1、.圓周運動中的臨界問題和周期性問題一、圓周運動問題的解題步驟：1、確定研究 象2、畫出運 跡、找出 心、求半徑3、分析研究 象的受力情況，畫受力 4、確定向心力的來源25、由牛 第二定律fnmanm vm2 rm( 2) 2 r 列方程求解rt二、 界 常 型：1、按力的種 分 ：（1）、與 力有關(guān)的 界 ：接觸面 的 力：從有到無,或從無到有 子的拉力：從無到有，從有到最大，或從有到無（2）、與摩擦力有關(guān)的 力 ：從靜到 ，從 到靜， 界狀 下靜摩擦力達到最大靜摩擦2、按 道所在平面分 ：（ 1）、 直面內(nèi)的 周運 （ 2）、水平面內(nèi)的 周運 三、 直面內(nèi)的 周運 的 界 1、 向 束之 、

2、外 道 束下的 直面內(nèi) 周運 界 ：特點： 小球， 道 小球只能 生指向 心的 力mgmgoo軌道 界條件： 子或 道 小球沒有力的作用：mg=mv 2/r v 臨界 =rg（可理解 恰好 或恰好 不 的速度）即此 小球所受重力全部提供向心力能 最高點的條件：vrg ，當 vrg ， 球 生拉力， 道 球 生 力不能 最高點的條件：v v 臨界 （ 上球 沒到最高點 就脫離了 道做斜拋運 ）例 1、 子系著裝有水的木桶，在 直面內(nèi)做 周運 ，水的 量m=0.5kg ， 子 度 l=60cm ，求：（ g 取 10m/s2）a 、最高點水不留出的最小速度？b、 水在最高點速度 v=3m/s ，求

3、水 桶底的 力？答案：（ 1） 6m / s（ 2） 2.5n;.變式 1、如圖所示，一質(zhì)量為m 的小球，用長為l 細繩系住，使其在豎mg直面內(nèi)作圓周運動.(1)若過小球恰好能通過最高點，則小球在最高點和最低點o的速度分別是多少？小球的受力情況分別如何？ (2) 若小球在最低點受到繩子的拉力為 10mg，則小球在最高點的速度及受到繩子的拉力是多少？2、單向約束之內(nèi)軌道約束下（拱橋模型）的豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題：汽車過拱形橋時會有限速，是因為當汽車通過半圓弧頂部時的速度v gr 時，汽車對弧頂?shù)膲毫?fn=0，此時汽車將脫離橋面做平拋運動，因為橋面不能對汽車產(chǎn)生拉力例 2、半徑為 r 的光滑

4、半圓球固定在水平面上，頂部有一小物體，如圖所示。今給小物體一個水平初速度v0rg ，則小物體將（）a. 沿球面下滑至m 點b.先沿球面下滑至某點，然后便離開斜面做斜下拋運動.按半徑大于r 的新的圓弧軌道做圓周運動d.立即離開半圓球做平拋運動3、雙向約束之輕桿、管道約束下的豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題物體 (如小球 )在輕桿作用下的運動，或在管道中運動時，隨著速度的變化，桿或管道對其彈力發(fā)生變化這里的彈力可以是支持力，也可以是壓力，即物體所受的彈力可以是雙向的，與輕繩的模型不同因為繩子只能提供拉力，不能提供支持力；而桿、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中運動，物體速度較大時可對上壁產(chǎn)生

5、壓力，而速度較小時可對下壁產(chǎn)生壓力在彈力為零時即出現(xiàn)臨界狀態(tài)（一）輕桿模型如圖所示，輕桿一端連一小球，在豎直面內(nèi)作圓周運動(1) 能過最高點的臨界條件是： v 0 這可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好不能轉(zhuǎn)過最高點的臨界條件，此時支持力nmg (2) 當 0vrg 時， 0nmg ， n 仍為支持力，且n 隨 v 的增大而減小，;.(3) 當 vrg 時， n 0，此為輕桿不受彈力的臨界條件(4) 當 vrg 時， n 隨 v 的增大而增大，且n 為拉力指向圓心，例 3、如圖所示，有一長為l 的細線，細線的一端固定在o點，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)使小球恰好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動。已知水平地面上的

