學(xué)家判斷：有效率為0.7作為真實(shí)有效率的估計(jì)值比0.9更為可信。(為什么?),極大似然原理：“一個(gè)事件由于與實(shí)際最近似而發(fā)生”,原理:一個(gè)事件之所以會(huì)發(fā)生，是因?yàn)榇嬖谥a(chǎn)生這一事件概率最大的客觀現(xiàn)實(shí)（總體）。 總體的分布規(guī)律是由其分布性質(zhì)和參數(shù)決定的。 樣本觀測(cè)值是從總體中抽取

38、而得到的，從總體中隨機(jī)抽取容量為n的樣本觀測(cè)值時(shí)，這n組樣本觀測(cè)值會(huì)以一定的概率出現(xiàn)。 當(dāng)從總體中隨機(jī)抽取n組樣本觀測(cè)值后，要尋求最可能產(chǎn)生該n組樣本的那個(gè)總體的參數(shù)。 最合理的參數(shù)估計(jì)量應(yīng)該是能夠使得從總體中抽取出該n組樣本觀測(cè)值的概率最大。,83,二、簡單線性回歸模型的極大似然估計(jì),在滿足基本假設(shè)的條件下，對(duì)簡單線性回歸模型 若隨機(jī)抽取n組樣本觀測(cè)值（ ， ）（i=1,2,n） 為隨機(jī)變量，其分布特征與參數(shù) 和 及 有關(guān)， 已知 假定 服從正態(tài)分布且是獨(dú)立分布的，則： 于是，每個(gè) 的概率密度函數(shù)為 （i=1,2,n),84,1.似然函數(shù) (likelihood function),因?yàn)楦鱾€(gè)

39、 相互獨(dú)立，因此獲得所有n組樣本觀測(cè)值 的聯(lián)合概率(即似然函數(shù))為： 其中未知參數(shù)為 ，為使產(chǎn)生 n個(gè)樣本觀測(cè)值 的聯(lián)合概率最大，可尋求能使該似然函數(shù)極大化的參 數(shù)值，即可求得模型參數(shù)的極大似然估計(jì)量。 為便于取最大化，取對(duì)數(shù)似然函數(shù)，因?yàn)樗迫缓瘮?shù)的 極大化與似然函數(shù)的對(duì)數(shù)的極大化是等價(jià)的，所以，,85,(n個(gè)密度函數(shù)的乘積),將對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì) 求偏導(dǎo)得:,86,令各方程為0，記參數(shù)估計(jì)量為 可得:,使 最大化 等價(jià)于使,最小化,注意到:,產(chǎn)生n組樣本觀測(cè)值的聯(lián)合概率的對(duì)數(shù)（對(duì)數(shù)似然函數(shù)）為:,87,（A),（B),（C),經(jīng)簡化，由（A)（B)式有:,這與OLS正規(guī)方程相同,2.簡單線性回歸

40、模型的極大似然估計(jì)量,對(duì)L*求極大值，等價(jià)于對(duì) 求極小值： 解方程得參數(shù)估計(jì)量： 可見，在滿足基本假設(shè)的情況下，模型參數(shù)的最大似 然估計(jì)量與普通最小二乘估計(jì)量是相同的。,88,89,3. 的極大似然估計(jì)(ML),把參數(shù)估計(jì)量 代入(C)式并簡化，得 的極大似然估計(jì):,所以,結(jié)論： 的極大似然估計(jì)（ML)是有偏的。其偏誤因子 是隨 而趨于0的，因此 的ML估計(jì)只是一致估計(jì)量。,因?yàn)?所以 的ML估計(jì)為:,對(duì)比 的OLS估計(jì):,在OLS無偏性證明中有,90,4.極大似然估計(jì)與最小二乘估計(jì)的比較,1.在滿足基本假設(shè)的情況下，模型參數(shù)的最大似 然估計(jì)量與普通最小二乘估計(jì)量是相同的。,的普通最小二乘估計(jì)

