1、矩陣函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用摘要本文從多項式和冪級數(shù)兩個方面給出了矩陣函數(shù)的兩種定義方式，從定義出發(fā)推導(dǎo)了若干性質(zhì)及其多種矩陣函數(shù)的求法，在計算中根據(jù)適當(dāng)?shù)那闆r進行選擇，起到事半功倍的作用，文章末尾還給出了其在實際中的應(yīng)用，為解決實際問題帶來很多方便。關(guān)鍵詞：矩陣級數(shù) 矩陣函數(shù) Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 線性微分方程 Matrix function calculus and its applicationAbstractThis paper, from the polynomial and power series two aspects of the matrix function are given

2、two definition way, is derived from the definition of some properties of matrix function and the method, the method of according to choose appropriate, rise to get twice the result with half the effect, the article also gives the end in the actual application, to solve practical problems bring many

3、convenient Keywords: Matrix series Matrix function Jordan canonical form Linear differential equation 目錄摘要I關(guān)鍵詞I第一章 引言1第二章 矩陣函數(shù)2矩陣函數(shù)的定義2矩陣函數(shù)的性質(zhì)2第三章 矩陣函數(shù)的計算6第四章 矩陣函數(shù)的應(yīng)用11矩陣函數(shù)在線性微分方程的應(yīng)用11結(jié)束語14致謝語14參考文獻14第一章 引言為了討論方便，引入一下記號：1、表示數(shù)域F上矩陣全體的線性空間；2、表示復(fù)矩陣集；3、數(shù)域F上的純量多項式；4、表示的譜，即；5、表示的譜半徑，即6、對于給定的矩陣，凡滿足的多項式稱為矩陣

4、A的零化多項式（一般取首項系數(shù)為1）7、其中次數(shù)最低的零化多項式稱為矩陣A的最小多項式，記做8、文獻1給出矩陣級數(shù)的定義：定義1：設(shè)是的矩陣序列，其中，無窮和稱為矩陣級數(shù)，記為.對正整數(shù)，記稱為矩陣級數(shù)的部分和，如果矩陣序列收斂，且有極限，即，則稱矩陣級數(shù)收斂，并稱為矩陣級數(shù)的和，記為不收斂的矩陣級數(shù)稱為發(fā)散的.定義2：設(shè)，形如的矩陣級數(shù)稱為矩陣冪級數(shù).第二章 矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的定義矩陣函數(shù)的多項式表示：設(shè)是數(shù)域F上的一個階矩陣，簡記為，是數(shù)域F上的一個次多項式，簡記為，將此多項式中換成，其中換成單位矩陣，則矩陣函數(shù)可以定義為：矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示： 設(shè)，如果一元函數(shù)能夠展開為z的冪級數(shù)=，0

5、表示該冪級數(shù)的收斂半徑.當(dāng)n階矩陣A的譜半徑時，把收斂的矩陣冪級數(shù)的和稱為矩陣函數(shù)，記為，即=矩陣函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：和可交換，即證 設(shè)純量多項式，則矩陣多項式為，于是= 性質(zhì)2：函數(shù)和（或差）的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的和（和差），即性質(zhì)3：函數(shù)積的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的積，即性質(zhì)4：若,則，即若，則證 由于，故存在可逆矩陣，使得，若是純量多項式，則,即性質(zhì)5：設(shè)，且,函數(shù)在上有定義，在上有定義，則證 設(shè)，的最小多項式的次數(shù)分別為和，則存在次數(shù)不超過的多項式和次數(shù)不超過的多項式，使得由于，因此對任意正整數(shù)，有，從而A的多項式與B的多項式相乘時可交換，即得性質(zhì)6：設(shè)，A的特征值都是正實數(shù)，是系數(shù)為非

6、負(fù)實數(shù)的冪級數(shù)的和函數(shù)，它的收斂半徑，則，且證 因為A的特征值都是正實數(shù)，且是系數(shù)為非負(fù)實數(shù)的冪級數(shù)的和函數(shù)，因此的特征值為，其中是A的特征值，所以若不恒為0，則，從而；若恒為0，則，從而。性質(zhì)7：設(shè)，函數(shù)在上有定義，則證 由于與相似，因此，與有相同的譜，也有相同的最小多項式，由在上有定義，則在上有定義，且在與的譜上的值相同，因此可取相同的多項式，使得.所以性質(zhì)8：設(shè)A是對稱矩陣，函數(shù)在上有定義，則是對稱矩陣性質(zhì)9：設(shè)A是實對稱矩陣，實函數(shù)在上有定義，且對A的任一特征值，有，則是正定矩陣。證 由為實函數(shù)，A是實對稱矩陣，根據(jù)性質(zhì)8知，是實對稱矩陣，又因為的特征值為，其中是A的特征值，所以是正定

7、矩陣。性質(zhì)10：設(shè)A是反對稱矩陣，函數(shù)在上有定義，且為奇函數(shù)，則是反對稱矩陣。證 由性質(zhì)7得,又由于為奇函數(shù)，所以即是反對稱矩陣。下面給出一些常用的矩陣函數(shù)的基本性質(zhì)：矩陣指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)：(1)若，則;(2)；(3)證 （1）因為矩陣加法滿足交換律，所以只需證明就行了.根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式可得(2)在（1）中令B=-A,則得,所以(3)設(shè)A的特征值為，則的特征值為，因此矩陣三角函數(shù)的基本性質(zhì)：(1) (2)，(3) (4)若，則證(1)因為，將分為偶數(shù)和奇數(shù)，則有 (2)同(1)證可得 兩式相加得兩式相減得(3)因為，所以，又因為，所以(4)若，得 同理可證 第三章 矩陣函數(shù)的計算1、