6、c 點位于 o點正下方， 且到 o點的距離為1.9l 。不計空氣阻力。(1) 求小球通過最高點a 時的速度va;(2)若小球通過最低點 b 時，細線對小球的拉力t 恰好為小球重力的6 倍，且小球經(jīng)過b 點的瞬間讓細線斷裂，求小球落地點到c 點的距離。解：(1) 小球恰好能做完整的圓周運動，則小球通過a 點時細線的拉力剛好為零，根據(jù)向心力公式有：2m vamg=l解得 : v agl 。(2) 小球在 b 點時根據(jù)牛頓第二定律有v b2t-mg=m l其中 t=6mg解得小球在 b 點的速度大小為 vb= 5gl細線斷裂后，小球從b 點開始做平拋運動，則由平拋運動的規(guī)律得:1 gt 2豎直方向上

7、 1.9l-l=2(2 分 )水平方向上 x=vbt(2 分 )解得 :x=3l(2 分 )即小球落地點到 c 點的距離為 3l。答案 :(1)gl(2)3l管道模型質(zhì)點 (小球 )在光滑、 豎直面內(nèi)的圓管中作圓周運動(圓管截面半徑r 遠小于球的圓周運動的半徑r)，如圖所示小球達到最高點時對管壁的壓力有三種情況：(1)剛好對管壁無壓力，此時重力為向心力，臨界速度為vrg (2)當 vrg 時，對下管壁有壓力，此時 n mgm v 2，故 0 n mg 。r;.(3) 當 vrg 時，對上管壁有壓力，此時nm v 2mg 。r實際上，輕桿和管道兩種約束情況可化歸為同類的物理模型，即雙向約束模型例

8、 4、一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為r（比細管的半徑大得多），圓管中有兩個直徑與細管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點）。 a 球的質(zhì)量為 m12。， b 球的質(zhì)量為m它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為v0。設(shè) a 球運動到最低點時，球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么 m1，m2，r 與 v0應滿足關(guān)系式是。解：首先畫出小球運動達到最高點和最低點的受力圖，如圖4-1 所示。 a 球在圓管最低點必受向上彈力n1 ，此時兩球?qū)A管的合力為零，m2 必受圓管向下的彈力 n 2，且 n 1=n 2。據(jù)牛頓第二定律a 球在圓管的最低點有：n1mg m1v

9、02同理 m2 在最高點有：n 2mgm2v12rr1212m2 球由最高點到最低點機械能守恒：2m2 gr2 m2v12m2v0n1n 2由上述方程可得：v0(5m2m1 ) grm2m1【小結(jié)】 比較復雜的物理過程，如能依照題意畫出草圖，確定好研究對象，逐一分析就會變?yōu)楹唵螁栴}。找出其中的聯(lián)系就能很好地解決問題。四、水平面內(nèi)圓周運動中的臨界問題：解決圓周運動中臨界問題的一般方法1、對物體進行受力分析2、找到其中可以變化的力以及它的臨界值3、求出向心力（合力或沿半徑方向的合力）的臨界值4、用向心力公式求出運動學量（線速度、角速度、周期、半徑等）的臨界值例 5、水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m 的物快，

10、當物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r 時 ,若物塊始終相對轉(zhuǎn)盤靜止，物塊和轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是正壓力的倍，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的最大角速度是多o大？解：由mg m 2 rago得：r;.點評：提供的向心力的臨界值決定了圓周運動角速度的臨界值變式 5、物體與圓筒壁的動摩擦因數(shù)為 ，圓筒的半徑為 r，若要物體不滑下，圓筒的角速度至少為多少？解：fnm2rg得fnmgr例 6、如圖所示，兩繩系一質(zhì)量為m 0.1kg 的小球，上面繩長l 2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為 30與 45，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊， 當角速度為3 rad s 時，上、下兩繩拉力分別為多大？a解： 當 漸大， ac 繩與桿夾角變大，