41、是無偏估計(jì). 的極大似然估計(jì)（ML)是有偏的。 但 隨 ， 是漸近無偏的，即,91,一、過原點(diǎn)的回歸 有時(shí)根據(jù)理論判斷模型可能沒有截距項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))，例如： 弗瑞德曼永久收入假說: 永久消費(fèi)正比于永久收入。 成本分析理論: 生產(chǎn)的可變成本正比于產(chǎn)出。 貨幣主義理論某些假說: 價(jià)格變化率(通貨膨脹率) 正比于貨幣供給變化率。 這時(shí)總體回歸函數(shù)可設(shè)定為: 這是截距項(xiàng)不出現(xiàn)或?yàn)榱愕幕貧w 模型。稱為過原點(diǎn)的回歸。,91,第六節(jié) 線性回歸模型的若干延伸,92,沒有截距項(xiàng)的過原點(diǎn)回歸模型為: 因?yàn)?對(duì) 求偏導(dǎo) 令其為零得 可以證明,92,對(duì)比有截距時(shí):,(注意:正規(guī)方程只有一個(gè)方程),即,過原點(diǎn)的回歸的OL

42、S估計(jì)量,注意:過原點(diǎn)回歸的特點(diǎn),在運(yùn)用過原點(diǎn)回歸模型時(shí)應(yīng)注意以下特點(diǎn)： 1）在有截距的模型中，根據(jù)最小二乘原理的正規(guī)方程有: 則 但在截距項(xiàng)不存在時(shí)，因?yàn)檎?guī)方程中只有一個(gè)方程， 而沒有 這樣的關(guān)系， 則有可能 從而,93,2）回歸線不通過樣本均值 過原點(diǎn)回歸模型 因?yàn)?有,94,3）估計(jì)值 的均值不等于實(shí)際觀測(cè)值 的均值,這說明過原點(diǎn)回歸最小二乘法的數(shù)學(xué)性質(zhì)不一定成立,由無截距模型的最小二乘正規(guī)方程有: 由正規(guī)方程導(dǎo)出的無偏估計(jì)量為: 由 有 若是 則有 顯然 的估計(jì)是有偏的! 結(jié)論：在過原點(diǎn)的回歸中，如果 成立， OLS估計(jì)則是有偏估計(jì).,95,即,4)如果 ，OLS估計(jì)可能是有偏的,9

43、6,5）有時(shí)零均值假定 不一定滿足 例如對(duì)于 如果: 假如已知 ，對(duì)于有截距的模型，此時(shí)模型可變換為 令 則 可見，有截距的模型可使得隨機(jī)擾動(dòng)具有零均值。而不含截距的模型 變換后成為有截距模型，若堅(jiān)持用無截距模型，則隨機(jī)項(xiàng)零均值不一定能保證。,97,6）有截距模型中 ， 總為正 值，即 模型可決系數(shù)總是非負(fù)的。但對(duì)無截距的模型 ，可決系數(shù)可能出現(xiàn)負(fù)值，因此計(jì)算可 決系數(shù)的公式不一定適合于過原點(diǎn)的回歸模型。,一般規(guī)則：除非有充分的理由特別說明，否則模型還是應(yīng)當(dāng)包含常數(shù)項(xiàng)為好。,二、變量度量單位對(duì)回歸的影響,變量的度量單位對(duì)估計(jì)的參數(shù)數(shù)值會(huì)有什么影響？ 例如美國1988年-1997年國內(nèi)總投資(Y

44、)與GDP的回歸 (數(shù)據(jù)略): A.當(dāng)總投資(Y)與GDP都以10億美元為度量單位時(shí)，估計(jì) 結(jié)果為: B.當(dāng)總投資(Y)仍以10億美元計(jì)，而GDP以百萬美元計(jì)時(shí) 估計(jì)結(jié)果為:,98,C.當(dāng)總投資(Y)與GDP都以百萬美元（縮小1000倍)計(jì)時(shí) 估計(jì)結(jié)果為: D.當(dāng)總投資(Y)以百萬美元計(jì)，而GDP以10億美元計(jì)時(shí)， 估計(jì)結(jié)果為: 注意:與A相比較，截距、斜率系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)誤差、可決系數(shù) 的變化。,99,變量度量單位對(duì)回歸影響的一般規(guī)律,1.當(dāng)被解釋變量測(cè)量單位改變（擴(kuò)大或縮小常數(shù)c倍),而解釋變量測(cè)量單位不變時(shí):OLS截距和斜率的估計(jì)值及標(biāo)準(zhǔn)誤差都縮小或擴(kuò)大為原來的c倍. (如D的情況) 2.當(dāng)解