8、A為對角矩陣和分塊對角矩陣的矩陣函數(shù)的求法(1)矩陣函數(shù)為矩陣冪函數(shù)若A為對角矩陣，即則由矩陣乘法，有若A為分塊對角矩陣，即，其中為子塊。則(2矩陣函數(shù)為矩陣多項式由于是若干個矩陣冪函數(shù)的線性組合，所以仍可以按照（1）中的方法來計算。2、一般矩陣A的矩陣函數(shù)的求法方法1：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法設(shè)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為，即,則必存在可逆矩陣，使從而由矩陣函數(shù)的性質(zhì)4可知所以求可以通過以下3個步驟來計算：第一步，經(jīng)過相似變換將化成的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并求相似的變換矩陣，使得；第二步，計算，其中第三步，利用求出此方法的關(guān)鍵在于怎么求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J，本文介紹用初等因子法求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J

9、:文獻10給出了初等因子及不變因子的定義定理，摘錄如下：定義3 標(biāo)準(zhǔn)形的主對角線上非零元素的不變因子。定義4 把矩陣A的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為矩陣A的初等因子。求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟如下：1、首先求給定矩陣A的特征矩陣；2、再次求矩陣A的初等因子組，其中可能有相同的，中也可能有相同的，但總有；3、每個初等因子對應(yīng)著一個Jordan塊，其階數(shù)為，對角線元素為，即4、這些Jordan塊的直和構(gòu)成一個Jordan矩陣J，即方法2：待定系數(shù)法根據(jù)矩陣函數(shù)的定義，只需求出多項式，使令其中m為A的

10、最小多項式的次數(shù)，由上面的條件列出方程組解出，從而求出，最后求出例1、設(shè)矩陣,求解 由于特征多項式，易算出不是A的零化多項式，故A的最小多項式為于是設(shè)為2次多項式，即由于，且是單根，是二重根，故有即解得從而得例2 設(shè)，求.解 令.求得的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為：.再求相似的變換矩陣.設(shè)即應(yīng)滿足即是兩個線性無關(guān)的解.解，同解方程組，令分別取,得特征向量，于是有則，計算出.于是 .重要結(jié)論：矩陣函數(shù)與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中的Jordan塊的排列次序無關(guān)，與變換矩陣P的選取無關(guān)，矩陣函數(shù)的計算總可以總可以轉(zhuǎn)化為矩陣多項式的計算。第四章 矩陣函數(shù)的應(yīng)用矩陣函數(shù)在線性微分方程中的應(yīng)用考慮一階線性微分方程組 其

11、中為自變量，都是的已知函數(shù),是的未知函數(shù).若記，則方程組可改寫為如下的微分方程 如設(shè)微分方程組的初始條件為， 可以表示成 則成為一般的初值問題.定理15 設(shè)是階常數(shù)矩陣，則一階線性常系數(shù)微分方程組的 有且僅有唯一解. 證 將處展開成冪級數(shù)從而有 因為于是這說明初值問題的解必有 的形式.另一方面，由于.因此，初值問題的唯一解為.對于高階常系數(shù)其次微分方程的定解問題可以轉(zhuǎn)化為線性微分方程組來求解，這里不再做深入研究.例3 求常系數(shù)線性其次微分方程組的解，其中，解 由定理1知，方程組的解為，下面求.先計算A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及變換矩陣：首先求的初等因子：因此A的初等因子是，則A的約旦標(biāo)準(zhǔn)形是因為特

12、征多項式為所以特征值是1（三重），其相應(yīng)的特征向量為：所以變換矩陣為，可求得從而， 結(jié)束語矩陣函數(shù)是矩陣?yán)碚摰闹匾獌?nèi)容，它在力學(xué)、控制理論、信號處理等學(xué)科中具有重要作用.，它是研究數(shù)值方法和其他數(shù)學(xué)分支以及工程問題的重要工具，比如研究剛體的旋轉(zhuǎn)表示時，就需要用到矩陣指數(shù)函數(shù)；在圖像處理、模式識別或移動通信等領(lǐng)域，常需要利用矩陣函數(shù)來分析，使得其誤差盡可能小.在計算的過程中，盡可能的使用簡便的方法，達(dá)到事半功倍的效果。致謝語從論文選題到搜集資料，從寫稿到反復(fù)修改，一直到論文成稿，我特向我的指導(dǎo)老師表示誠摯的謝意！正是指導(dǎo)老師的耐心幫助和各位老師認(rèn)真負(fù)責(zé)的授課，使我能夠掌握專業(yè)知識，并在畢業(yè)論文中得以體現(xiàn)，我的論文才能夠得以順利完成，我真的非常感謝您們！ 參考文獻1蘇育才，姜翠波，張躍輝.矩陣?yán)碚?北京：科學(xué)出版社，2006.2Horn R A,Johnson C R.矩陣分析.楊奇譯.北京：機械工業(yè)出版社，20053周杰.矩陣分析及應(yīng)用.成都：四川大學(xué)出版社，20084張凱院，徐仲.矩陣論.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社.20075張躍輝.矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用. 北京：科學(xué)出版