11、但 bc 繩還沒拉直。30b當 ac 繩與桿夾角為30時， bc 繩處在虛直狀態(tài)。之后 再增大，45bc 繩上也會有拉力。所以bc 繩虛直為臨界狀態(tài)。cg1010032.4rad/so2ol cos30o3mg tan 30l sin 302m 02 0 ， bc 繩上有拉力。分析小球，由牛頓第二定律：atac cos30o tbc cos45omg30tac sin 30o tbc sin 45om2 l sin30ob3 tac2 tbc45mgtac31 n2210c1 tac2 tbc1 m 2 ltbc17 26 n22220變式 6-1：如圖，長為 l 的繩子，下端連著質(zhì)量為m 的

12、小球，上端接于天花板上，當把繩子拉直時，繩與豎直方向夾角=60。此時小球靜止于光滑水平面上。;.g（1）當小球以l做圓錐擺運動時，繩子張力多大？桌面支持力多大？4g（2）當小球以l做圓周運動時，繩子張力多大？桌面受到的壓力多大？fn1答案：（ 1）t=mgmg2fn0(2)t=4mg變式 6-2、如圖所示， 一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為30，一條長度為l 的繩（質(zhì)量不計） ，一端的位置固定在圓錐體的頂點o 處，另一端拴著一個質(zhì)量為m 的小物體（物體可看質(zhì)點），物體以速率v 繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動。1當 v6gl 時，求繩對物體的拉力；3當

13、 v2gl 時，求繩對物體的拉力。tnmg解： 物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，由重力g、拉力 t 、支持力n 提供向心力，當角速度很小時，物體在圓錐體上運動。t sinn cosmv2(1)l sint cosn sinmg(2)tmgn sincos由（ 2）得：mg tanv2n (tan sincos ) m代入（ 1）得：l sin由此可得，當v 增大時， n 減少。當大到一定值時，物體將離開錐面，繩與豎直方向的夾角將變大。顯然當球與錐面虛接觸（即n=0 ， =30 ）時的線速度值為物體的臨界速度。對球分析，由牛;.t2m v02(3)2l3tmg(4)頓第二定律：2t23 mgv03

14、gl63t sinn cosmv12gl(1)v1v0l sin6t cosn sinmg(2)當，所以 n0 。nmgt cossin由（ 2）得：t (sincotcos )mg cotmv12l sin代入（ 1）得：glmv02mg cotm1mg3l sin6l331t21.03mgcotcos136mgsin232v23glv0230當，此時 n=0 ，但夾角變大，不為t sinmv2(5)l sint cosmg(6)tmgsinmv 2cosmgl sin由（ 6）得：（7），代入（ 5）得：cossin2v23gl21.5cosglgl60o 代入（ 7）得：t2mg例 7、

15、如圖所示，細繩一端系著質(zhì)量 m 0.6kg 的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量 m 0.3kg 的物體， m 的中與圓孔距離為 0.2m ，并知 m 和水平面的最大靜摩擦力為2n ?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度在什么范圍m 會處于靜止狀態(tài)？（g 10m s2）;.53rad / s515rad / s（的范圍是： 33mro即2.9 rad s 6.5 rad s）m變式 7：在以角速度勻速轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)臺上放著一質(zhì)量為m 的物體，通過一條光滑的細繩，由轉(zhuǎn)臺中央小孔穿下，連接著一m 的物體，如圖所示。設(shè)m 與轉(zhuǎn)臺平面間的最大靜摩擦力為壓力的 k 倍，且轉(zhuǎn)臺不轉(zhuǎn)時m 不能相對轉(zhuǎn)