45、釋變量測(cè)量單位改變（擴(kuò)大或縮小常數(shù)c倍),而被解釋變量測(cè)量單位不變時(shí):OLS斜率的估計(jì)值及標(biāo)準(zhǔn)誤差擴(kuò)大或縮小為原來的c倍,但不影響截距的估計(jì). (如B的情況) 3.當(dāng)被解釋變量和解釋變量測(cè)量單位同時(shí)改變相同倍數(shù)時(shí)，OLS的截距估計(jì)值及標(biāo)準(zhǔn)誤差擴(kuò)大為原來的c倍,但不影響斜率的估計(jì). (如C的情況),100,101,僅被解釋變量測(cè)量單位改變,僅解釋變量測(cè)量單位改變,截距及標(biāo)準(zhǔn)誤差,斜率及標(biāo)準(zhǔn)誤差,被解釋變量和解釋變量測(cè)量單位同時(shí)改變相同倍數(shù),4.當(dāng)被解釋變量和解釋變量測(cè)量單位改變時(shí)，不會(huì)影響擬合優(yōu)度.可決系數(shù)是純數(shù)沒有維度，所以不隨計(jì)量單位而變化。 (如B、C、D的情況),當(dāng)被解釋變量和解釋變量測(cè)

46、量單位同時(shí)改變相同倍數(shù)時(shí)， 對(duì)斜率系數(shù)的影響相互抵消了.,擴(kuò)大或縮小方向相同 ; 擴(kuò)大或縮小方向相反,第七節(jié) 回歸模型預(yù)測(cè),一、回歸分析結(jié)果的報(bào)告 經(jīng)過模型的估計(jì)、檢驗(yàn)，得到一系列重要的數(shù)據(jù)，為了簡明、清晰、規(guī)范地表述這些數(shù)據(jù)，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)通常采用以下規(guī)范化的方式： 例如：回歸結(jié)果為 = 244545 + 05091 （64138） （00357） 標(biāo)準(zhǔn)誤差SE t = (38128) (142605) t 統(tǒng)計(jì)量 = 09621 df = 8 可決系數(shù)和自由度 F = 20287 DW = 2.3 F 統(tǒng)計(jì)量 DW統(tǒng)計(jì)量,102,二、被解釋變量平均值預(yù)測(cè),1. 基本思想 經(jīng)估計(jì)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型可

47、用于: 經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)分析 經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè) 政策評(píng)價(jià) 驗(yàn)正理論 運(yùn)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型作預(yù)測(cè)：指利用所估計(jì)的樣本回歸函數(shù) 作預(yù)測(cè)工具，用解釋變量的已知值或預(yù)測(cè)值，對(duì)預(yù)測(cè)期或樣 本以外的被解釋變量的數(shù)值作出定量的估計(jì)。 計(jì)量經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)是一種條件預(yù)測(cè)： 條件：模型設(shè)定的關(guān)系式不變 所估計(jì)的參數(shù)不變 解釋變量在預(yù)測(cè)期的取值已作出預(yù)測(cè),103,對(duì)被解釋變量Y的預(yù)測(cè)分為： 平均值預(yù)測(cè)和個(gè)別值預(yù)測(cè)對(duì)被解釋變量Y的預(yù)測(cè)又分為： 點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè),平均值預(yù)測(cè) 個(gè)別值預(yù)測(cè) 區(qū)間預(yù)測(cè) 點(diǎn)預(yù)測(cè) 區(qū)間預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)的類型,預(yù)測(cè)值、平均值、個(gè)別值的相互關(guān)系,Y 是對(duì)真實(shí)平均值的點(diǎn)估計(jì),105,點(diǎn)預(yù)測(cè)值,真實(shí)平均值,個(gè)別值,2. Y 平均值的點(diǎn)

48、預(yù)測(cè),點(diǎn)預(yù)測(cè): 用樣本估計(jì)的總體參數(shù)值所計(jì)算的Y的估計(jì)值直接作為Y的預(yù)測(cè)值 方法： 將解釋變量預(yù)測(cè)值直接代入估計(jì)的方程 這樣計(jì)算的 是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值,106,3. Y平均值的區(qū)間預(yù)測(cè),基本思想： 預(yù)測(cè)的目標(biāo)值是真實(shí)平均值，由于存在抽樣波動(dòng)，預(yù) 測(cè)的平均值 是隨機(jī)變量，不一定等于真實(shí)平均值 ，還需要對(duì) 作區(qū)間估計(jì) 為對(duì)Y的平均值作區(qū)間預(yù)測(cè)，必須確定平均值點(diǎn)預(yù)測(cè)值 的抽樣分布 必須找出點(diǎn)預(yù)測(cè)值 與預(yù)測(cè)目標(biāo)值 的關(guān)系，即找出與二者都有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量,107,具體作法 （從 的分布分析）,由 服從正態(tài)分布(為什么?) 已知 可以證明,108,當(dāng) 未知時(shí)，只得用 代替，這時(shí)將 標(biāo)準(zhǔn)化，有,注意:,（較復(fù)雜不具

49、體證明）,109,顯然這樣的 t 統(tǒng)計(jì)量與 和 都有關(guān)。 給定顯著性水平，查 t 分布表，得自由度n2的臨界 值 ，則有 Y平均值的置信度為 的預(yù)測(cè)區(qū)間為,構(gòu)建平均值的預(yù)測(cè)區(qū)間,三、被解釋變量個(gè)別值預(yù)測(cè),基本思想： 是對(duì)Y平均值的點(diǎn)預(yù)測(cè)。 由于存在隨機(jī)擾動(dòng) 的影響，Y的平均值并不等于Y的個(gè)別值 為了對(duì)Y的個(gè)別值 作區(qū)間預(yù)測(cè)，需要尋找與點(diǎn)預(yù)測(cè)值 和預(yù)測(cè)目標(biāo)個(gè)別值 有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量，并要明確其概率分布,110,具體作法：,已知剩余項(xiàng) 是與預(yù)測(cè)值 及個(gè)別值 都有關(guān)的變量，并且已知 服從正態(tài)分布，且可證明 當(dāng)用 代替 時(shí)，對(duì) 標(biāo)準(zhǔn)化的 變量 t 為,111,（較復(fù)雜不具體證明）,構(gòu)建個(gè)別值的預(yù)測(cè)區(qū)間,給定

50、顯著性水平 ，查 t 分布表得自由度為 n2 的臨界值 ，則有 因此，一元回歸時(shí)Y的個(gè)別值的置信度為 的 預(yù)測(cè)區(qū)間上下限為,113,被解釋變量Y區(qū)間預(yù)測(cè)的特點(diǎn),（1）Y平均值的預(yù)測(cè)值與真實(shí)平均值有誤差，主要是受抽樣波動(dòng)影響 預(yù)測(cè)區(qū)間 Y個(gè)別值的預(yù)測(cè)值與真實(shí)個(gè)別值的差異,不僅受抽樣波動(dòng)影響，而且還受隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的影響 預(yù)測(cè)區(qū)間,114,（2）平均值和個(gè)別值預(yù)測(cè)區(qū)間都不是常數(shù)， 是隨 的變化而變化的，當(dāng) 時(shí)，預(yù)測(cè)區(qū)間最小。 （3）預(yù)測(cè)區(qū)間上下限與樣本容量有關(guān)，當(dāng)樣本容量n時(shí),個(gè)別值的預(yù)測(cè)區(qū)間只決定于隨機(jī)擾 動(dòng)的方差。,被解釋變量Y區(qū)間預(yù)測(cè)的特點(diǎn)(續(xù)),預(yù)測(cè)區(qū)間,115,SRF,各種預(yù)測(cè)值的關(guān)系,Y的個(gè)別值的預(yù)測(cè)區(qū)間,Y平均值的預(yù)測(cè)區(qū)間,116,第八節(jié) 案例分析,案例1:中國各地區(qū)城市居民人均年消費(fèi)支出 和可