16、臺靜止。求：（ 1）如果物體 m 離轉(zhuǎn)臺中心的距離保持 r 不變，其他條件相同，則轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度滿足什么條件，物體 m 才能隨轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動？（ 2）物體 m 隨轉(zhuǎn)臺一起以角速度勻速轉(zhuǎn)動時，物體離轉(zhuǎn)臺中心的最大距離和最小距離。2 30rad / sm答案：（ 1）3（2）25rad / sm例 8、 如圖所示，在水平轉(zhuǎn)臺上放有a 、 b 兩個小物塊，它們距離軸心o 分別為 r a0.2m ，r b0.3m ，它們與臺面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的0.4 倍，取 g10m / s2。（ 1）當轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動時，要使兩物塊都不發(fā)生相對于臺面的滑動，求轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度的范圍；（ 2）要使兩物塊都對臺

17、面發(fā)生滑動，求轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動角度速度應滿足的條件。oab010rad / s22 5rad / s答案：（ 1）3（2）;. 式 8：如 ，勻速 的水平 上，沿半徑方向放置用 相 的 量均 m 的 a 、 b 兩個小物 。 a 離 心的距離r1=20cm ， b 離 心的距離r2=30cm ， a 和 b 與 面 相互作用的最大靜摩擦力均 重力的0.4 倍，求：（1）若 上沒 力， 的角速度 足什么條件？o（2）欲使 a 、 b 與 不 生相 滑 ， 的最大角速度 多少？（3）當 a 即將滑 ， 斷 ，a 、b 運 狀 如何？ba230rad / s答案：（ 1） 3（ 2） 4rad/so（ 3）

18、 a 做 周運 ， b 做離心運 五、 周運 的周期性 ：利用 周運 的周期性把另一種運 （例如勻速直 運 、平拋運 ） 系起來。 周運 是一個獨立的運 ，而另一個運 通常也是獨立的，分 明確兩個運 程，注意用 相等來 系。在 中，要注意 找兩種運 之 的 系，往往是通 相等來建立 系的。同 ，要注意 周運 具有周期性，因此往往有多個答案。例 9：如 所示， 半徑 r 的 垂直于 面的中心 勻速 ，其正上方h 沿 ob 方向水平拋出一個小球，要使球與 只碰一次，且落點 b ， 小球的初速度 v _， 的角速度 _?！?】小球做的是平拋運 ，在小球做平拋運 的 段 內(nèi)， 做了一定角度的 周運 。

19、1解： 小球做平拋運 ，在 直方向上：h 2 gt22h 運 t grg又因 水平位移 r，所以球的速度v t r2h在 t 內(nèi)， 的角度 n 2，又因 tn 2g 角速度：t 2n 2h (n 1， 2， 3 );.【 】上 中涉及 周運 和平拋運 兩種不同的運 ， 兩種不同運 律在解決同一 ，常常用“ ” 一物理量把兩種運 系起來。 式 9-1：如 所示，小球q 在 直平面內(nèi)做勻速 周運 ，當q 球 到 示位置 ，有另一小球p 在距 周最高點 h 開始自由下落.要使兩球在 周最高點相碰， q球的角速度 足什么條件？【 】下落的小球p 做的是自由落體運 ，小球q 做的是 周運 ，若要想碰，必

20、 足 相等 個條件。解： 設(shè) p 球自由落體到 周最高點的 t，由自由落體可得12h2 gt2=h求得 t=gq 球由 示位置 至最高點的 也是t，但做勻速 周運 ，周期 t，有t222ht=(4n+1) 4 (n=0 ， 1， 2， 3 )兩式 立再由 t=得(4n+1)=gg所以 = 2 (4n+1)2h (n=0， 1， 2，3 )【 】由于 周運 每個周期會重復 同一個位置，故具有重復性。在做 目 ， 考 周運 的周期性六、 周運 中的 界 ：1、如 所示，水平 上放有 量 m 的物 ，當物 到 的距離 r ，r 接物 和 的 好被拉直（ 上 力 零） 。物體和 最大靜摩擦力o是其下 力的倍。求： g當 角速度 1t1 。 ， 的拉力2r當 角速度 23 g ， 的拉力t2 。2r1mg答案：（ 1） 0（ 2） 2;.2、（ abd ）3、(bd);.4、在質(zhì)量為m 的電動機飛輪上，固定著一個質(zhì)量為m 的重物，重物到軸的距離為r ，如圖所示，為了使電